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2013高考数学压轴题突破训练——不等式(含详解)


高考数学压轴题突破训练——不等式(含详解)
1. 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? x ?1 。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求不等式 f ? x ? ? 1 的解集。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2. 直线 l 过曲线 y ? x 2 ? 2 上一点

( xn , yn ) ,斜率为 2 xn ,且 l 与 x 轴交于点 ( xn ?1 , 0) ,其中
x1 ? 2, n ? N? .

⑴试用 x n 表示 xn ?1 ;
1 ⑵证明: xn ?1 ? 2 ? ( xn ? 2) ; 2 ⑶若 xn ? a 对 n ? N? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

3. 已知实数 x 满足

x2 ? x ? 2 1 ? 0 求函数 f ( x) ?| x ? | |的最小值。 x x 3 ? 3x 2

4. 已知 函数 f(x)= x ? (m ? 4) x ? 3mx ? (n ? 6)(x ? R) 的图像关于原点对称, 其中 m,n
3 2

为实常数。 (1) 求 m , n 的值; (2) 试用单调性的定义证明:f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数; (3) [理科做] 当-2≤x≤2 时,不等式 f ( x) ? (n ? logm a) 恒成立,求实数 a 的取值范 围。

1

5. 已知函数 f ( x) ? x ?

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM 、 x PN ,切点分别为 M 、 N .

(Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请 说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个实数 n

a1 , a2 ,?, am , am?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最
大值.

6. 已知函数 f ( x) ? lg(a ? b ) (a ? 1 ? b ? 0)
x x

(1)求 y ? f ( x) 的定义域; (2)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a、b 满足什么条件时, f ( x ) 在 (1, ??) 上恒取正值。

? 1 ? a 2 ? an 7. 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? n , bn ? ? 1 ? ? (n ? N*) . 2 ? 2an ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 定理: 若函数 f ( x) 在区间 D 上是凹函数, 且 f ?( x ) 存在, 则当 x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D) 时,总有

an

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ?( x1 ) . x1 ? x2
n?1

请根据上述定理,且已知函数 y ? x

(n ? N*) 是 (0,??) 上的凹函数,判断 bn 与 bn ?1
2

的大小; (Ⅲ)求证:

3 ? bn . 2

8. 设函数 f(x)=

1? x ? ln x 在[1+,∞ ) 上为增函数. ax
1 1 1 1 1 1 1 1 (n∈N*且 n≥ ? ? ? ? ? ? ln n ? n ? ? ? ? ? ? 2 3 4 n 2 3 4 n ?1

(1)求正实数 a 的取值范围. (2)若 a=1,求征: 2)

9. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

4an ?1 ? n ? 2? . kan ?1 ? 1

(2)当 1 ? k ? 3 时,证明不等式: a1 ? a2 ?

? an ?

3n ? 8k . k

10. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明不等式: a1 ? a2 ?

4an ?1 ? n ? 2? . 2an ?1 ? 1

? an ?

3n ? 16 . 2

11. 已知函数 f ( x) ? a ?

1 . |x| (Ⅰ)求证:函数 y ? f ( x)在(0,??) 上是增函数. (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 x在(1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若函数 y ? f ( x)在[m, n] 上的值域是 [m, n](m ? n) ,求实数 a 的取值范围.

3

12. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意的 x1 , x 2 都满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,当

x ? 0 时, f ( x) ? 0 .
(1)判断并证明 f ( x) 的单调性和奇偶性; (2)是否存在这样的实数 m,当 ? ? [0,

?
2

] 时,使不等式

f [sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos? ) ?

对所有 ? 恒成立,如存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

4 ] ? f (3 ? 2m) ? 0 sin ? ? cos?

13. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x , 且当 x ?(1,3)时,有 f ( x) ? (1)证明: f (2) ? 2 ; (2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 实数 m 的取值范围。

1 ( x ? 2) 2 成立。 8

m 1 x , x ? [0,??) ,若 g ( x) 图上的点都位于直线 y ? 的上方,求 2 4

14. 设集合 A ? {x |

x?2 ? 1}, B ? {x || x ? a |? 2} , 若 A? B ?? , 求实数 a 的取值范围. 2x ? 1

4

15. 对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a>0) ,如果方程 f ( x) ? x 有相异两根 x1 , x2 . (1)若 x1 ? 1 ? x2 ,且 f ( x) 的图象关于直线 x=m 对称.求证: m ? (2)若 0 ? x1 ? 2 且 | x1 ? x2 |? 2 ,求 b 的取值范围; (3)? 、? 为区间 [ x1 ,x2 ] 上的两个不同的点, 求证:2a?? ? (1 ? b)(? ? ? ) ? 2 ? 0 .

1 ; 2

16. 已知函数 f(x)=ax +4x+b,(a,b∈R,a<0),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1 和 x2,f(x)=x 的两实根为α 和β 。 (Ⅰ)若 a,b 均为负整数,|α -β |=1,求 f(x)的解析式; (Ⅱ) (理)若α <1<β <2,求证:x1x2<2。 (文)若α 为负整数,f(1)=0,求证:1≤|x1-x2|<2.

2

17. 如关于 x 的方程 loga ?x ? 3? ? loga ?x ? 2? ? 1 ? loga ?x ? 1??a ? 0, a ? 1? 有解,求实数

a 的取值范围。

18. 已知函数 f ( x ) ? (

x 2 ? 3x ? 2 2 ) (其中 x ? 1且 x ? 2 ) x2 ? x ? 2
?1

(I)求函数 f(x)的反函数 f (II)设 g ( x ) ?

( x)

1 ? x ? 3 ,求函数 g(x)最小值及相应的 x 值; f ( x)
?1

(III)若不等式 (1 ?

x) ? f

?1

1 1 ( x) ? m(m ? x ) 对于区间 [ , ] 上的每一个 x 值都 4 2

成立,求实数 m 的取值范围。

5

19. 设 a>0,函数 f(x)= x -ax 在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围;

3

(2)设 x0 ≥1,f(x)≥1,且 f(f( x0 ) )= x0 ,求证:f( x0 )= x0 .

20. 已知 f ( x ?1) ? x 2 ? 6 x ? 8 , x ? (?? ,3]. (1)求 f(x) ; (2)求 f
?1

( x) ;
?1

(3)在 f(x)与 f

( x) 的公共定义域上,解不等式 f(x)> f ?1 ( x) + x 2 .

21. 已知不等式的解集为 P。 (1)若 P≠?,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a, 使 P∩Z={6,8},若存在, 求出 a 的取值范围;若不存在, 请说明理由。

22. 解关于 x 的不等式

k (1 ? x) ? 1 ? 0 (k≥0,k≠1). x?2

23. 设函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb, g(x)=2x+2, 若 f(-1)=0, 且对一切实数 x, 不等式 f(x) ≥g(x)恒成立; (Ⅰ) (本问 5 分)求实数 a、b 的值; (Ⅱ) (本问 7 分)设 F(x)=f(x)-g(x),数列{an}满足关系 an=F(n), 证明:

2

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? . 2n ? 4 na1 na2 nan n ? 1

6

24. 设函数 f ( x) 的定义域是 R,对于任意实数 m, n ,恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当

x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1.
(Ⅰ)求证: f (0) ? 1 ,且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ; (Ⅱ)判断 f ( x) 在 R 上的单调性; (Ⅲ)设集合 A ? ( x, y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) ,集合 B ? ?( x, y) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R?,若

?

?

A B ? ? ,求 a 的取值范围.

答案: 1. (1)

f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,

? f ? 0? ? 0 。
设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,

? f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? x2 ? x ? 1 ,
? x 2 ? x ? 1, x ? 0 ? ? f ? x? ? ? 0, x?0 ?? x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?
2 (2)当 x ? 0 时,由 x ? x ? 1 ? 1 得 0 ? x ? 2 ;

当 x ? 0 时,符合题意; 当 x ? 0 时,由 ? x ? x ? 1 ? 1 得 x ? ?1 ;
2

? 原不等式的解集为 ? ??, ?1?

?0, 2? 。

2 ? 2 x n ( x ? x n ) ,即 2. (1)依题意得直线 l 的方程为 y ? y n ? 2 x n ( x ? x n ) ,令 y ? 0得2 ? x n

2 2xn x ? 2 ? xn , 若x n ? 0, 则直线 l 的方程为 y ? ?2, l与x 轴无交点,

故 x n ? 0,? x ?

2 xn ?2 x2 ? 2 , 即x n ?1 ? n . 2xn 2xn

7

? ( x n ?1 ? 2 ) ?

(2)

(x ? 2 ) 2 1 1 (xn ? 2 ) ? n ? ? (xn ? 2 ) ? 2 2xn 2

xn ? 2 xn ? 2 2 (xn ? 2 ) ( ? 1) ? ? ?? (*) 2 xn 2xn
2 xn ? 2 xn x 1 1 ? ? , x1 ? 2 ? 0,? x 2 ? 0, x 3 ? 0, ?? x n ? 0, 故x n ?1 ? n ? ? 2 2xn 2 xn 2 xn

由于 x n ?1 ?

又若 xn?1 ? 2 , 则xn ? 2 , 从而 xn?1 ? xn?2 ? ?? ? x2 ? x1 ? 2 ,这与 x1 ? 2 矛盾,
1 因此 x n ? 2 , 故(*) ? 0,? x n ?1 ? 2 ? ? ( x n ? 2 ) 2
? x n ?1 ? x n ? (3)
2 xn 2 ? xn 1 ? ? xn ? ? 0,? ?x n ? 单调递减, ? x1 ? 2 ? x n , n ? N ? 恒成立, 2 xn 2xn

则只需 a ? 2, 故 a 的取值范围是 (2,??) . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 ? x ? [1,3) ?x ? x , ( x ? 2)(x ? 1) ? 3. 原§不等式等价于 2 当 ? 0 ? x ? (??,?2] ? [1,3), 于是, f ( x) ? ? x ( x ? 3) ?? ( x ? 1 ) ? x ? (?? ,?2] ? x ?

x∈[1,3)时,f(x)≥2(当且仅当 x=1 时取等号) ;当
5 2

x∈(-∝,-2]时,可

证得 f(x)在(-∞,-2]上单调递减,故 f ( x) ? f (?2) ? (当且仅当 x=-2 时取等号)所以, 所求函数的最小值为 2。 4. (1)由于 f(x)图象关于原点对称,则 f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)

? x 3 ? (m ? 4) x 2 ? 3mx ? (n ? 6) ? ? x 3 ? (m ? 4) x 2 ? 3mx ? (n ? 6)恒成立,
即(m ? 4) x 2 ? (n ? 6) ? 0恒成立,必有m ? 4, n ? 6. (2)由(1)可知f ( x) ? x 3 ? 12x, 任取x1 , x 2 ? ?? 2,2?, 且x1 ? x 2
3 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ( x13 ? 12x1 ) ? ( x 2 ? 12x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 )(x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? 12) 2 由 ? 2 ? x1 ? x 2 ? 2知,x1 ? x 2 ? 0,x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? 12 ? 0,

从而f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0, 即f ? x1 ? ? f ? x 2 ?,

∴f(x)在[-2,2]上是减函数。 (3)由(2)知 f(x)在[-2,2]上是减函数,则-2 ? x ? 2 时, f ?x ? ? f ?2? ? ?16. 故-2 ? x ? 2时, 不等式 f(x) ? (n ? logm a) logm a 恒成立

8

? ?16 ? (6 ? log4 a) log4 a ? (log4 a ? 8)(log4 a ? 2) ? 0 ? log4 a ? ?2或 log4 a ? 8 ? 0 ? a ? 1 或a ? 4 8. 16

5. (Ⅰ)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

? 切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

………………………………………………(1)
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .…………(2) 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

? x1 ? x 2 ? ?2t , ?? ? x1 ? x 2 ? ?t .

………………( * )

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2 t 2 ) ], x1 x2

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .
x1 ? t t ? 1 x2 ? ?1 x1 x2 = , x1 ? 0 x2 ? 0

(Ⅱ)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,?



x1 ? t ? x1 x1
2

2



x2 ? t ? x2 x2
2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 , ………………(3)

? x1 ? x2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .

9

把(*)式代入(3) ,解得 t ?

1 . 2 1 . 2

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(Ⅲ)解法 1 :易知 g (t ) 在区间 [2 , n ?

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n 64 ). n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ? 依题意,不等式 m ? g (2) ? g (n ?

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 . [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立, 6 n n

?n ?

64 1 64 64 1 2 136 ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? , [16 ? 16] ? n 6 n n 6 3

?m ?

136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 . 又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , am?1 ? 16 ,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . 解法 2 :依题意,当区间 [2 , n ?

64 ] 的长度最小时,得到的 m 最大值,即是所求值. n

?n ?

64 ? 16 ,? 长度最小的区间为 [2 , 16] , n

当 ai ? [2 , 16] (i ? 1,2,?, m ? 1) 时,与解法 1 相同分析,得 m ? g (2) ? g (16) , 解得 m ?

136 . 3
a b
x

后面解题步骤与解法 1 相同(略) .
x x 6. (1)由 a ? b ? 0 得 ( ) ? 1 ,且 a ? 1 ? b ? 0 ,得

a ? 1 ,所以 x ? 0 ,即 f ( x) 的定 b

义域为 (0, ??) 。 (2)任取 x1 ? x2 ? 0, a ? 1 ? b ? 0 ,则 a 1 ? a 2 ,b 1 ?b 2 ,所以 a 1 ? b 1 ? a 2 ? b
x x x x
x x x x2

? 0,

10

即 lg(a 1 ? b 1 ) ? lg(a 2 ? b 2 ) ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。所以 f ( x ) 在 (0, ??) 为增函数;假设函
x x x x

数 y ? f ( x) 的 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 使 直 线 平 行 于 x 轴 , 则

x1 ? x2 , y1 ? y2 。这与 f ( x) 是增函数矛盾。故函数 y ? f ( x) 的图象上不存在不同的两点使
过两点的直线平行于 x 轴。 ( 3 ) 因 为 f ( x ) 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? (1, ??) 时 , f ( x)?

f ( 1。 ) 这样只需

f (1) ? lg(a ? b) ? 0 ,即当 a ? b ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上恒取正值。

7. (Ⅰ) n ? 1 时, a1 ? s1 ?

a12 ? a1 ? a1 ? 0 或 a1 ? 1 . 2

由于 ?an ? 是正项数列,所以 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时,

an 2 ? an an ?12 ? an ?1 an ? sn ? sn ?1 ? ? , 2 2
整理,得 an ? an?1 ? ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? . 由于 ?an ? 是正项数列,∴ an ? an?1 ? 1 . ∴数列 ?an ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 从而 an ? n ,当 n ? 1 时也满足. ∴ an ? n ( n ? N ) .
*

1 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ?1 ? ? . ? 2n ?
对于 (0,??) 上的凹函数 y ? x n?1 ,有 y? ? ? n ? 1? x .
n

n

x1n?1 ? x2 n?1 ? (n ? 1) x1n . 根据定理,得 x1 ? x2
n n ?1 整理,得 x1 ? ?? n ? 1? x2 ? nx1 ? ? ? x2 .

令 x1 ? 1 ?

1 1 , x2 ? 1 ? ,得 (n ? 1) x2 ? nx1 ? 1 . 2n 2(n ? 1)

11

∴ x ? x2
n 1

n?1

n 1 ? ? 1 ? ? ,即 ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 2n ? ? 2 ? n ? 1? ?

n ?1



∴ bn ? bn?1 . (Ⅲ)由(Ⅱ) ,得 bn ? bn ?1 ? 8. (1)由已知: f ?( x) = 依题意得:

? b2 ? b1 ?

3 . 2

ax ? 1 ?a ? 0? ax2

ax ? 1 ≥0 对 x∈[1,+∞ ) 恒成立 ax2

∴ax-1≥0 对 x∈[1,+∞ ) 恒成立 (2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=
1?

∴a-1≥0 即:a≥1
1? x ? ln x 在[1,+∞ ) 上为增函数, x

n ∴n≥2 时:f( )= n ?1 1 n ? ln n n ?1

n n ? 1 ? ln n ? ln n ? 1 ? f ?1? ? 0 n n ?1 n ?1 n n ?1

即: ∴

1 1 1 1 2 3 n ? ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? 1nn 2 3 4 n 1 2 n ?1

设 g(x)=lnx-x x∈[1,+∞ ) , 则 g ?( x) ? ∴g′(x)在[1+∞ ) 为减函数 ∴n≥2 时:g( 即:ln

1 ? 1 ? 0 对 x ? [1,??) 恒成立, x

n n n )=ln - <g(1)=-1<0 n ?1 n ?1 n ?1

n n n < =1+ (n≥2) n ?1 n ?1 n ?1
2 3 n ?1 n ?1 n?2 1 2 3 n ?1

∴ ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1) ? n ? 1 ? 1 ? ? ? 1
1

综上所证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ln n ? n ? ? ? ? ? (n∈N*且≥2)成立. 2 3 n 2 3 n ?1

9. (1)当 n ? 2 时,因为 an ?

4an ?1 1 kan ?1 ? 1 1 1 k ? ? ? ? ,所以 ,所以 kan ?1 ? 1 an 4an ?1 4 an ?1 4

1 k 1? 1 k? ? ? ? ? ? .因此: an 3 4 ? an?1 3 ? ?1 ? ① 当 k ? 3 时,数列 ? ? 1? 是各项为 0 的常数列,所以 an ? 1 . ? an ?

12

? 1 k? 1 k ② 当 1 ? k ? 3 时,数列 ? ? ? 是以 1 ? 为首项, 为公比的等比数列,所以 4 3 ? an 3 ? 1 k ? k ?? 1 ? ? ? ?1 ? ?? ? an 3 ? 3 ?? 4 ?
an ?
n ?1

,所以 an ?

3 ? 4 n ?1 .又 a1 ? 1 适合此式,因此 k ? 4 n ?1 ? 3 ? k

3 ? 4n ?1 ?n ? N* ? . k ? 4n ?1 ? 3 ? k 3 ? 4n ?1 n? N* ? . 综①②,得 an ? ? n ?1 k ?4 ?3? k
(2)由 an ?

3 ? 4n ?1 3 3 ? 4n?1 3 3k ? 9 n ? N * ? ,得 an ? ? . ? ? ? n ?1 n ?1 k ?4 ?3? k k k ? 4 ? 3 ? k k k k ? 4n?1 ? 3 ? k

?

?

因为 1 ? k ? 3 ,所以

an ?

3 3k ? 9 1 ? ? k k k ? 4n?1

3k ? 9 1 1 ,所以 ? 0, ? n ?1 k k ? 4 ? 3 ? k k ? 4n?1 3k ? 9 1 ? 2 ? n?1 , k 4
3n ? 8k ? 3? ? 3? ? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? k k? ? k? ? 3? ? ? ? an ? ? ? 8 k? ?

所以 a1 ? a2 ?

? an ?

?
.

3k ? 9 ? 1 ? ?1 ? ? k2 ? 4

?

n 4 ? k ? 3? ? ? 1 ? ? 4 ? k ? 3? 4 ? 2k ? 3?? k ? 1? 1 ? ? 8 ? ? 1 ? ?8? ? ? ? ? ?8? n ?1 ? 2 2 4 ? k k k2 ? ? 4? ? ? ?

因为 1 ? k ? 3 ,所以

4 ? 2k ? 3?? k ? 1? k
2

? 0 ,因此不等式 a1 ? a2 ?

? an ?

3n ? 8k 成立. k

10. (1)当 n ? 2 时,因为 an ?

4an ?1 1 2an ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ,所以 ,所以 2an ?1 ? 1 an 4an ?1 4 an ?1 2

? 1 2? 1 2 1? 1 2? 1 1 ? ? ? ? ? .因此数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 an 3 4 ? an?1 3 ? 4 3 ? an 3 ? 1 2 1? 1 ? ? ? ? ? an 3 3 ? 4 ?
所以 an ?
n ?1



3 ? 4n ?1 3 ? 4n ?1 a ? a ? 1 . 又 适合此式,因此 ?n ? N* ? . n 1 2 ? 4n ?1 ? 1 2 ? 4n ?1 ? 1 3 ? 4n ?1 n? N* ? . 综①②,得 an ? ? n ?1 2 ? 4 ?1
(2)由 an ?

3 ? 4n ?1 3 3 ? 4n?1 3 ?3 * n ? N ,得 . a ? ? ? ? ? ? n n ?1 n ?1 2 ? 4 ?1 2 2 ? 4 ? 1 2 2 2 ? 4n?1 ? 1

?

?

因为

1 2? 4
n ?1

?1

?

1 3 3 1 3 ,所以 an ? ? ? ? ?? n , n ?1 n ?1 2? 4 2 2 2?4 4
13

所以 a1 ? a2 ?

? an ?

3n ? 16 ? 3? ? 3? ? ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? 2 2? ? 2? ?

3? ? ? ? an ? ? ? 8 2? ?

?1 1 ? ? ?3? ? ? ? 2 ?4 4

? ? 1 ?n ? 1? ? n ? ? 8 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 8 ? 0 .因此不等式 4 ? ? ?4? ? ? ?

a1 ? a2 ?

? an ?

3n ? 16 成立. 2

11. (1)当 x ? (0,?? )时, f ( x) ? a ?

1 . 用定义或导数证明单调性均可. x 1 1 则a ? h( x)在(1,?? ) 上恒成 (2) a ? ? 2 x在(1,?? ) 上恒成立.设 h( x) ? 2 x ? x x
可证 h( x)在(1,??) 单调增。故 a ? h(1)即a ? 3 ,? a 的取值范围为 (??,3] (3)? f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0, x ? R}

立.

? mn ? 0

当 n ? m ? 0时,由(1)知f ( x)在(0,??) 上单调增 ? m ? f (m), n ? f (n) 故 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不相等的正根 m,n,? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0

?a ? 2

当 m ? n ? 0 时,可证 f ( x)在(??,0) 上是减函数.

? m ? f (n), n ? f (m)


而m ? n, 故mn ? 1

此时a ? 0 综上所述,a 的取值范围

12. (1)令 x ? y ? 0, 有f (0) ? 0, 令x1 ? x, x2 ? ? x 有 f (? x) ? f ( x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0, 即 f (? x) ? ? f ( x),故f ( x) 为奇函数 在 R 上任取 x1 ? x2 , 则x1 ? x2 ? 0 ,由题意知 f ( x1 ? x2 ) ? 0 则 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 故 f ( x) 是增函数 ( 2 ) 要 使 f [sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ?

4 ] ? f (3 ? 2m) ? 0 , 只 须 sin ? ? cos ?

f [si n2? ? (2 ? m)(si n ? ? cos? ) ?

4 ] ? ? f (3 ? 2m) ? f (?3 ? 2m) si n? ? cos? 4 又由 f ( x) 为单调增函数有 sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? ? ?3 ? 2m sin ? ? cos ?

14

令 t ? sin ? ? cos ? , 则 sin 2? ? t ? 1,?? ? [0,
2

?
2

],? t ? 2 sin(? ?

?
4

) ? [1, 2 ]

4 ? 3 ? 2m ? 0对t ? [1, 2 ] 恒成立 t 2 t (2 ? t ) ? (2 ? t ) 4 2 t ? (2 ? t )m ? 2t ? t 2 ? ? 2,即m ? ?t? t 2?t t 2 令 g (t ) ? t ? , g (t )在[1, 2 ] 上为减函数,? m ? 3 时,原命题成立. t
原命题等价于 t 2 ? 1 ? (m ? 2)t ? 13. (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立. ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,
2

1 2

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2
解出: a ? (3)由分析条件知道,只要 f ( x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 可,也就是直线的斜率

m 1 x ? 上方即 2 4

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2

? y? ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4

∴ m ? (??,1 ? 解法 2: g ( x) ?
2

2 ). 2
1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ? m ? 1? ; 2 2
15

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
总之, m ? (??,1 ? 14.

解出: m ? 1 ?

2 . 2

2 ). 2

x?2 ? x?3 ?1 ? ?0 2x ? 1 2x ? 1
? ?3 ? x ? ? 1 2 1 2

? ( x ? 3)(2 x ? 1) ? 0

| x ? a |? 2 ? ?2 ? a ? x ? 2 ? a
A ? B ? ? ,? 2 ? a ? ?3或 ? 2 ? a ? ?

实数 a 的取值范围是: 15. ( 1 ) g ( x) ? f ( x) ? x ? ax2 ? (b ?1) x ? 1 , 且 a > 0 . 因 为 x1 ? 1 ? x2 , 所 以

( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ,即 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1,于是 x ? m ? ?
?

b 1 b ?1 1 ? (? ? ) 2a 2 a a

1 1 1 1 1 ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) ? 1] ? . (2)由方程 g ( x) ? ax2 2 2 2 2 2 1 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0 ,可知 x1 x2 ? ? 0 ,所以 x1 、 x2 同号.由 0 ? x1 ? 2 ,则 x2 ? x1 ? 2 , a
所以 x2 ? 2 ? x1 ? 0 ,所以 g (2) ? 0 ,即 4a+2b-1<0,又 ( x2 ? x1 ) ?
2

(b ? 1) 2 4 ? ?4, a2 a

所以 2a ? 1 ?

2 (b ? 1) 2 ? 1 , (因为 a > 0 )代入①式得: 2 (b ? 1) ? 1 ? 3 ? 2b ,解之得

b?

1 . 4

( 3 ) 由 条 件 得 x1 ? x2 ?

1? b 1 , x1 x2 ? , 不 妨 设 ??? , 则 a a

0 ? 2(? ? x1 ) ( ? ? x2 ) ? 2?? ? 2( ?x1 ? ?x2 ) ? 2x1 x2 ? 2?? ? 2( x1 ? x2 )(? ? ? ) ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(? ? ? ) ? 2?? ? 2( x1 ? x2 )(? ? ? ) ? 2 x1 x2 ? 2a?? ? (1 ? b)(? ? ? ) ? 2 ,故
2a?? ? (1 ? b)(? ? ? ) ? 2 ? 0 .
16. (Ⅰ)? f ( x) ? 0 的两实根为 x1 , x2 ? ?1 ? 16 ? 4ab ? 0 (1)
4 b x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? 又令 g ( x) a a

? f ( x) ? x ? ax2 ? 3x ? t
b a

则 g ( x) ? 0 的两实根为 ? , ? ? ? 2 ? 9 ? 4ab ? 0 (2) ? ? ? ? ? 3 ,?? ?
2

| a ? ? |? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? 9 ? 4ab ? 1
|a|

16

? 9 ? 4ab ? a 2 即 a(a ? 4b) ? 9 ? a, b 均为负整数,? a 为负奇数,从而 a

? ?1, b ? ?2

满足(1) , (2) ,故 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 2 (Ⅱ) (理)? a ? 0且? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 且

g (1) ? 0 g ( 2) ? 0



3 1? 2 3 ? 即? ? 3 2a 2 a a ?3?b ? 0 ①

4a ? b ? 6 ? 0



由①得

b 3 ? ?1 ? ? 2即x1 ? x 2 ? 2 a a

(Ⅱ) (文)? f (1) ? 0 ? a ? 4 ? b ? 0即b ? ?a ? 4 又由(Ⅰ)得 9 ? 4ab ? 0 ? 9 ? 4a(?a ? 4) ? 0 即 4a 2 ? 16a ? 9 ? 0 ? a ? ?2 ? 7 或a ? ?2 ? 7
2 2

又? a为负整数? a ? ?4,?5,?5, …… 不妨令 x1 ? 1,由x1 ? x 2 ? ? 4 , 得x 2 ? ?1 ? 4
a a

? x1 ? x 2 ? 2 ?

4 4 , 1 ?| x1 ? x2 |? 2 ,? ? 〔-1,0〕 a a

17.

? x ? 3 ? a?x ? 1??x ? 2? ? x?3 ? x?3 1 1 a? 2 ? ? 10 x ? x?2 x ?3? ? 7 2 10 ? 7 x?3 7 ? 2 10 ?0 ? a ? 9

18. (I) f ( x) ? [

( x ? 1)( x ? 2) 2 ? x ? 1? ] ?? ? ( x ? 1且x ? 2) ? x ? 1? ( x ? 1)( x ? 2)

2

?0 ?

x ?1 x ?1 1 ? 1且 ? x ?1 x ?1 3
2

? x 2 ? 3x ? 2 ? 1 1 ?函数 f ( x ) ? ? 2 ? 的值域为 [0, ) ?( ,1) 9 9 ? x ? x?2 ?
由 f ( x) ? ?

? x ? 1? ? ,得 f ? x ? 1?

2

?1

( x) ?

1? x 1? x ( x) ? 1? x 1? x 1 1 x ?[0, ) ?( ,1) 9 9
17

因此,函数 y ? f ( x) 的反函数 f

?1

(II) g( x) ?

1? x 2 ? x ?3? ? (1 ? x ) ? 1 ? 2 2 ? 1 1? x 1? x

当且仅当

2 ? 1? x 1? x

即 x ? 3 ? 2 2 时,g(x)有最小值 2 2 ? 1 (III)由 (1 ? 得1 ?

x) ? f

?1

( x) ? m(m ? x )

x ? m2 ? m x

设 x ? t ,则 ? (t ) ? (1 ? m)(t ? 1 ? m)

根据题意,对区间 [ ,

1 2

2 ] 中的一切 t 值, ? (t ) ? 0 恒成立 2

3 ? 1 ? ?( ) ? 0 (m ? 1)(m ? ) ? 0 ? ? 2 ? 2 ? 则? 得? ?? ( 2 ) ? 0 ?(m ? 1)[m ? (1 ? 2 )] ? 0 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ?1 ? m ? ? 2 ? ?? ??1 ? m ? 1 ? 2 ? 2 ?

? ?1 ? m ?

3 2

即实数 m 的取值范围是 m ? ( ?1, ) 19. (1)任取 x1 、 x2 ? [1,+∞]且 x1 < x2 ,则
3 3 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? ax2 ) ? ( x1 ? ax1 ) ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1x2 ? x12 ? a) .

3 2



1 ? x1 ? x2 ,∴

2 x2 ? x1 x2 ? x12 ? 3 . 2 2

显然,不存在一个常数 a,使得 x2 ? x1 x2 ? x1 ? a 恒为负数. ∵ f(x)有确定的单调性, ∴ 必存在一个常数 a,使 x2 ? x1 x2 ? x1 ? a 恒为正
2 2

数,即 x2 ? x1 x2 ? x1 ? a .
2 2

∴ a≤3,这时有 f( x2 )>f( x1 ) . ∴ f(x)在[1,+∞ ) 上是增函数,故 a 的 取值范围是(0,3 ] .
18

3 ? ? x0 ? ax0 ? u, (2)设 f( x0 )=u,则 f(u)= x0 ,于是 ? 3 ? ?u ? au ? x0

3 则 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 , 即

2 ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ?1 ? a) ? 0 .

∵ 又∵

x0 ? 1 , u ? 1 ,
0 ? a ? 3 ,∴

2 x0 ? x0u ? u 2 ? 3 , 2 x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0 . ∴

x0 ? u ? 0 ,即 u ? x0 ,故

f ( x0 ) ? x0 .
2] . 20. (1)设 t=x-1,得 x ? t ? 1 , t ? (??, 2] ) 将上式代入得 f (t ) ? (t ? 1)2 ? 6(t ? 1) ? 8 ? t 2 ? 4t ? 3 , ( t ? (??, .
∴ (x ? 2) . f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 ,

(2)令 y ? x 2 ? 4x ? 3 ,得 x ? 由于 x ? 2 ,∴ ∴

4 ? 16 ? 4(3 ? y) ? 2 ? y ?1 . 2

x ? 2 ? y ? 1 . ( y ? ?1) .

f ?1 ( x) ? 2 ? x ? 1 , ( x ? ?1) .
?1

(3)f(x)与 f

( x) 的 公 共 定 义 域 为 [-1 , 2] . 原 不 等 式 等 价 于

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? x 2, ? ?? 1 ? x ? 2


? x ? 1 ? 4 x ? 1, ∴ ? ?? 1 ? x ? 2

?1 ? x ?

9 . 16



不等式的解集为 ?x | ? 1 ? x ?

9 ?. 16

2x ? a ? 1 2 2x ? a ? 1 2x ? a ? 1 ? 2x ? 3 ? ∴? 2 2 2x ? a ?1 2x ? a ?1 )( 2 x ? 3 ? )?0 ∴ (2 x ? 3 ? 2 2
21. (1) ∵ | 2 x ? 3 |? 即(4x-6+2x+a+1)(4x-6-2x-a-1)<0 ∴(6x+a-5)(2x-a-7)<0 ∴

5?a a?7 ?x? 6 2
19



5?a a?7 ? 6 2

∴a>-4 (2)若 P∩Z={6,8},则

5?a ? 5? ? 6, ? ? 6 ? ?8 ? a ? 7 ? 9 ? 2 ?
∴?

?30 ? 5 ? a ? 36, ?16 ? a ? 7 ? 18 ?? 31 ? a ? ?25, 无解 ?9 ? a ? 11
(1 ? k ) x ? k ? 2 ? 0, x?2 2?k )( x ? 2) ? 0, 1? k

∴?

∴不存在满足要求的实数 a。 22. 原不等式即

1°若 k=0,原不等式的解集为空集; 2°若 1-k>0,即 0<k<1 时,原不等式等价于 ( x ? 此时

2?k 2?k -2= >0, 1? k 1? k

2?k }; 1? k 2?k )( x ? 2) ? 0, 3°若 1-k<0,即 k>1 时,原不等式等价于 ( x ? 1? k 2?k 2?k 此时恒有 2> ,所以原不等式的解集为{x|x< ,或 x>2}. 1? k 1? k
∴若 0<k<1,由原不等式的解集为{x|2<x< 23. (I)依题意,f(-1)=0 即 lgb=lga+1,又 f(x)-g(x)≥0 恒成立, 2 2 ∴x +xlga+lgb-2≥0 恒成立,∴△=(lga) -4(lgb-2)≤0, 2 消去 b 得(lga-2) ≤0,∴lga=2,且 lgb=3,∴a=100,b=1000; 2 2 (II)由 F(x)=(x+1) ,∴an=(n+1) ,∴k(k+1)<ak<(k+1)(k+2), 故

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ? ? ? ? , (k ? 1)(k ? 2) ak k (k ? 1) k ? 1 k ? 2 ak k k ? 1

令 k=1、2……、n,并将所得到的 n 个不等式相加, 可得

1 1 1 1 1 1 , ? ? ? ? ?? ? ? 1? 2 n ? 2 a1 a2 an n ?1

?

n 1 1 1 1 ,不等式两端除以 n,命题即证. ? ? ? ?? ? ? 2n ? 4 a1 a 2 an n ? 1

24. (1)? f (m ? n) ? f (m) f (n) ,令 m ? 1, n ? 0 ,则 f (1) ? f (1) f (0) ,且由 x ? 0 时,
20

0 ? f ( x) ? 1,所以 f (0) ? 1 ;
设 m ? x ? 0, n ? ? x ? 0 ,? f (0) ? f ( x) f (? x) , ? f ( x) ? (2) x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 时,? 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,

1 ?1. f (? x)

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )? f ( x2 ? x1 ) ? 1? ? 0 ,? f ( x) 在 R 上单调递减.
(3)? f ( x 2 ) f ( y 2 ) ? f (1),? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) ,由 f ( x) 单调性知 x 2 ? y 2 ? 1 , 又 f (ax ? y ? 2) ? 1 ? f (0),? ax ? y ? 2 ? 0 ,

? A ? B ? ? ,?

2 a ?1
2

? 1 ,? a 2 ? 1 ? 4 ,从而 ? 3 ? a ? 3 .

21


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