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等比数列前n项和教案


【课题】 6.3 等比数列前 n 项和 【教学目标】 知识目标: 理解等比数列前 n 项和公式. 能力目标: 通过学习等比数列前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力. 【教学重点】 等比数列的前 n 项和的公式. 【教学难点】 等比数列前 n 项和公式的推导. 【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的前 n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等 比数列的前 n 项和公式;难点是

前 n 项和公式的推导、求等比数列的项数 n 的问 题及知识的简单实际应用. 等比数列前 n 项和公式的推导方法叫错位相减法,这种方法很重要,应该让 学生理解并学会应用.等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量:
a1、q、n、an、S n ,只要知道其中的三个量,就可以求出另外的两个量.

教材中例 6 是已知 a1、an、S n 求 q、 n 的例子.将等号两边化成同底数幂的形 式,利用指数相等来求解 n 的方法是研究等比数列问题的常用方法. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 1 课时.(40 分钟) 【教学过程】
复习: 等比数列 { a n}
( 1) 等比数列:an+1

(2) 通项公式 : (3) 重要性质 :
m+n=p+q

an =q (定值) an=a1?qn-1 an= am? qn-m an ?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

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二、新课讲解
即 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3 29



① ②

2S ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 229 ? 230
②-①得 2S ? S ? 2 ? 1,
30



S ? 230 ? 1 ? 1073741823
由此对于一般的等比数列,其前 n 项和

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? a1qn?1 ,如何化简?

等比数列前 N 项和公式:

等比数列 { a n}

等比数列前n项求和公式

Sn=

{

a (1-q n ) (q=1)
1

n· a1
1 n

1-q

(q=1) (q=1) (q=1)

a1q n

a1?qn-1?q
anq
通项公式 :

Sn=

{

a -a q
n· a1
1-q

an=a1? q n-1

例1、求下列等比数列前8项的和
(1 ) 1 1 1 , , ,? 2 4 8
a1 ? 1 2

(2)a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243

(1) 因为 解:

1 1 ,q ? 2 2
8

所以当n ? 8时
? ? ? ? 255 256

S

n

?

? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 1 ? 2

?

( 2 )

由a1 ? 27, a9 ?

1 1 , 可得 : 243 243
1

?

27

? q

8

又由q ? 0, 可得: q ? ? 3

于是当 n ? 8时

S

n

8 ? 1 ? ? ? 27 ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 1640 ? ? ? 1 81 1 ? (? ) 3

例2、在等比数列 ?a n ? 中,求满足下列条件的 量:

(1) a1 ? a3 ? 2, 求s n
(3)a1
解:

(2)q ? 2, n ? 5, a1 ?

1 .求an 和s n 2 ?1 ,a n ? ?512 , s n ? ?314 .求q和n

(1 ) ? a 1 ? a 3 ? 2 ? q 2 ? 1即 q ? ? 1

当q ? 1 时,数列为常数列 2, 2, 2, ?,所以 S n ? n a1 ? 2 n

当 q ? ?1 时, Sn ?

a1(1?qn ) 2[1?(?1 )n ] ? ?1 ? (?1 )n 1?q 1?(?1 )

解: (2) ? q ? 2, n ? 5, a1 ?

1 2 a 1? qn 代入a n ? a1q n ?1 , s n ? 1 得: 1? q 1 a5 ? a1q 4 ? ? 2 4 ? 8 2 1 ? 1 ? 25 1 31 s5 ? 2 ? ? 25 ? 1 ? 1? 2 2 2

?

?

?

?

?

?

解:( 3 ) 将 a 1

?

1 a ?anq , a n ? ? 512 , S n ? ? 341 代入 S n ? 1 可得 1? q 2

? 341 ?

1 ? ( ? 512 ) q .解得: q ? ? 2 1? q

因为 a n ? a 1 q n ? 1 , 所以 ? 512 ? 1 ? ( ? 2 ) n ? 1 解得: n ? 10

说明:1、 在利用公式时,一定要 注意q的取值,应把它作为第 一要素来考虑。 2、在五个变量a1, q, n, an , Sn中,只知三可求二,并 且要根据具体题意,选 择适当的公式。 小结:
( 1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推导

Sn=

{

na
1-q

1

(q=1)

a1(1? qn )

Sn=

(q=1)

{

na
1-q

1

(q=1)

a1 ? an q

(q=1)

( 2)

等比数列前n项和公式的应用:

1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提;

练习 :

2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

练习 6.3.3 1.求等比数列 , , , ,…的前 10 项的和. 2.已知等比数列{ an }的公比为 q=2, S 4 =1,求 S8 . 3.已知等比数列{ an }中, a1 ? 2,S3 ? 26, 求 q与a3. 作业: (1)读书部分:教材 (2)书面作业:练习册 P16 训练题 6.3.3 A 组、B 组
1 9 2 9 4 9 8 9


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