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第9单元第50讲 空间中的垂直关系


以立体几何的定义、公理和定理为出 发点,认识和理解空间中线面垂直的 有关性质与判定定理;能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些有关空 间图形的垂直关系的简单命题.

1.   设l、m、n均为直线,其中m、n 在平面?内,则“l ? ?”是 “l ? m且l ? n”的 ?

A?

A.充分不必要条件 B.必要

不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

  2.(2010 ?山东卷)在空间,下列命题正确的是 ? A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

?

解析: A选项平行直线的平行投影也可能是 平行的;B选项中的两个平面也可以相交; C选项的两个平面也可以相交,故选D.

3.关于直线m,n与平面?,?,有以下四个命题: ①若m //?,n ? ? 且? ? ?,则m //n; ②若m ? ?,n ? ? 且? ? ?,则m ? n; ③若m ? ?,n ? 且? //?,则m ? n; ④若m //?,n //? 且? ? ?,则m //n. 其中真命题的序号是 ? A.①② C .①④

D

?

B .③④ D .②③

4.已知?,? 是两个不同的平面,m,n是平面? 及? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ? n;②? ? ?;③n ? ?;④m ? ? . 以其中三个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的 一个命题:

①③④ ? ②或②③④ ? ① 
.

5.三棱锥P ? ABC的顶点P在底面的射影为O, 若PA ? PB ? PC, 则点O为?ABC的

外心

, .

若PA、PB、PC两两垂直, 垂心 则O为?ABC的

1.直线与平面垂直

?1? 定义:如果直线l与平面?内的每一条直线都垂
直,就说直线l与平面? 互相垂直,记作① _____. 特别提醒:若已知l ? ?,则l垂直于平面?内的所 有直线,即“线 ? 面 ? 线 ? 线”.
定义

? 2 ? 判定定理:一条直线与一个平面内的② _____
直线都垂直,则该直线与此平面垂直.用符号表 示为:l ? ? l ? b,a ? ?,b ? ?,③ _____ ? l ? ? .

? 3? 性质定理:垂直于同一平面的两条直线④ ___.
用符号表示:a ? ?,b ? ? ? ⑤ __________.

2.平面与平面垂直

?1? 定义:如果两个平面相交,且它们所成的二
面角是⑥ _______ ,就说这两个平面互相垂直.

? 2 ? 画法:

记作? ? ? .

? 3? 面面垂直的判定定理
若一个平面过另一个平面的⑦ ______ ,则这两 a?? 个平面垂直.符号表示: ⑧ ? ? ? ? ? ?. ?

? 4 ? 面面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的 直线与另一个平面⑨ __________.用符号表示为:

? ? ?,?

? ? l,a ? ?,a ? l ? ⑩ __________. 归纳拓展:两个平面?、? 都垂直于平面? ,则? 与 ? 可能平行也可能相交,若? ? ? l,则l ? ? .

【要点指南】 ①l ? ?;②两条相交;③? ⑦垂线;⑧a ? ?;⑨垂直; ⑩a ? ?

? ? A;

④互相平行;⑤? //?;⑥直角;

题型一 直线和平面垂直的判定和性质

例1.如图,已知PA垂直于 矩形ABCD所在的平面, M 、N 分别是AB、PC的 中点,若?PDA ? 45?, 求证:MN ? 平面PCD.
分析: 可考虑用线面垂直的判定定理来证明.

解析: 如图,取PD的中点E, 连接AE、NE. 因为E、N 分别为 PD、PC的中点, 所以EN 又因为M 为AB的中点, 所以AM
-

=

// CD.

所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN //AE.

=

//CD,所以EN // AM .

=

所以四边形AMNE为平行四边形,
-

所以MN //AE. 因为PA ? 平面ABCD,?PDA ? 45?, 所以?AD为等腰直角三角形,所以AE ? PD. 又因为CD ? AD,CD ? PA,AD 所以CD ? AE.又CD PD ? D, A ? A, 所以CD ? 平面PAD,而AE ? 平面PAD, 所以AE ? 平面PCD,所以MN ? 平面PCD.

评析:证明线面垂直,常用证法有两种: 一是利用面面垂直的性质,二是利用线 面垂直的判定定理,即证明直线a与平 面?内的两条相交直线都垂直.

变式1:已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面, 当矩形ABCD满足什么条件时,有PC ? BD ?
解析: 若PC ? BD.又PA ? BD,PA PC ? P, 所以BD ? 平面PAC,所以BD ? AC, 即矩形ABCD的对角线互相垂直. 所以矩形ABCD为正方形, 即当矩形ABCD为正方形时, PC ? BD.

题型二

平面与平面垂直的判定与性质

例2.(2010 ? 苏北四市调研)如图, 在三棱柱ABC ? A1 B1C1中, AB ? BC,BC ? BC1, AB ? BC1,E、F、G分别 为线段AC1、A1C1、BB1的中点, 求证: ?1? 平面ABC ? 平面ABC1;

? 2 ? FG ? 平面AB1C1.

分析: ?1?由面面垂直判定定理易证;

? 2 ? 先证FG ? AC1,再证明BC //B1C1,
B1C1 ? BE,B1C1 ? 平面ABC1, 可得FG ? B1C1,则结论得证.

解析: ?1?因为AB ? BC,BC ? BC1, AB BC1 ? B,所以BC ? 平面ABC1 . 又因为BC ? 平面ABC, 所以平面ABC ? 平面ABC1 .

? 2 ? 在?AA1C1中,

因为E、F 分别为AC1、A1C1的中点, 1 所以EF //AA1,EF ? AA1 . 2 在三棱柱ABCD ? A1 B1C1中, G为BB1的中点,

1 解析: 所以BG //AA1,BG ? AA1, 2 所以EF //BG,且EF ? BG. 所以四边形BEFG为平行四边形,所以FG //EB. 因为AB ? BC1,E为AC1的中点, 所以BE ? AC1,则FG ? AC1 . 因为BC ? AB,BC ? BC1,B1C1 //BC, 所以B1C1 ? AB,B1C1 ? BC1, 又AB BC1 ? B,所以B1C1 ? 平面ABC1, B1C1 ? C1,所以FG ? 平面AB1C1 . 又BE ? 平面ABC1,所以B1C1 ? BE,则B1C1 ? FG. 因为AC1

评析: 证明面面垂直的关键是证明线面垂 直,证明线面垂直的关键是证明线线垂直.

变式2.已知? ? ?,? ? ? ,? 求证:a ? ? .
解析: 如图所示, 设?

? ? a,

? ? b,? ? ? c, 过平面?内一点P作
PA ? b于点A,作PB ? c于点B.

因为? ? ?,所以PA ? ? .又? 所以PA ? a.同理可证PB ? a. 因为PB

? ? a,

PA ? P,PA ? ?,PB ? ?,所以a ? ? .

题型三

垂直的综合应用

例3. 如图,在四棱锥P ? ABCD中, 平面PAD ? 平面ABCD,AB //DC, ?PAD是等边三角形. 已知BD ? 2 AD ? 8,AB ? 2 DC ? 4 5.

?1? 设M 是PC上一点,证明:平面MBD ? 平面PAD; ? 2 ? 求四棱锥P ? ABCD的体积.

分析: ?1?因为两平面垂直与M 点位置无关, 所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD,当M 运动时,BD不动,考虑证 明BD ? 平面PAD.

? 2 ?四棱锥底面为一梯形,高为P到面
ABCD的距离.

证明: ?1? 证明:在?ABD中, 因为AD ? 4,BD ? 8,AB ? 4 5, 所以AD 2 ? BD 2 ? AB 2,故AD ? BD. 又平面PAD ? 平面ABCD, 平面PAD 平面ABCD ? AD, BD ? 平面ABCD,所以BD ? 平面PAD. 又BD ? 平面MBD, 故平面MBD ? 平面PAD.

解析:

? 2 ? 过点P作PO ? AD交AD于O,

由于平面PAD ? 平面ABCD, 所以PO ? 平面ABCD. 因此PO为四棱锥 P ? ABCD的高. 又?PAD是边长为4 的等边三角形, 3 因此PO ? ? 4 ? 2 3. 2

解析: 在底面四边形ABCD中,AB //DC, AB ? 2 DC,所以四边形ABCD是梯形. 4?8 8 5 在Rt ?ADB中,斜边AB边上的高为 ? , 5 4 5 此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的 2 5?4 5 8 5 面积为S ? ? ? 24. 2 5 1 故VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3. 3

评析:当两个平面垂直时,常作的辅助 线是在其中一个面内作交线的垂直线, 把面面垂直转化为线面垂直,进而可以 证明线线垂直,构造二面角的平面角或 得到点到面的距离等.

变式3.在斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC中,底面是 等腰三角形,AB ? AC, 侧面BB1C1C ? 底面ABC.

?1? 若D是BC的中点,求证:AD ? CC1; ? 2 ? 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交
侧棱AA1于M ,若AM ? MA1, 求证:截面MBC1 ? 侧面BB1C1C.

解析: ?1? 证明:因为AB ? AC, D是BC的中点,所以AD ? BC. 因为底面ABC ? 侧面BB1C1C, 平面ABC 平面BB1C1C ? BC, 所以AD ? 侧面BB1C1C. 因为CC1 ? 平面BB1C1C, 所以AD ? CC1 .

解析: ? 2 ? 证明:延长B1 A1与BM 交于N,连接C1 N . 因为AM ? MA1,所以NA1 ? A1 B1 . 因为A1 B1 ? A1C1,所以A1C1 ? A1 N ? A1 B1, 所以C1 N ? C1 B1 . 因为平面NB1C1 ? 侧面BB1C1C, 且平面NB1C1 平面BB1C1C ? C1 B1, 所以C1 N ? 侧面BB1C1C. 而C1 N ? 平面C1 NB, 所以截面C1 NB ? 侧面BB1C1C, 所以截面MBC1 ? 侧面BB1C1C.

备选例题 如图,四边形ABCD 为矩形,PA ? 平面ABCD, M 、N 分别为AB、PC的中点.

?1? 证明:AB ? MN; ? 2 ? 若平面PDC与平面ABCD
成45?角,连接AC,取AC的中 点O,证明平面MNO ? 平面PDC.

解析: ?1?因为N 为PC的中点,所以ON //PA. 而PA ? 平面ABCD, 所以ON ? 平面ABCD.所以ON ? AB. 又四边形ABCD为矩形,M 为AB的中点, 所以OM ? AB,所以AB ? 平面OMN, 所以AB ? MN .

解析:

? 2 ? PA ? 平面ABCD,

AD ? DC,则PD ? DC. 故?PDA为平面PDC与平面 ABCD所成锐二面角的平面角, 即?PDA ? 45?,所以PA ? AD ? BC. 连接MC,由Rt ?BCM ≌RtAPM 知,MC ? MP, 所以MN ? PC.因为AB ? MN,所以MN ? CD, 所以MN ? 平面PCD,所以平面MNO ? 平面PCD.

1.证明线面垂直的方法

?1? 线面垂直的定义:a与?内任何直线
都垂直 ? a ? ?; m、n ? ?,m n ? A? ? 2 ? 判定定理1: ? ? l ? ?; l ? m,l ? n ?

? 3? 判定定理2:? ?,a ? ? ? ? ? ?; ? 4 ? 面面平行的性质:? ?,a ? ? ? ? ? ?; ? 5? 面面垂直的性质:? ? ?,? ? ? l,
a ? ?,a ? l ? a ? ? .

2.证明线线垂直的方法

?1? 平面几何中证明线线垂直的方法; ? 2 ? 线面垂直的性质:a ? ?,b ? ? ? a ? b; ? 3? 线面垂直的性质:a ? ?,b//? ? a ? b.
3.证明面面垂直的方法 判定定理:a ? ?,a ? ? ? ? ? ? .

4.垂直关系的转化
线线垂直 线面垂直 面面垂直

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则 ???? 可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一 般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线, 使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线 垂直,故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键.

5.面面垂直的性质定理是作辅助线 的一个重要依据,我们要作一个平面 的一条垂线,通常是先找这个平面的 一个垂面,在这个垂面中,作交线的 垂线即可.

已知直线a ? 平面?,a ? b,b ? ?, 求证:a //? .
错解: 由题设b ? ? 知直线b与平面? 有交点, 设交点为Q,过直线a和点Q作平面? 交平面? 于过点Q的一条直线a?,则a? ? a(如图所示). 因为b ? ?,所以b ? a?, 又因为a ? b,所以a //a?. 因为a ? ?,a? ? ?, 所以a //? . 

错解分析: 在错解中,应用平面几何中的定理 “同垂直于一条直线的两条直线平行”,得a //a? 导致错误,该定理要求涉及的三条直线都在同 一平面内,而现在仅有a和a?在平面?内,直线 b不能保证也在平面?内,因而不能满足使用定 理的条件,从而给出了错误的证明.

正解 : 在直线b上任取一点O,过O作a?//a, 则a?与b确定一平面b.

? ? l, 因为b ? ?,所以b ? l,
又a //a?,b ? a,所以b ? a?. 在平面b内有a?//l,所以a //l. 因为a ? 平面?, l ? 平面?,所以a //? .

设?


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