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椭圆的焦点弦长公式


椭圆的焦点弦长公式

2ab2 F1 F2 ? 2 a ? c 2 cos2 ?

及其应用

在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论:若椭圆的焦点弦 F1 F2 所在直线的倾斜角为 ? , a 、 b 、 c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦 半距,则有 F1 F2 ?

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

例 1.已知椭圆的长轴长 AB ? 8 ,焦距 F1 F2 ? 4 2 ,过椭圆的焦点 F1 作一直线交椭圆于 P 、 Q 两点, 设 ?PF 1 X ? ? (0 ? ? ? ? ) ,当 ? 取什么值时, PQ 等于椭圆的短轴长? 解 : 由 题 意 可 知 PQ 是 椭 圆 的 焦 点 弦 , 且 a ? 4 , c ? 2 2 , 从 而 b ? 2 2 , 由 焦 点 弦 长 公 式

F1 F2 ?

2ab2 2 ? 4 ? (2 2 ) 2 及 题 设 可 得 : ? 4 2 ,解得 co s ? ?? 2 a 2 ? c 2 cos2 ? 16 ? 8 c o s ?

2 ? 2 ,即

? ? a rcc o s 2 ? 2 或 ? ? arc cos 2 ? 2 。
例 2.在直角坐标系中,已知椭圆 E 的一个焦点为 F(3,1) ,相应于 F 的准线为 Y 轴,直线 l 通过点 F,且 倾斜角为

? 16 ,又直线 l 被椭圆 E 截得的线段的长度为 ,求椭圆 E 的方程。 5 3
( x ? c ? 3) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 ,又椭圆 E 相应于 F 的准线为 Y 轴,故有 a2 b2
2ab2 a 2 ? c 2 cos2

解:由题意可设椭圆 E 的方程为

a2 ? c ? 3; 由焦点弦长公式有 c

?
3

?

16 2 2 2 a2 ? 4 , b 2 ? 3 ,c ? 1 , ; 又 a ?b ?c ; 解得: 5

( x ? 4) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1。 从而所求椭圆 E 的方程为 4 3
例 3.已知椭圆 C:

x y x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,直线 l1 : ? ? 1 被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 ,过椭圆 2 a b a b
2 ,求椭圆 C 的方程。 5
2 2

右焦点且斜率为 3 的直线 l 2 被椭圆 C 截得的弦长是它的长轴长的

解:由题意可知直线 l1 过椭圆 C 的长、短轴的两个端点,故有 a ? b ? 8 ,又由焦点弦长公式得

4a ? 2ab2 2 2 2 2 2 = , 因 tan ? = 3 ,得 ? ? ,又 a ? b ? c ,解得: a ? 6 , b ? 2 ,从 2 2 2 3 a ? c cos ? 5
而所求椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 6 2


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