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2011-2012学年第二学期高二理科数学第一次月考试卷(含答案)


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1.函数 f(x)= sin 2xx 的最小正周期是( cos A. ?2
2



B.π

C.2π ) C . ( 1 ,0 ) 2

D.4π 2.抛物线 y ? x 的焦点坐标是( A.

D. ( 0 , 1 ) 2
( 1 4 ,0 )

B . (0, 1 ) 4

3. x 在 ( ? ? , ? ? ) 上变化时, 当 导函数 f ( x ) 的符号变化如下表: x 1 (1, 4 4) 0 + 0 - - 则函数 f ( x ) 的图象的大致形状为( )
/

( ? ? ,1)

(4, ? ? )

f (x)

/

4. 已知△ABC 的三内角 A, C 成等差数列, AB=1, B, 且 BC=4,则该三角形面积为( ) A. 3 B.2 C.2 3
1

D.4 3 3 5. 函数 y=3x-x 的单调增区间是( ) A. (0,+∞) B. (-∞,-1) 1) D. (1,+∞)
3

C. (-1,

6.曲线 y=4x-x 在点(-1,-3)处的切线方程是 ( ) A.y=7x+4 B.y=7x+2 C.y=x-4 D.y=x-2 7.若 ? 1
2 (2 x ? a x ) d x ? 3 ? ln 2

,则常数 a 的值为(



A、2 B、1 C、-1 D、0 8.由曲线 y= x 与直线 x=4, 围成的曲边梯形的面积 y=0 为( ) A、 136 B、 83 C、 332 D、16

9.若直线 l //平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 ( ) A、l // ? B、l 与 a 异面 C、l 与 a 相交 D、l 与 a 没有公共点为了从甲乙两

2

10.中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学 测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是 x 、 x ,则下列说法正确的是( )
甲 乙

第十题图

A. x B. x C. D. x







,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 > x ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 x < x ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 < x ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
> x乙
乙 甲 乙 乙

二、 填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 30 分. 共 把 答案填在答题卡的相应位置. 11. 对于函数 f ( x ) ,定义域为 D, 若存在 x ? D 使 f ( x ) ? x , 则 称 (x , x ) 为 f (x) 的 图 象 上 的 不 动 点 . 由 此 , 函 数
0
0 0

0

0

f (x) ?

9x ? 5 x?3

的 图 象 上 不 动 点 的 坐 标

为 . 12.过点 A(1,2)且与两定点(2,3)(4,-5)等距 、 离的直线方程为 。 13.. 设曲线 y ? ax 在点(1,
2

a

)处的切线与直线

3

2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?

14 . 已 知 正 项 等 比 数 列 { a n } 中 , 前 n 和 为
S 3 ? 2, S 6 ? 4 ,则公比 q

Sn

,若

=
1 0


0

15.设函数 f(x)=ax2+c(a≠0).若 ? f ( x ) dx ? f ( x ) ,0≤x0 ≤1,则 x0 的值为___ ___. 16.已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m, 则 M 的值为 三、解答题:本大题共 4 小题,共 70 分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2 s x ? n x . ( s xi n i c o (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)求 y ? f ( x ) 在 R 上的单调区间. 18. (本小题满分 18 分)设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ax ? 3bx ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取极值. (1) a、 的值;2) 求 b ( 若对于任意的 x ? [0, 3] , 都有 f ( x ) ? c 成立,求 c 的取值范围. 19. (本小题满分 18 分)用总长为 14.8m 的钢条,作 一个长方体容器的框架,如果制作容器的底面的一边 比另一边长 0.5m,那么高为多少 m 时容器的容积最 大?并求它的最大容积。
3 2
2

m

4

20. (本小题满分 18 分)如图所示,曲线段 OMB 是函 数 f(x)=x2(0<x<6=的图象,BA⊥x 轴于 A,曲线段 OMB 上一点 M(t,f(t))处的切线 PQ 交 x 轴于 P,交线 段 AB 于 Q. (1)试用 t 表示切线 PQ 的方程; (2)试用 t 表示出 △QAP 的面积 g(t);若函数 g(t)在 (m, n)上单调递减, 试求出 m 的最 小值; (3)若 S△QAP∈[ 121 ,64 ],试求 4 出点 P 横坐标的取值范围。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 题 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 号 0 得 D D C B C A C D B A 分
5

7、B

2 【 解 析 】 ? 1 ( 2 x ? ax ) d x =(x2+a · lnx)121

=(22+a·ln2)-(12+a·ln1) =3+a·ln2 故选 B 8、A 【解析】S ? S
4 0

∴a=1
16 3

x dx ?

2 3

3

x 2 |0 ?
4

2 3

3

x42 ? 0 ?

。故选 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. (1,1), (5, 5) ; 12. 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0; 13. a=1 【解析】 由题意, 切线的斜率为 2, y ? 2 ax 所以 2 a ? 2 , a ? 1 14.1
'

15 . 得x
0

3 3

【解析】取 F ( x ) ? 1 ax 3

3

? cx

, F (1) ? F ( 0 ) ? ax

2 0

?c



?

3 3

16.

2 2

【解析】 令 f ( x ) ?

1? x ?

x?3

,先考虑函数的

1 定义域, 定义域为 ?- 3,? 令 y ' ? 0 , x ? ? 1 , 比较 f ( ? 3), f ( ? 1), f (1) 得 , 的大小。知 M ? f ( ? 1) ,
m ? f ( ? 1) ? f ( 3 )



m M

=

2 2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 70 分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) ? 2 sin x ? 2 sin x co s x ? 1 ? co s 2 x ? sin 2 x
2

6

? 1?

2 (sin 2 x co s

?
4

? co s 2 x sin

?
4

) ?1?

2 sin ( 2 x ?

?
4

)

………..6 分

所以函数 1 ? 2 ………….8 分 ( Ⅱ
2 k? ?

f (x)

的最小正周期为 ? ,最大值为 ) 由

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

……………………………10

分 得
k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? 8

(k ? Z )

…………………………………………

……12 分 由
2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

3? 2

(k ? Z )

……………………………………..

14 分 得
k? ? 3? 8 ? x ? k? ? 7? 8 (k ? Z )

………………………………………

……….15 分 所以,单调增区间
[k? ? 3? 8 , k? ? 7? 8 ]( k ? Z )

[k? ?

?
8

, k? ?

3? 8

]( k ? Z )

;单调减区间

……………………..…………………………………… ………………………………16 分 18. 【 解 析 】 ( Ⅰ )
7

2 f ?( x ) ? 6 x ? 6 a x ? 3b

, ………………………………………….…2
f ?( 1 ) ? 0

分 因 为 函 数 f (x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取 得 极 值 , 则 有 f ? (2) ? 0 …….…4 分 即 ? 6 4? ?61a2?a 3?b 3?b 0? 0 ? 2
?
a ? ?3 解 得 , b ? 4 ………………………………………………………… ..……..…8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8 c , f ? ( x ) ? 6 x ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) ………………………………… …..10 分 当 x ? (0,1) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? (1, 2 ) 时, f ?( x ) ? 0 ; x ? ( 2, 3) 当 时 , f ? ( x ? ………………………………………………12 分 ) 0 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f ( 0 ) ? 8c ,
3 2 2



f (3) ? 9 ? 8 c

, ] 则 当 x ? [ 0 时 3 , f (x) 的 最 大 值 为 f (3) ? 9 ? 8 c …………………..14 分 因为对于任意的 x ? [0, 3] ,有 f ( x ) ? c 恒成立, 所以 9 ? 8c ? c ,解得 c ? ? 1 或 c ? 9 , 因 此 c 的 取 值 范 围 为 ( ? ? , ? 1) ? (9, ? ? ) …………………………………18 分 19. 【解析】 :设底面的一边长为 xm,则别一边长
2
2

8

为(x+0.5)m,从而长方体的高 h ? 1 4 .8 ? 4 ( x4? x ? 0 .5) ? 3 .2 ? 2 x . 由 ? 3 .2 x? ? x0 ? 0 得 0<x<1.6 ? 2
?

∴ 长 方 体 容 器 的 体 3 2 V=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x +2.2x +1.6x(0<x<1.6) …………8 分 2 V′=-6x +4.4x+1.6

积 …

令 V′=0 得 x=1 或 x=- 145 (舍去)……………12 分 且当 0<x<1 时 V′>0,1<x<1.6 时,V′<0 ∴x=1 是 V 的极大值,又在(0,1.6)内 V 只有 一个极大值。 故 x=1 时 V 取最大值 3 Vmax=-2+2.2+1.6=1.8(m ) ……………15 分 此时高 h=3.2-2×1=1.2(m) ……………16 分 答 : 当 高 为 1.2m 时 , 容 积 最 大 为 3 1.8m 。……………18 分 20【解析】 (1)设点 M(t,t2),又 f'(x)=2x, ∴过点 M 的切线 PQ 的斜率 k=2t , ∴ 切 线 PQ 的 方 程 为 : y=2tx - t2 .…………………………5 分

9

(2)由(1)可求得,P( 2t ,0 ),Q(6,12t-t2), ∴ t2)= t4 ? 6 t
3 2

g(t)
? 36 t ,



S



QAP



1 2

(6 ?

1 2

t)

(12t



(0<t<6) .…………8 分
2

t 由于 g'(t)= 34

? 12 t ? 36

,令 g'(t)<0,则 4<t<12,

考虑到 0<t<6,∴4<t<6, ∴函数 g(t)的单调递减区间是(4,6),因此 m 的最小值 为 4.……………13 分 (3)由(2)知,g(t)在区间(4,6)上递减,∴此时 S△ QAP∈(g(6), g(4))=(54, 64) . g' 令 (t)>0, 0<t<4, 则 ∴g(t) 在 区间(0,4)上递增, S△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64),又 g(4)=64,∴g(t) 的值域为(0,64) .………16 分 由 121 ≤g(t)≤64,得 1≤t<6∴ 1 ≤ 2t <3,∴点 P 的横 2 4 坐标∈[ 1 ,3]…………18 分 2

10


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