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数学修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (23)


3.2.2 一元二次不等式的实际应用

【学习目标】 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.一元二次不等式的解集是实数集 R 或空集?的含义及其 应用.

1.求函数的定义域

f(x)≥0 求函数 y= f?x?的定义域,只需解不等式________.
[-2,1] 练习 1:函数 y= 2-x

-x2的定义域是________.

2.一元二次不等式的解集是实数集R或空集?的含义 (1) 设二次不等式 ax2 +bx +c>0 的解集为 R ,则有a____0 > , 且Δ=b2-4ac____0. < (2) 设二次不等式 ax2 + bx + c>0 的解集为 ? ,则有 a____0 < , 且Δ=b2-4ac____0. ≤

练习 2 : 设不等式 ax2 + bx + c>0 的解集为 {x|1<x<2} ,则方
{1,2} ,且a____0. < 程ax2+bx+c=0的解集是________

【问题探究】

1. 一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R,则二次函
数 f(x)=ax2+bx+c 的图象怎样? 答案:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象有如图 D5 两种情 况:

图D5

2.若一元二次不等式 ax2+bx+c≤0 的解集为 R,则Δ=

b2-4ac≤0 对吗?
答案:不对,应该是 a<0 且Δ=b2-4ac≤0.

题型 1 恒成立问题 【例 1】 当 a 为何值时,关于 x 的不等式 ax2+(a-1)x+ (a-1)<0 的解是全体实数? 思维突破:二次项系数出现参数,应分a=0 与a≠0 两种 情况进行讨论.

解:当a=0,原不等式为-x-1<0,即x>-1,不合题意, 故a≠0. ∴原不等式的解集为R 等价于
? ?a<0, ? 2 ? Δ = ? a - 1 ? -4a?a-1?<0. ?

1 解得 a<-3.

综上所述,a

? 1? 的取值范围为?-∞,-3?. ? ?

不等式 ax2+bx+c<0 的解集是“全体实数(或恒
? ?a<0, ? 成立)”的条件是①当 a=0 时, b=0, c<0; ②当 a≠0 时, ? ?Δ<0.

【变式与拓展】 1.(1)若关于 x 的不等式 x2+x+k>0 恒成立,则实数 k 的取

1 k>4 值范围是_____________ ;
(2)对于任意实数 x,不等式 ax2+2ax-(a+2)<0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

解:①令a=0,原不等式化为-2<0 恒成立;
②若a≠0,则原命题等价于
? ?a<0, ? 2 ? ?Δ=?2a? +4a?a+2?<0,

解得-1<a<0.

综上所述,实数a 的取值范围为(-1,0].

题型 2 求定义域

【例 2】 求函数 y= 15+7x-2x2的定义域.
解:依题意,得 15+7x-2x2≥0,即 2x2-7x-15≤0. 3 ∴-2≤x≤5.
? ? ? 3 ∴函数的定义域为?x?-2≤x≤5 ? ? ? ? ? ?. ? ?

【变式与拓展】
1 {x|-8<x<8} 2.函数 y= 的定义域是 ______________. 64-x2

题型 3 一元二次不等式的实际应用 【例 3】 要在长为 800 m,宽为 600 m 的一块长方形地面 上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相等),中间为草 坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带的宽度范

围.

思维突破:建立函数与不等式的模型后解不等式. 解:设花卉带宽度为 x m,依题意,

1 得(800-2x)(600-2x)≥2×800×600,其中 x<300.

整理,得 x2-700x+60 000≥0.
(x-600)(x-100)≥0. 解得 0<x≤100 或 x≥600(舍去).

故所求花卉带宽度的范围为(0,100].

解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,
找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等

关系(或表示成函数关系);③解不等式(或求函数最值);④回到
实际问题.

【变式与拓展】
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,对烟酒销售征收 附加税.已知 A 种酒每瓶销售价为 70 元,不收附加税时,每年 大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元要征收附加税 r 元(即税率 为 r%),则每年的销售量将减少 10r 万瓶.如果要使每年在此项

经营中所收取的附加税额不少于 112 万元,那么 r 应如何确定?
? r ? 解:?70×100?(100-10r)≥112, ? ?

即 r2-10r+16≤0?2≤r≤8.
故税率定在 2%~8%之间,年收附加税不少于 112 万元.

【例4】 用一条长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形,设矩形 的长为 x cm,要使矩形的面积大于 12 cm2,求 x 的取值范围. 易错分析:解题过程易忽略 x 的实际意义,导致出错. 解:由题知:矩形的长为 x cm,则它的宽为
16-2x 2 =8-x(cm),

故有 x>8-x>0,即 4<x<8. ①

要使矩形的面积大于 12 cm2,则有

x(8-x)>12,解得 2<x<6. ②
综合①②可知:4<x<6. 故 x 的取值范围为{x|4<x<6}.

[方法· 规律· 小结] 1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不 等式的逐步代换,基本思路是:代数化、有理化、低次化、低 维化,最后转化到可解的常见不等式上来. 2.有关不等式同时成立的问题,往往是求其中参数的取值 范围,与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、

三个“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图象的运用.


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