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历年数列高考题汇编


历年高考真题汇编---数列答案(含)
1、(2011 年新课标卷文)
解: (Ⅰ )因为 a n ?

1 1 n ?1 ?( ) 3 3

1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 1 3 ? 3 , ? n . Sn ? 3 1 3 2 1? 3

所以 S n ?

1 ?

an , 2

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an 所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ?

? ?(1 ? 2 ? .......? n) ? ?

n( n ? 1) 2

n(n ? 1) . 2

.2、(2011 全国新课标卷理)
2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4

1 。有条件可 9

1 知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

3、 (2010 新课标卷理)
解(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时, an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ?

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 3(22n?1 ? 22n?3 ?

? 2) ? 2 ? 22( n ?1) ?1 。

1

而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?
从而 ①-②得 即

? n ? 22n?1



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ?

? n ? 22n?1



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ?

? 22n?1 ? n ? 22n?1 。

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

。 4、 (20I0 年全国新课标卷文) 解: (1) 由 am = a1 +(n-1) d 及 a1=5,a10=-9


{
解得

a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

{d ??2
n(n ? 1) d=10n-n2。 2
……..6 分

a1 ? 9

数列{an}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sn=na1+

因为 Sn=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值。

6、 ( 2011 辽宁卷)
解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

?a1 ? d ? 0, ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得 ?

?a1 ? 1, ?d ? ?1.
………………5 分

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. (II)设数列 {

an a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? n ?1 2 2

?

an , 故S1 ? 1 , 2n ?1

Sn a1 a2 ? ? ? 2 2 4

?

an . 2n

2

所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
=

n n . 所以 S n ? n ?1 . n 2 2

综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

7、 (2010 年陕西省)
解 (Ⅰ)由题设知公 差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

Sn=2+22+23+… +2n=

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2 1? 2

8、 (2009 年全国卷)
解: 设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 a3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2d ? 3q ? 17
2

① ②

由 T3 ? S3 ? 12 得 q ? q ? d ? 4
2

由①②及 q ? 0 解得 故所求的通项公式为

q ? 2, d ? 2

an ? 2n ?1, bn ? 3? 2n?1 .

11、 (2011 浙江卷)
解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1d ? d
2
2

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4
因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a.

故通项公式 an ? na.
3

(Ⅱ)解:记 Tn ?

1 1 ? ? a2 a22

?

1 ,因为a2n ? 2n a a2n

所以 Tn ?

1 1 1 ( ? ? a 2 22

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 1 1 2 ? n)? ? 2 ? [1 ? ( ) n ] 1 a a 2 2 1? 2
1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

从而,当 a ? 0 时, Tn ?

12、 (2011 湖北卷)

13、 (2010 年山东卷)
解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,
4

由于 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10d ? 26 , 解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? 所以 an ? 2n ? 1, Sn ? n(n ? 2) (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) 因此 bn ?
2

n( a1 ? an ) , 2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1
所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? 4 n ?1 4(n ? 1)

n 4(n ? 1)

14、 (2010 陕西卷)
解 (Ⅰ)由题设知公 差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

Sm=2+22+23+… +2n=

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2.、 1? 2

15、 (2010 重庆卷)

16、 (2010 北京卷)
解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。

5

因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6 ?a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

17、 (2010 浙江卷)
解:(Ⅰ)由题意知 S0=

-15 -3,a=S-S=-8 S5

所以 ?

?Sa1 ? 10d ? 5, 解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7 a ? 5 d ? ? 8. ? 1

(Ⅱ)因为 SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8.[故 d 的取值范围为 d≤-2 2

18、 (2010 四川卷)

Ⅱ )由(Ⅰ )得解答可得,

bn ? n qn?1 ,于是

Sn ? 1 q0 ? 2 q1 ? 3 q2 ?

? n qn?1 .

若 q ? 1 ,将上式两边同乘以 q 有 两式相减得到

qSn ? 1 q1 ? 2 q2 ?

? ? n ?1? qn?1 ? n qn



? q ?1? Sn ? n qn ?1? q1 ? q2 ?

? qn?1

6

nq qn ?1 ? nq ? ? q ?1
n

n ?1

? ? n ? 1? q n ? 1 q ?1 .

Sn ?
于是

nq n ?1 ? ? n ? 1? q n ? 1

? q ? 1?

2



若 q ? 1 ,则

Sn ? 1 ? 2 ? 3 ?

?n?

n ? n ? 1? 2 .

? n ? n ? 1? , ? q ? 1? , ? ? 2 Sn ? ? n ?1 nq ? ? n ? 1? q n ? 1 ? , ? q ? 1? . 2 ? q ? 1? ? ? 所以, …………………… ……………(12 分)

19、 (2010 上海卷)
解:由 Sn ? n ? 5an ? 85, n ? N * 可得: a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85 ,即 a1 ? ?14 。 同时 (1)

Sn?1 ? (n ? 1) ? 5an?1 ? 85

(2)

从而由 (2) ? (1) 可得: an?1 ? 1 ? 5(an?1 ? an )

5 5 (an ? 1), n ? N * ,从而 {an ? 1} 为等比数列,首项 a1 ?1 ? ?15 ,公比为 , 6 6 5 n ?1 5 n ?1 通项公式为 an ? 1 ? ?15*( ) ,从而 an ? ?15*( ) ? 1 6 6
即: an ?1 ? 1 ?

20、 (2009 辽宁卷)
解: (Ⅰ)依题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q )
2

由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而

q ?-

1 2

1 2 a1 ? a ( 1 ? ) ? 3 2 (Ⅱ)由已知可得
故 a1 ? 4
7

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 Sn ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2 从而

空间几何答案
25.【2012 高考广东理 18】 【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面 垂直的证明、二面角的求解等问题,考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力. 【解析】 (1) PC ? 平面 BDE , BD ? 面 BDE ? BD ? PC PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? BD ? PA 又 PA PC ? P ? BD ? 面 PAC ? A? C ? A B ( 2 ) AC BD ? O 由 ( 1 ) 得 : B D , PA ? 1, AD ? 2 ? AB ? 2 ,

A D

PC ? 平面 BDE ? BF ? PC ? ?BFO 是二面角 B ? PC ? A , OF? PC
的平面角 在

?PBC





PB ? 5, BC ? 2, PC ? 3 ? ?PBC ? 90? ? BE ?


Rt ?BOF

BP ? BC 2 5 ? PC 3
中 ,

BO ? 2, OE ? BF 2 ? BO 2 ?

2 BO ? tan ?BFO ? ?3 3 OF 得:二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3

26.【2012 高考辽宁理 18】 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算,考 查空间想象能力、运算求解能力,是容易题. 【解析】 (1)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' ……6 分 (2) 以 A 为坐标原点, 分别以直线 AB,AC,AA' 为 x 轴, y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz ,如图所示 设 AA'=1, 则 AB =AC =? , 于 是

A? 0

? ??

? ?

? ?

? ?

? ?

?, ,

B

?

所以 M ?

?? 1? ?? ? ? ,0, ? ,N ? , ,1? ,设 m= ?x 1,y 1,z 1 ? 是平面 A'MN 的 ? 2 2? ? 2 2 ?

法向量,

1 ?? x1 - z1 =0 ? ? m A ' M =0, ?2 ? 2 由? 得? ,可取 m= ?1,-1,? ? ? 1 m MN =0 ? ? y + z =0 ? 1 1 ? ?2 2

8

设 n= ? x2 ,y2 ,z2 ? 是平面 MNC 的法向量,

? ? ? - x2 + y2 -z2 =0 ? ? ? n NC =0, ? 2 2 由? 得? ,可取 n= ? -3,-1,? ? ? ? n MN =0 ? ? y2 + 1 z2 =0 ? ?2 2 因为 A'-MN -C 为直二面角,所以 m n=0,即-3+ ? -1? ? ? -1? +? 2 =0 ,解得 ? = 2 ……12 分
27. 【2012 高考湖北理 19】 【答案】 (Ⅰ) 解法 1: 在如图 1 所示的△ ABC 中, 设 BD ? x (0 ? x ? 3) , 则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x . D D ? C 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) ,A , AD ? BD ,且 BD DC ? D , 1 1 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90 ,所以 S?BCD ? BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2 1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12
? 1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ?3, 12 ? 3 ? ?
3

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. 解法 2: 1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6 1 3 1 令 f ( x) ? ( x ? 6 x2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (Ⅱ )解法 1:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 由(Ⅰ )知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 .

1 于是可得 D (0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0, 2 , 0) , A(0, 0, 2) , M (0, 1, 1) , E ( , 1, 0) , 2
且 BM ? (?1, 1, 1) .

1 设 N (0, ? , 0) ,则 EN ? (? , ? ? 1,0) . 因为 EN ? BM 等价于 EN ? BM ? 0 ,即 2 1 1 1 1 (? , ? ?1, 0) ? (?1, 1, 1) ? ? ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? , N (0, , 0) . 2 2 2 2 1 所以当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时, EN ? BM . 2
? 1 ?n ? BN , 设平面 BMN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? 及 BN ? (?1, ,0) , 2 ? ?n ? BM ,
? y ? 2 x, 得? 可取 n ? (1, 2, ? 1) . ? z ? ? x. 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2

9

1 | ? ? 1| 3 2 ,即 ? ? 60 . ? 2 2 6? 2 28.【2012 高考新课标理 19】 【答案】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC n ? EN sin ? ? cos(90 ? ? ) ? ? | n | ? | EN |
得: ?ADC ? 45?
? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC1 ? 90

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1? B1 C1 ? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1 1 A 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD

H 与点 D 重合 B得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a ? , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30 2

? 既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

29. 【2012 高考江苏 16】 【答案】 证明: (1) ∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。

CC1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 又∵ AD ? DE ,
面 BCC1 B1 。

DE ? E ,∴ AD ? 平

又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 又∵ CC1,

B1C1 ? C1 , ∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 。

由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE , A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 30. 【2012 高考四川理 19】 [解析] (1) 连接 OC。 由已知,?OCP为直线PC与平面ABC
10

所成的角 设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 ,AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . 在 Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

OP 3 39 . ? ? OC 13 13
39 …………………6 分 13

故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan (2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥ PA,

所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3 在 Rt△ CDE 中,tan ?CED ?

CD ?2 DE

故 二面角B — AP — C的大小为arctan2 ……………………………12 分 31.【2012 高考福建理 18】解答: (Ⅰ)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? AD ? 1 得: AD1 ? A 1D, AD 1 ? A 1B 1, A 1D

A1B1 ? A1 ? A1D ? 面 A1B1CD

B1E ? 面 A1B1CD ? B1E ? AD1
(Ⅱ)取 AA1 的中点为 P , AB1 中点为 Q ,连接 PQ 在 ?AA1B1 中, PQ / / 面 B1 AE 此时 AP ? (Ⅲ)设 A 1D

1 1 A1 B1 , DE / / A1B1 ? PQ / /DE ? PD / /QE ? PD / / 2 2

1 1 AA1 ? 2 2

AD1 ? O ,连接 AO ,过点 O 作 OH ? B1E 于点 H ,连接 AH

AO ? 面 A1B1CD , O H ? B ? A H? B 1 1 E 1 E
11

得: ?AHO 是二面角 A ? B1 E ? A1 的平面角 ? ?AHO ? 30 在 Rt ?AOH 中, ?AHO ? 30 , ?AOH ? 90 , AH ? 在矩形 A 1B 1CD 中, CD ? x, A 1D ? 2
? ?

?

2 6 ? OH ? 2 2

1 x 1 2 1 2x S?B1OE ? 2 x ? ? 2 ? ? ? ?x? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2

3x 2 8

1 x2 6 ? ? 2? ? ?x?2 2 4 2
得: AB ? 2 32.【2012 高考北京理 16】【答案】解: (1)
CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,

AC ? 平面 A1CD , 1

? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0?
A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ∴ ? 1, 0?

?

?

?

?

设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?
? ?A B ? n ? 0 则? 1 ? ? A1 E ? n ? 0
n ? ?1 ,2 , 3 ∴

? ?3 y ? 2 3z ? 0 ∴ ? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴ ? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?

?
?
C (0,0,0) x

D (-2,0,0)

M ?1 ,0 , 3 又∵

?

CM ? ?1 ,0 , 3 ∴

?

?

cos ? ? ∴

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。 ∴

(3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , 3? a, 0? ,则 a ? ? 0 ,

12

则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , a, 0? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,

?

?

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a

? 3 z1 ? ay1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。

33.【2012 高考浙江理 20】 【答案】(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0). 设 Q(x,y,z),则 CQ ? (x ? 3,y ? 3,z ), CP ? (? 3, ? 3, 2 6) . ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, ? 3?, 2 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, 3 ? 3?, 2 6? ) . 由 OQ ? CP 即: Q(
? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ?

3 3 , ,0), 2 2

1 . 3

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) . ∵ AM ? (?
3 3 , , 0),AN =( 3, 0, 0) . 2 2

13

? ? AM ? n ? 0 则? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b ? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

∴n? (

3 1 , ,0) . 3 3

同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,, 1 ? 6) . 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? , 则 cos ? ?
n?v n?v ? 10 . 5

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为

10 . 5

34. 【 2012 高考重庆理 19 】解: ( 1 )由 AC ? BC , D 为 AB 的中点,得 CD ? AB ,又

CD ? AA 1 , 故 CD ? 面A 1 ABB 1 , 所 以 点 C 到 平 面 A 1 ABB 1 的 距 离 为

CD ? BC 2 ? BD2 ? 5
(2)如图, 取 D1 为 A1B1 的中点, 连结 DD1 ,则 DD1∥AA (1) 知 CD ? 面A1 ABB1 , 1∥CC1 ,又由 故 CD ? A1D CD ? DD1 ,所以 ?A1DD1 为所求的二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角。 因 A1D 为 AC 在面 A ,由三垂线定理的逆定理得 1 1 ABB 1 上的射影,又已知 AB 1 ? AC 1 都 与 ?B1 AB互 余 , 因 此 ?A ,所以 AB1 ? A1D , 从 而 ?A1 AB 1, ? A 1 DA 1 AB 1 ? ?A 1 DA

Rt A 1 AD

Rt 1 B 1A ,因此, A

AA1 A1 B1 2 ,即 AA ? 1 ? AD A 1B 1 ? 8 ,得 AA 1 ?2 2。 AD AA1

从而 A1 D ?

AA12 ? AD 2 ? 2 3 ,所以, 在 Rt A1DD1 中, cos A1DD1 ?

DD1 AA1 6 。 ? ? A1D A1D 3

35.【2012 高考江西理 19】解: (1)证明:连接 AO,在 AOA1 中,作 OE ? AA1 于点 E, 因为 AA 1 // BB 1 ,得 OE ? BB 1, 因为 AO ? 平面 ABC,所以 AO ? BC ,因为 AB ? AC, OB ? OC , 1 1 得 AO ? BC ,所以 BC ? 平面 AAO ,所以 BC ? OE , 1
14

z A
1

C1 B
1

所以 OE ? 平面 BB1C1C , 又 AO ?

1 E x A y B O

AB 2 ? BO 2 ? 1, AA1 ? 5 ,

AO2 5 得 AE ? ? AA1 5
(2)如图所示,分别以 OA, OB, OA1 所在的直线

C

为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知 AE ?

4 2 1 AA1 得点 E 的坐标为 ( , 0, ) ,由(1)可知平面 BB1C1C 的法向量是 5 5 5

4 2 ( , 0, ) ,设平面 A1B1C 的法向量 n ? ( x, y, z) , 5 5
由?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? A1C ? 0

,得 ?

?? x ? 2 y ? 0 ,令 y ? 1 ,得 x ? 2, z ? ?1 ,即 n ? (2,1, ?1) ?y ? z ? 0

所以 cos ? OE, n ??

OE ? n 30 ? | OE | ? | n | 10
30 。 10

即平面平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值是 36.【2012 高考安徽理 18】 ( 【解析】(综合法)

(I)取 BC , B1C1 的中点为点 O, O1 ,连接 AO, OO1 , AO 1 , AO 1 1, 则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C , 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / AO 1 1 ? A, O, A 1, O 1 共面, 又 OO1 ? BC, OO1

AO ? O ? BC ? 面 AOO1 A1 ? AA1 ? BC 。

D ,使 O1D ? OA ,得: O1D/ /OA ? AD/ /OO1 , (Ⅱ)延长 AO 1 1到

OO1 ? BC ,面 A1 B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A1 B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C1 ,
AA1 ? AD 2 ? DA2 ? 42 ? (2 ? 1) 2 ? 5 。

(Ⅲ) AO ? BC, AO ? BC ? ?AOA1 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角。 1 在 Rt ?OO1 A1 中, A 1 O ? OO1 ? A1O1 ?
2 2

42 ? 22 ? 2 5 ,

在 Rt ?OAA 1 中, cos ?AOA 1 ?

2 AO2 ? AO ? AA12 5 1 , ?? 2 AO ? AO 5 1

15

得:二面角 A ? BC ? A 1 的余弦值为 ?

5 。 5

37.【2012 高考上海理 19】[解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所 以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ……3 分 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2? 2 3 ? 2 3 . 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 , 1),

z P

……6 分

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE ? BC cos? ? | AE ? || BC | 4 2? 2 2

……8 分 B

E A C ……12 分 D y

x 由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 P EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ……8 分 F 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 A 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . B 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 38.【2012 高考全国卷理 18】解:设 AC

?

2 2

,?= ? . 4

E D C ……12 分

BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴

建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设

B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) 。
(Ⅰ)证明:由 PE ? 2 EC 得 E (

2 2 2 2 , 0, ) , 所以 PC ? (2 2,0, ?2) , BE ? ( , a, ) , 3 3 3 3 2 2 , a, ) ? 0 , 3 3

BD ? (0,2a,0) ,所以 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? (

所以 PC ? BE , PC ? BD , 所以 PC ? 平面 BED ; PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 。 ( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 AP ? (0, 0, 2), AB? ( 2 ?, a , , 0)由

n ? AP? 0, n? AB ? 0 得 n ? (1,

2 , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 又 a 2 , 2) ,由 a

B C? ( 2 , a , 0 )C ,P ? ?( 2 2 ,,由 0, 2 m ) ? BC ? 0,m ?CP ? 0 ,得 m ? (1, ?
于二面角 A ? PB ? C 为 90 ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。
16

所以 PD ? ( 2, 2, ?2) , 平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) , 所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为

| PD ? m | 1 ? ? ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 . 6 | PD | ?| m | 2

39.【2012 高考山东理 18】 【答案】 (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AB 所以 ?ADC ? ?BCD ? 120 . 又 CB ? CD , 所以 ?CDB ? 30 因此 ?ADB ? 90 , AD ? BD , 又 AE ? BD ,且 AE 所以 BD ? 平面 AED . (Ⅱ)解法一: 由(I)知 AD ? BD ,所以 AC ? BC ,又 FC ? 平面 ABCD , 因此 CA , CB , CF 两两垂直.以 C 为坐标原点,分别以 CA , CB , CF 所在 的直 线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,不妨设 CB ? 1 ,则,

CD , ?DAB ? 60 ,

AD ? A , AE , AD ? 平面 AED ,

C( 0 , 0 , 0 ) , B( 0 ,1, 0 ) , D( 3 , ? 1 , 0 ) , F ( 0 , 0 ,1 ) , 2 2 因此 BD ? ( 3 , ? 3 , 0 ) , BF ? ( 0 , ?1,1) . 2 2 设平面 BDF 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) ,
则 m ? BD ? 0 , m ? BF ? 0 , 所以 x ? 3 y ? 3z ,取 z ? 1 , 则 m ? ( 3 ,1,1) . 又平面 BDC 的法向量可以取为 n ? ( 0 , 0 ,1 ) ,

5, 所以 cos ? m , n ?? m ? n ? 1 ? | m || n | 5 5
所以二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 .

5

解法二: 取 BD 的中点 G ,连结 CG, FG ,由于 CB ? CD , 所以 CG ? BD . 又 FC ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 FC ? BD . 由于 FC

CG ? C , FC , CG ? 平面 FCG ,

所以 BD ? 平面 FCG ,故 BD ? FG .
17

所以 ?FGC 为二面角 F ? BD ? C 的平面角. 在等腰三角形 BCD 中,由于 ?BCD ? 120 , 因此 CG ? 1 CB ,又 CB ? CF ,

2 所以 CF ? CG2 ? CF 2 ? 5CG , 故 cos ?FGC ? 5 ,因此 二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 5 5
40.【2012 高考湖南理 18】 【答案】解法 1(Ⅰ如图(1) ) ,连接 AC,由 AB=4, BC ? 3 ,

?ABC ? 90 ,得AC ? 5. 又AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE. PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD, 所以 PA ? CD.
而 PA, AE是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点B作 BG ? ?CD, 分别与AE, AD相交于F , G, 连接PF. 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?
8 5 . 5

AB2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

于是 PA ? BF ?

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15
18

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立 空间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).
(Ⅰ)易知 CD ? (?4, 2,0), AE ? (2, 4,0), AP ? (0,0, h). 因为

CD ? AE ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所以 CD ? AE, CD ? AP. 而 AP, AE 是平面 PAE
内的两条相交直线,所以 CD ? 平面PAE. (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即

CD ? PB CD ? PB

?

PA ? PB PA ? PB

.

由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h2
解得 h ?

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15
19

41.【2012 高考天津理 17】 【答案】 (1)以 AD, AC, AP 为 x, y , z 正半轴方向,建立空间直 角左边系 A ? xyz 则 D(2, 0, 0), C (0,1, 0), B( ?

1 1 , , 0), P(0, 0, 2) (lby lfx) 2 2

PC ? (0,1, ?2), AD ? (2,0,0) ? PC AD ? 0 ? PC ? AD
(2) PC ? (0,1, ?2), CD ? (2, ?1,0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? ( x, y, z) 则?

?n PC ? 0 ?

? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ?? ?? 2 x ? y ? 0 x ? z n CD ? 0 ? ? ? ?

AD ? (2,0,0) 是平面 PAC 的法向量
cos ? AD, n ?? AD n AD n ? 6 30 ? sin ? AD, n ?? 6 6

得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为

30 6
1 2 1 , h), CD ? (2, ?1, 0) 2

(3)设 AE ? h ?[0, 2] ;则 AE ? (0,0, 2) , BE ? ( , ?

cos ? B E ,C D ??

BE CD BE CD

?

3 1 0? 2h 02

? 2

3

10 10 ?h ? 即 AE ? 10 10

20


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