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概率


第四章 概率
? 概率的一般概念
– 后验概率 先验概率

? ? ? ?

概率的性质 概率的运算 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式

什么是概率?
? 概率(probability):某事件发生的可能 性 ? 可能性的多种定义(计算)方法

后验概率
?

以随机事件A在大量重复试验中出现的稳 定频率值作为随机事件A概率的估计值, 这样获得的概率称为后验概率。计算公 式为:

n P ( A) ? lim N ?? N

? 实验何时停止?是否下一次实验结果一 定比上一次结果接近概率真值?

实验
? 抛硬币到出现正面时停止。则第一次出 现正面的频率为多少(记录20次)?

? 实验停止在奇数次的频率为多少?

先验概率
? 古典概型
– 试验的所有可能结果是有限的; – 每一种可能结果出现的可能性(概率)相等。

? 若所有可能结果(事件)的总数为n,随机事 件A包括m个可能结果(有利事件),则事件 A的概率计算公式为:

m P ( A) ? n

概率的性质
? 本次大师赛蝉联冠军的概率?
? 公理化性质
– 任何随机事件 A的概率都是介于 0与1之间的 正数; – 不可能事件的概率等于0(反之如何?); – 必然事件的概率等于1。

例题
? 某学生从5个试题中任意抽选一题,抽 到第1题的概率为多少?抽到第3题的概 率为多大? ? 抛一个六个面的骰子,点数大于4的概 率为多少? ? 22选5的彩票,5个数字中对了4个为一 等奖,则中一等奖的概率为多少?

事件的关系
? 包含 ? 对立事件 ? 和事件 ? 积事件 ? 互不相容事件 ? 独立

概率的加法
? 两个互不相容事件和的概率,等于这两个事 件概率之和。用公式表示为: P(A + B) = P(A) + P(B) 其推广形式是 P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

概率的加法通式
? 设A、B为任意两个随机事件,则它们的 和的概率,等于事件A发生的概率加上事 件 B 发生的概率再减去 A 、 B 同时发生的 概率,即

P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(A∩B)

概率的计算
? 52张牌中,随机抽一张,抽到红心或黑 桃的概率为? ? 抽到一张红心或者7的概率为? ? 一个班30名同学,这30名同学中至少两 人生日相同的概率为?

例题
? 某大学有50%的学生喜欢看足球比赛, 40%的喜欢看篮球比赛,30%两者都喜 欢。问,从该校任意抽取一名学生,他 爱看足球比赛或篮球比赛的概率是多少?

概率的乘法
? 两个独立事件积的概率,等于这两个事 件概率的乘积。用公式表示为: P(A · B) = P(A) · P(B) 其推广形式是 P(A1 ·A2 … An) = P(A1) ·P(A2) … P(An)

条件概率(conditional probability)
? 如果A、B是两个随机事件,且P(B)≠0,则 称在B发生的前提下A发生的概率为条件 概率

P( A ? B) P( A | B) ? P( B)

P( A ? B) P( B | A) ? P( A)

概率的乘法通式
? P(AB)=P(A)P(B | A)

例题
? 10个产品中有8件合格品,则连续两次都 抽到合格品的概率为多少?

例题
? 一所大学的女生占学生总数的 55% ,其 中四年级女生占学生总数的9.25%。现在 有一女生,问她是四年级学生的概率是 多大?

那个事件概率大?
A。美俄爆发全面核战争。 B。 美俄爆发全面核战争。一开始双方 并未打算动用核武器,只是卷入某国 家的局部战争,但随着事态的恶化, 最终开始核战争。

选择哪一种?
? 某流行病大爆发,共600名被感染者。两 种方案: A。600名感染者中可救活400名。 B。有2/3的可能性全部救活,有1/3的可能 性全部死亡。

全概率公式 (total probability formula)
? 如果事件组A1,A2,…,An为一完备事 件组(即两两互斥,且组成基本空间 Ω ),则对于任一事件B都有

P( B) ? ? P( Ai ) ? P( B | Ai )
i ?1

n

例题
? 在一个城市中,有两个出租车公司。甲 公司车辆占 85% ,乙公司占 15 %。根据 记录知道,两公司司机被投诉的比率分 别为 5% 和 4% ,现任意抽取一名司机, 问他被投诉过的概率是多少? ? 现有一司机被投诉过,问他来自甲公司 的概率多大?

解答
? P(A1B) = P(A1)· P(B|A1) = 0.85×0.05 = 0.0425 ? P(A2B) = P(A2)· P(B|A2) = 0.15×0.04 = 0.0060 ? P(B) = P(A1B) + P(A2B) = 0.0425+0.0060 = 0.0485 ? P(A1|B)= P(A1B) / P(B)

贝叶斯公式(Bayesian formula)
? 假设癌症患者占总人口的比例为1%,癌 症患者在X光检查中有80%呈阳性,未患 癌症的人在X光检查中有10%呈阳性。现 在有一个人在X光检查中呈阳性,问这个 人患癌症的概率是多大?

贝叶斯公式

P( Ai | B) ?

P( Ai ) P( B | Ai )

? P( A ) P( B | A )
i ?1 i i

n

思考题
? 在一个城市中,有两个出租车公司。甲 公司都是绿色车,占85%,乙公司都是 蓝色车,占15%。一天晚上发生了严重 车祸。有一个目击证人说是蓝色车。在 相同的条件下测得该目击证人辨别蓝色 车和绿色车的正确率为80%。问:肇事 车是蓝色车的概率是多大?


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