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2012年合肥三模数学(理)


合肥市 2012 年高三第三次教学质量检测 数学试题(理)
(考试时间:120 分钟满分:150 分)

第 I 卷(满分 50 分)
一.选择题(本大题共⑴小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)
1、若复数 z ?

1 ? ai (i 是虚数单位)为纯虚数

,则实数 a 的值为( ) i A、 a = 1 B、 a = ?1 C、 a =0 D、 a = ?1
m

2、 “ m ? 2 ”是“ f ( x) ? x 为 (??, ??) 上的偶函数”的( ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
x

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3、R 表示实数集,集合, M ? {x ? R | 0 ? log 3 ? 1 }, N ? {x ? R | | 2 x ? 3 | ? 1 } 则( ) A、 M ? N ? N B、 M ? N ? N C、

?? N ? ? M ? ?
R

D、 ?R M ? N ? ?

?

?

4、双曲线

x2 y 2 x2 y 2 2 y ? 16 x ? ? 1 ? ? 1 上有一点到 ( a > 0 , b > 0 ) 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,且双曲线 a 2 b2 a 2 b2

一个焦点的距离比到另一焦点的距离大 4,则( ) A、 b =4 B、 b ? 2 3 C、 b ? 4 3 D、 b ? 2 15

5、已知 | a | ? 1,| b | ? 2 , a 与 b 的夹角为 60° ,则 a ? b 在 a 方向上的投影为( )

?

?

?

?

?

?

?

A、2

B、1

C、

2 7 7

D、

7 7

6、极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方 程为 ?

? ?x ? t ( t 为参数),直线 l 与曲线 C 交于 A、B,则线段 AB 的长等于( ) ? ? y ? 2 ? 3t

A、

1 2

B、

3 2

C、 1

D、 3

7、 巳知 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ,若 | f ( x1 ) ? 值为 A、

1 1 1 | ? | f ( x) ? | ? | f ( x2 ) ? | ,对 ?x ? R 成 立,则 | x1 ? x2 | 最小 2 2 2
C、

? 8

B、

? 4

8、已知梯形 ABCD 中,AB//CD, ?B ? 积为( )

?
2

? 2

D、 ?

,DC=2AB=2BC = 2,以直线 AD 为旋转轴旋转一周得到的几何体的表面

1

A、 4 2? 9、设

B、
k

7 2? 2

C、 3 2?

D、 2 2?

? ( x ? 1)
k ?1

100

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ??? ? a100 x100 ,则
B、

a4 ? a5
D、

A、

2 49

5 97

C、

1 16

7 95

10、函数 y ? f ( x) 定义域为 ( , ??) , f (1) ? f (3) ? 1 , f ( x) 的导数 f ' ( x) ? a( ? 2 x ? 5) ,其

1 2

2 x

1 ? ? ?2 ? x ? 2 y ? 中 a 为常数且 a > 0,则不等式组 ? 2 所表示的平面区域的面积等于( ) ? ? f (2 x ? y ) ? 1
A、

1 5

B、

3 5

1 D、1 2 第 II 卷(满分 100 分)
C、 ;

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置) 11、已知等差数列{ an } 满足 a2 ? ?1 , Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an , S15 ? 75 ,则 a5 ? 12、先阅读第(1)题的解法,再解决第(2)题: (1)已知“ a ? (3, 4), b ? ( x, y ), a ? b ? 1 ”求 x ? y 的最小值.
2 2

?

?

? ?

解:由 | a ? b | ? | a | ? | b | ? 1 ? 5 x ? y ? x ? y ?
2 2 2 2
2 2

? ?

?

?

1 1 2 2 ,故 x ? y 的最小值为 . 25 25
2

(2) 已知实数 x、 y, z 满足: 则 x ? y ? z 的最小值为_____; 2 x ? 3 y ? z ? 1, 13、如图所示,程序框图的输出结果 S=________; 14、先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1、2、3、 4、5、6 个点)两次, 落在水平桌面后,记正面朝上 的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x +y 为偶 数”,事件 B 为“x,y 中有偶数且 x ? y ”,则概率 P(B | A) =________; 15、对于曲线 y ? f ( x) ,若存在直线 I 使得曲线 y ? f ( x) 位于直线 l 的同一 侧 , 则 称 曲 线 y ? f ( x) 为 半 面 曲 线 . 下 列 曲 线 中 是 半 面 曲 线 的 序 号 为 _______(填上所有正确的序号) ①y?

1 1 1 3 4 3 ② y ? x ③ y ? x ? x ④ y ? x? ⑤ y ? ln | x | ⑥ y ? x sin x x x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16、(本小题满分 12 分) 在 ΔABC 中,AB= 3 5 ,BC=5, tan(C ? (1) 求 ΔABC 的面积; (2) 求

?
4

) ? ?7

sin(2 A ? B) ? 2cos( A ? B) 的值. sin A

2

17、(本小题满分 12 分) 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表:

(1) 试估计该市小微企业资金缺额的平均值; (2) 某银行为更好的支持小微企业健康发展,从其第一批注资的 A 行业 4 家小微企业和 B 行业的 3 家小微企业中随 机选取 4 家小微企业,进行跟踪调研.设选取的 4 家小微企业 中是 B 行业的小微企业的个数为随机变量 ? ,求 ? 的分 布列.

18、(本题满分 13 分) 在菱形 ABCD 中 AC= 2, BD = 4,将 ΔACD 沿着 AC 折起,使点 D 翻折到 D'位置,连 BD',直线 BD'与平面 ABC 所 成的角为 30° ,如右图所示. (1) 求证 AC ? BD' (2) 若 E 为 AB 中点,过 C 作平面 ABC 的垂线 l,直线 l 上是否存在一点 F, 使 EF//平面 AD'C?若存在,求出 CF 的 长;若不存在,请说明理由.

3

19、(本小题满分 13 分) 已知 a > 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? a ? x 。
x

(1) 求函数 y ? f ( x) 的极值点; (2) 对 x ? R 使 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

20、(本小题满分 12 分) 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0 )的左、右焦点分别为 F1,F2,左顶点为上顶点为 B,ΔBF1F2 是等边三角形,椭圆 C 上 a 2 b2

的点到 F1 的距离的最大值为 3. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过 F1 任意作一条直线 l 交椭圆 C 于 M、 N 两点 (均不是椭圆的顶点) ,设直线 AM 与直线 l0 : x ? ?4 交于 P 点, 直线 AN 与 l0 交于 Q 点,请判断点 F1 与以线段 PQ 为直径的圆 的位置关系.

4

21、(本小题满分 13 分) 已知数列{ an }满足 an ?1 ?
2 (n ? 2)an ? nan ? n ? 1 (n ? N ? ) , S n 是数列{ an }的前 n 项和. 2 an ? 1

(1) 若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 并推证数列{ an }的通项公式; (2) 若 a1 ? [ , ] ,求证: | Sn ?

1 3 2 2

n(n ? 1) | ? 1(n ? N ? ) 2

5

6

7

8

9

10


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