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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-2


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)设 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k C. k 1-k2 )

1-k2 B.- k D.- k 1-k2

[答案] B [解析] ∵sin80° = 1-cos280° = 1-cos2?-80° ?= 1-k2, 1-k2 sin80° ∴tan100° =-

tan80° =-cos80° =- k . (理)(2012· 辽宁理,7)已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα =( ) A.-1 2 C. 2 [答案] A [解析] 解法 1:由题意知,sinα-cosα= 2,sin2α-2sinαcosα 2 B.- 2 D.1

+cos2α=2,sin2α=-1,∵α∈(0,π). 3π 3π ∴2α∈(0,2π),∴2α= 2 ,α= 4 , 3π ∴tanα=tan 4 =-1.

解法 2:设 tanα=k,则 sinα=kcosα,代入 sinα-cosα= 2中得, 2 2k cosα= ,∴sinα= , k-1 k-1 ∵sin2α+cos2α=1, 2 k2 2 ∴ =1,∴k=-1. 2+ ?k-1? ?k-1?2 5 2.已知△ABC 中,tanA=-12,则 cosA=( 12 A.13 5 C.-13 [答案] D 5 [解析] 在△ABC 中,由 tanA=-12<0 知,∠A 为钝角,所以 sin2A+cos2A 1 169 12 cosA<0,1+tan A= = ,所以 cos A =- 2 2 = cos A cos A 144 13,故
2

)

5 B.13 12 D.-13

选 D. [点评] 学习数学要加强多思少算的训练,以提高思维能力,尤 5 其是选择题,要注意结合其特点选取.本题中,tanA=-12,A 为三 角形内角,即知 A 为钝角,∴cosA<0,排除 A、B;又由勾股数组 5、 sinA 12 12、13 及 tanA=cosA知,|cosA|=13,故选 D. π? 1 ? 3.已知 cos?α-4?=4,则 sin2α=(
? ?

)

7 A.-8 31 C.-32 [答案] A

7 B.8 31 D.32

π? ?π ? ? [解析] sin2α=cos?2-2α?=cos2?α-4?
? ? ? ?

π? ? ?1? 7 =2cos2?α-4?-1=2×?4?2-1=-8.
? ? ? ?

4.(2013· 山东青岛高三教学评估)若△ABC 的内角 A 满足 sin2A 2 =3,则 sinA+cosA=( 15 A. 3 5 C.3 [答案] A [解析] ∵0<A<π,∴0<2A<2π. 2 2 π 又∵sin2A=3,即 2sinAcosA=3,∴0<A<2. 5 ∵(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=3, 15 ∴sinA+cosA= 3 . sin?-250° ?cos70° 5.(2012· 广东六校联考) 2 的值为( cos 155° -sin225° 3 A.- 2 1 C.2 [答案] C [解析] 原式= = -sin?270° -20° ?cos?90° -20° ? 2 2 cos 25° -sin 25° 1 B.-2 3 D. 2 ) ) 15 B.- 3 5 D.-3

cos20° sin20° sin40° cos50° 1 =2cos50° =2,故选 C. cos50° =2cos50° )

6.已知 tan140° =k,则 sin140° =(

A.

k 1+k2 k 1+k2

B.

1 1+k2 1 1+k2

C.-

D.-

[答案] C [解析] k=tan140° =tan(180° -40° )=-tan40° , ∴tan40° =-k,∴k<0,sin40° =-kcos40° , sin140° =sin(180° -40° )=sin40° , ∵sin240° +cos240° =1, ∴k2cos240° +cos240° =1, ∴cos40° = 二、填空题 7. (2013· 江西临川期末)已知 α 是第二象限角, 其终边上一点 P(x, 2 π 5),且 cosα= 4 x,则 sin(α+2)=________ 6 [答案] - 4 [解析] 由题意得 cosα= x 2 2 = 4 x, 5+x -k 1 ,∴sin40° = 2 . k +1 k +1
2

解得 x=0 或 x= 3或 x=- 3. 又 α 是第二象限角,∴x=- 3. 6 π 6 即 cosα=- 4 ,sin(α+2)=cosα=- 4 . sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 8.化简 =______(k∈Z). sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? [答案] -1 [解析] 对参数 k 分奇数、偶数讨论.当 k=2n+1(n∈Z)时,原

sin?2nπ+π-α?· cos?2nπ-α? 式= sin?2nπ+2π+α?· cos?2nπ+π+α? = sin?π-α?· cosα sinα· cosα = =-1. sinα· cos?π+α? sinα· ?-cosα?

当 k=2n(n∈Z)时,原式 = = sin?2nπ-α?· cos?2nπ-π-α? sin?2nπ+π+α?· cos?2nπ+α? -sinα· ?-cosα? =-1. -sinα· cosα

sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 所以 =-1. sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? 9.函数 y= tanx+lg cosx 的定义域是________________. π [答案] {x|2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z}
?tanx≥0, ? [解析] 由题意知? ? ?cosx>0,

π 如图,由 tanx≥0 得,mπ≤x<mπ+2,m∈Z, π π 由 cosx>0 得,2nπ-2<x<2nπ+2,n∈Z. π ∴2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z.

三、解答题 10.(2013· 长沙一中月考)已知 6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,α

3π ∈( 2 ,2π). (1)求 tanα 的值; π (2)求 cos(α+3)的值. 3π [解析] (1)∵α∈( 2 ,2π),∴cosα≠0, ∵6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0, ∴6tan2α+5tanα-4=0, 4 1 解得 tanα=-3或 tanα=2. 3π ∵α∈( 2 ,2π),∴tanα<0. 1 4 故 tanα=2(舍去),∴tanα=-3. 3π 4 (2)∵α∈( 2 ,2π),∴由 tanα=-3, 4 3 求得 sinα=-5,cosα=5. π π π ∴cos(α+3)=cosαcos3-sinαsin3 3 1 4 3 3+4 3 =5×2-(-5)× 2 = 10 . 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)(2013· 天津耀华中学模拟)若 sinα+cosα= 2,则 tanα+ cosα sinα 的值为( A.-1 1 C.-2 ) B.-2 D.2

[答案] D cosα sinα cosα 1 [解析] tanα+ sinα =cosα+ sinα =sinαcosα = 2 =2,故应选 D. ?sinα+cosα?2-1

3 (理)(2014· 龙岩月考)已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= 3 ,则 cos2α=( ) 5 B.- 9 5 D. 3

5 A.- 3 5 C. 9 [答案] A

3 1 [解析] 由 sinα+cosα= 3 平方得:1+sin2α=3, 2 即 sin2α=-3. 又 α 为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0, 15 ∴cosα-sinα=- ?cosα-sinα?2=- 3 . 3 15 5 ∴cos2α=cos2α-sin2α= 3 ×(- 3 )=- 3 .故选 A. 解答本题要注意到 sinα± cosα 与 sinαcosα 之间的关系. 12.已知 tanθ>1,且 sinθ+cosθ<0,则 cosθ 的取值范围是( 2 A.(- 2 ,0) 2 C.(0, 2 ) [答案] A 2 B.(-1,- 2 ) 2 D.( 2 ,1) )

[解析]

5π 如图,依题意结合三角函数线进行分析可知, 2kπ+ 4

3π 2 <θ<2kπ+ 2 ,k∈Z,因此- 2 <cosθ<0.选 A.

π 13.(文)已知 tanx=sin(x+2),则 sinx=( -1± 5 A. 2 C. 5-1 2 B. D. 3+1 2 3-1 2

)

[答案] C π [解析] ∵tanx=sin(x+2),∴tanx=cosx, ∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0, 解得 sinx= -1± 5 2 , 5-1 2 .故选 C.

∵-1≤sinx≤1,∴sinx=

( 理 )(2013· 北京海淀期中 ) 已知关于 x 的方程 x2 - xcosA· cosB + C 2sin2 2 =0 的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC 一定是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 )

[答案] C 1 C [解析] 由题意得,cosAcosB=2· 2sin2 2 ? cosA· cosB= 1-cosC cosB=1+cos(A+B) 2 ?2cosA·

?2cosA· cosB=1+cosA· cosB-sinA· sinB ?cosA· cosB+sinA· sinB=1?cos(A-B)=1?A-B=0?A=B, 所 以△ABC 一定是等腰三角形,故选 C. 二、填空题 2tan70° 14. 设 a= , b= 1+tan270° 1+cos109° 3 1 , c = cos81° + , 2 2 2sin99°

将 a、b、c 用“<”号连接起来________. [答案] b<c<a [解析] a= b= 2tan70° 2sin70° cos70° = 2 =sin140° , 2 1+tan 70° cos 70° +sin270° 1-cos71° =sin35.5° =sin144.5° , 2

1+cos109° = 2

c=sin60° cos81° +cos60° sin81° =sin141° , ∵y=sinx 在(90° ,180° )内单调递减, ∴a>c>b. π 1 15.(2012· 唐山二模)若 3cos(2-θ)+cos(π+θ)=0,则 cos2θ+2 sin2θ 的值是________. 6 [答案] 5 [分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到 sinθ=kcosθ(或 tanθ =k)结合 sin2θ+cos2θ=1 可求得 sinθ 与 cosθ 代入待求值式可获解(或 将待求式除以 1=sin2θ+cos2θ, 分子分母都化为 tanθ 的表示式获解).

π [解析] ∵3cos(2-θ)+cos(π+θ)=0, 即 3sinθ-cosθ=0, 即 tanθ 1 =3. cos2θ+sinθcosθ cos2θ+sinθcosθ 1 ∴cos θ+2sin2θ= = 1 sin2θ+cos2θ
2

4 3 6 1+tanθ = = 2 = 1 2 10=5. 1+tan θ 1+?3? 9 [点评] 形如 asinα+bcosα 和 asin2α+bsinαcosα+ccos2α 的式子 分别称为关于 sinα、cosα 的一次齐次式和二次齐次式.若已知 tanα =m,求涉及它们的三角式的值时,常作①1 的代换,②sinα=mcosα 代入,③选择题常用直角三角形法求解,④所给式是分式时,常用分 子、分母同除以 coskα(k=1,2,…)变形. 三、解答题 16.(文)(2014· 龙湾中学月考)已知向量 a=(cosα,1),b=(-2, 3π? ? sinα),α∈?π, 2 ?,且 a⊥b.
? ?

1 1+3

(1)求 sinα 的值; π? ? (2)求 tan?α+4?的值.
? ?

[解析] (1)∵a=(cosα,1),b=(-2,sinα),且 a⊥b. ∴a· b=(cosα,1)· (-2,sinα)=-2cosα+sinα=0. 1 ∴cosα=2sinα. 4 ∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=5. 3π? ? 2 5 ∵α∈?π, 2 ?,∴sinα=- 5 .
? ?

5 (2)由(1)可得 cosα=- 5 ,则 tanα=2. π? tanα+1 ? tan?α+4?= =-3. ? ? 1-tanα (理)已知向量 m=(-1,cosωx+ 3sinωx),n=(f(x),cosωx),其 3 中 ω>0,且 m⊥n,又函数 f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为2π. (1)求 ω 的值; π? 23 ?3 ? ? (2)设 α 是第一象限角,且 f?2α+2?=26,求 的值. ? ? cos?4π+2α? [解析] (1)由题意得 m· n=0,所以, f(x)=cosωx· (cosωx+ 3sinωx) = 1+cos2ωx π? 1 ? 3sin2ωx ?2ωx+ ?+ , + = sin 6? 2 2 2 ? π? ? sin?α+4?

根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π. 1 又 ω>0,所以 ω=3. π? 1 ?2 (2)由(1)知 f(x)=sin?3x+6?+2.
? ?

π? π? 1 ?3 ? 所以 f?2α+2?=sin?α+2?+2
? ? ? ?

1 23 =cosα+2=26, 5 解得 cosα=13, 12 因为 α 是第一象限角,故 sinα=13, π? 2 ? sin?α+4? 2 ?sinα+cosα? ? ? ? ? 所以, = cos2α = cos?4π+2α? cos2α-sin2α π? ? sin?α+4?

2 1 13 2 =2· =- 14 . cosα-sinα

考纲要求 理解同角三角函数的基本关系式, 能利用平方关系和商数关系进 行化简、求值和证明有关问题. 能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式, 能利用诱 导公式化简任意角的三角函数值. 补充说明 1.怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值, 主要是运用诱导公式化任意角三角函 数为锐角三角函数,其一般步骤是: (1)负化正:当已知角为负角时,先利用-α 的诱导公式把这个角 的三角函数值化为正角的三角函数值; (2)正化主:当已知角不在区间[0° ,360° )时,可用 k· 360° +α 的 诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0° ,360° )上的角的三角 函数值; (3)主化锐:当已知角是 90° 到 360° 间的角时,可利用 180° ± α, 360° -α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为 0° 到 90° 间的角的三 角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果). 2.证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有: (1)化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角公式及变形 技巧,逐步变形到等式的另一边. (2)左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边分别变形化

简,得到同一个式子. (3)转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简化证明过程. 3.三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值, 把角看成锐角构造相应的直角三角形. , 求出该锐角的各三角函数值,再添上符号即可. 4.同角三角函数关系的六边形法则

记忆:上弦中切下割,左正右余中 1,倒数对角线、平方倒三角、 乘积两边夹、商数依次除. 应用:寻找解题途径. 如已知 sinα ①利用平方关系可求 cosα,进而求 tanα,cotα. ②利用倒数关系可求 cscα,进而可求 cotα 等. 5.三角形中的诱导公式 在三角形 ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC, tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC, A B π C C sin( 2 + 2 )=sin(2- 2 )=cos 2 , A B π C C cos( 2 + 2 )=cos(2- 2 )=sin 2 .

6.求角的一般步驟 求角时, 一般先求出该角的某一三角函数值, 再确定该角的范围, 最后求角. 备选习题 1.(2013· 青岛期末)sin45° cos15° +cos225° sin15° 的值为( 3 A.- 2 1 C.2 [答案] C [解析] sin45° cos15° +cos225° sin15° =sin45° cos15° -cos45° sin15° 1 =sin(45° -15° )=sin30° =2. 2.(2013· 吉林四平期末)若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的 是( ) θ A.sin2 θ C.tan2 [答案] C θ [解析] ∵θ 为第一象限角,∴2为第一象限角或第三角限角,所 以选 C. 3.若 sin76° =m,则 cos7° =______. [答案] 2m+2 2 θ B.cos2 D.cos2θ 1 B.-2 3 D. 2 )

[解析] ∵sin76° =m,∴cos14° =m,

即 2cos27° -1=m,∴cos7° =

2+2m . 2


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