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第5节 抛物线


第 5 节 抛物线 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 抛物线的定义及其应用 抛物线的标准方程及性质 抛物线的综合问题 题号 2、4、6、11 1、5、7、13、14 3、8、9、10、12、15、16 练题感 提知能

一、选择题 1.(2014 银川模拟)抛物线 y=-2x2 的焦点坐标为( (A)(- ,0) (B)( ,0) (C)(0,- ) (

D)(0,- ) 解析:y=-2x2 化为标准方程为 x2=- y,其焦点坐标是(0,- ),故选 C. 2.设点 A 是抛物线 y2=4x 上一点,点 B(1,0),点 M 是线段 AB 中点.若 |AB|=3,则点 M 到直线 x=-1 的距离为( (A)5 (B) (C)2 (D) D ) C )

解析:如图,过 A、M、B 分别作 l:x=-1 的垂线,垂足分别为 P,N,Q,则 MN= (AP+BQ)= ?(3+2)= .故选 D.

3.(2013 年高考四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近 线的距离是( B )

(A) (B)

(C)1 (D)

解析:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为 ± x-y=0,则所求距离为 d= .故选 B. 4.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置 关系是( C )

(A)相离 (B)相交 (C)相切 (D)不确定 解析:如图所示,设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线为 l,A1、 B1 分别

为 A、B 在直线 l 上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的 距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|,故圆与抛物线准线相切. 故选 C.

5.(2014 广元市高考适应性检测)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面 积为 4,则抛物线方程为( (A)y2=4x (C)y2=±4x (B)y2=8x (D)y2=±8x D )

解析:当 a>0 时,如图所示,

F

,设 A(0,yA),

S△OAF= ? ?|yA|=4, ∴yA=- . 又直线 l 的斜率为 2, ∴ =2,

解得 a=8, ∴抛物线方程为 y2=8x. 同理当 a<0 时,可求抛物线方程为 y2=-8x. 故选 D. 6.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( (A)2 (B)3 (C) (D) A )

解析:如图所示,过点 P 作 PM⊥l1,PN⊥l2,过抛物线焦点 F(1,0)作

FQ⊥l1 于 Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点 F、P、Q 三点共线时, 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 7. (2013 成都市重点中学高三下学期入学考试)如图所示,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C, 若|BC|=2|BF|,|AF|=3,则此抛物线的方程为( D ) =2,故选 A.

(A)y2= x (B)y2=9x (C)y2= x (D)y2=3x 解析:如图所示,分别过点 A、B 作 AA1、BB1 与准线垂直,垂足分别为 A1、B1,由已知条件|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BB1|,

∴∠BCB1=30°,于是可得直线 AB 的倾斜角为 60°. 法一 又由|AF|=3 得|AF|=|AA1|=3= |AC|,

于是可得|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3, ∴|BF|= |CF|=1. ∴|AB|=4. 直线 AB 的方程为 y= (x- ), 代入 y2=2px 得 3x2-5px+ p2=0. ∵|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1| =xA+ +xB+ =xA+xB+p = p+p= p =4, ∴p= , 即得抛物线方程为 y2=3x.故选 D. 法二 直线 AB 的方程为 y= (x- ).

代入抛物线 y2=2px 得 3x2-5px+ p2=0,① 其中 A(xA,yA)满足方程, 其中 xA=3- > ,则 p<3, 将 xA=3- 代入①式得 4p2-24p+27=0. 解得 p= 或 (舍),

抛物线方程为 y2=3x.故选 D. 8.(2013 乐山第二次调研)在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心,r 为半径作圆,依次与抛物线 y2=x 交于 A、B、C、D 四点,若 AC 与 BD 的 交点 F 恰好为抛物线的焦点,则 r 等于( (A) (B) (C) (D) A )

解析:联立圆和抛物线的方程得: 消去 y 得 x2-x+1-r2=0, 由Δ =1-4(1-r2)>0,得 r> . 由题知 ABCD 是等腰梯形,AC 与 BD 的交点 F 为抛物线 y2=x 的焦点 F( ,0), 则 A,F,C 三点共线, 设 A(x1, 则 = , ),C(x2,)(0<x1<x2),

整理得 x1x2= =1-r2, 解得 r= ,符合题意.故选 A. 9.(2013 年高考大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、 B 两点,若 ( D ) ? =0,则 k 等于

(A)

(B)

(C)

(D)2

解析:法一

设直线方程为

y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2), 由 得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, ∴x1+x2= x1x2=4,② 由 ? =0, ,①

得(x1+2,y1-2)?(x2+2,y2-2) =(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2] =0, 代入①②整理得 k2-4k+4=0, 解得 k=2.故选 D. 法二 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 中点 P,

过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 G、H, 连接 MF,MP,



?

=0,

知 MA⊥MB, 则|MP|= |AB| = (|AG|+|BH|), 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线, 所以 MP∥AG∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则 MF⊥AB,所以 k=二、填空题 10.(2014 临沂一模)已知圆 x2+y2+mx- =0 与抛物线 y= x2 的准线相切, 则 m= . =2.

解析:抛物线的标准方程为 x2=4y,其准线方程为 y=-1. 圆的标准方程为(x+ )2+y2= 所以圆心为(- ,0),半径为 , ,

由于圆与抛物线准线 y=-1 相切,

所以 答案:±

=1,解得 m=± .

11.(2013 安徽皖南八校第二次联考)若抛物线 y2=2x 上一点 M 到坐标 原点 O 的距离为 ,则点 M 到抛物线焦点的距离为 解析:设 M(x,y),则由 得 x2+2x-3=0. 解得 x=1 或 x=-3(舍). 所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1- - = . 答案: 12.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若 ? =-4,则点 A 的坐标为 解析:设 A 的坐标为( ,y0), ∵F 为抛物线 y2=4x 的焦点, ∴F(1,0), ∴ ? =( ,y0)?(1- ,-y0) =- - =-4, 解得 =4, ∴y0=±2. . .

∴A 的坐标为(1,2)或(1,-2). 答案:(1,2)或(1,-2) 13.(2013 成都高三检测)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②过焦点的直线与抛物线交于两点的横坐标之积为 4; ③抛物线上横坐标为 2 的点到焦点的距离为 6; 能满足抛物线 y2=8x 的条件是 (填序号).

解析:①错,抛物线的焦点在 x 轴上;设过抛物线焦点的直线为 x=my+2, 代入 y2=8x,得 y2-8my-16=0.设两交点为(x1,y1),(x2,y2),则 y1y2=-16, ∴x1x2= ? =4,故②正确.③错,抛物线上横坐标为 2 的点到焦点的距 离等于到准线 x=-2 的距离,即 d=2+2=4. 答案:② 三、解答题 14.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所得的弦长 |AB|=3 ,求此抛物线方程. 解:设所求的抛物线方程为 y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线 y=2x-4 代入 y2=ax, 得 4x2-(a+16)x+16=0, 由Δ =(a+16)2-256>0,得 a>0 或 a<-32. 又 x1+x2= ∴|AB|= ,x1x2=4,

=

=3 ,

∴5[(

)2-16]=45,

∴a=4 或 a=-36. 故所求的抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-36x. 15.若抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 l:y=x+m 对 称,且 x1x2=- ,求实数 m 的值. 解:法一 如图所示,连接 AB,

∵A、B 两点关于直线 l 对称, ∴AB⊥l,且 AB 中点 M(x0,y0)在直线 l 上. 可设 lAB:y=-x+n, 由 得 2x2+x-n=0,

∴x1+x2=- ,x1x2=- . 由 x1x2=- ,得 n=1. 又 x0= =- ,

y0=-x0+n= +1= , 即点 M 的坐标为 由点 M 在直线 l 上, 得 =- +m, ∴m= . 法二 ∴ ∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2). 设 AB 中点 M(x0,y0), 则 x1+x2=2x0,kAB= =4x0. ∵A、B 两点在抛物线 y=2x2 上. ,

又 AB⊥l,∴kAB=-1,从而 x0=- . 又点 M 在 l 上,∴y0=x0+m=m- , 即M , =,

∴AB 的方程是 y即 y=-x+m- , 代入 y=2x2,

得 2x2+x-

=0,

∴x1x2=- =- , ∴m= . 16.在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是 抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M、F、O 三点的圆的圆心 为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点 M 的横坐标为 ,直线 l:y=kx+ 与抛物线 C 有两个不同的交点 A、B,l 与圆 Q 有两个不同的交点 D、E,求当 ≤k≤2 时,|AB|2+|DE|2 的最小值. 解:(1)依题意知 F ,圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 y= 上,

因为抛物线 C 的准线方程为 y=- , 所以 = ,即 p=1, 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y.

(2)假设存在点 M 斜率为 x0,

(x0>0)满足条件,易得抛物线 C 在点 M 处的切线

所以直线 MQ 的方程为 y- =x0(x-x0), 令 y= 得 xQ= + , 所以 Q 又|QM|=|OQ|, 故 因此 又 x0>0, 所以 x0= ,此时 M( ,1). 故存在点 M( ,1),使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M. (3)当 x0= 时,由(2)得 Q ☉Q 的半径为 r= 所以☉Q 的方程为 由 整理得 2x2-4kx-1=0. 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), + , = , = . + = , = + , .

由于Δ 1=16k2+8>0, x1+x2=2k,x1x2=- , 所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)(4k2+2). 由 整理得(1+k2)x2- x- =0. 设 D、E 两点的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4), 由于Δ 2= + >0, x3+x4= x3x4=, ,

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4] = +. +.

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ 令 1+k2=t,由于 ≤k≤2,则 ≤t≤5, 所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ + =4t2-2t+ + ,

设 g(t)=4t2-2t+ + ,t∈ 因为 g′(t)=8t-2- , 所以当 t∈ 即函数 g(t)在

,

时,g′(t)≥g′ 上是增函数,

=6,

所以当 t= 时,g(t)取到最小值 . 因此,当 k= 时,|AB|2+|DE|2 取到最小值 .


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