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三角形“四心”向量形式的充要条件应用


三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接 触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下: 一.知识点总结 1)O 是 ? ABC 的重心 ? O A? O B? O C? 0 ;

若 O 是 ? ABC 的重心,则

S ?BOC

? S ?AOC ? S ?AOB ?

1 S ?ABC 3

故 O A? O B? O C? 0 ;

PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心. 3
2)O 是 ? ABC 的垂心 ? O A? O B ? O B? O C? O C? O A ; 若 O 是 ? ABC (非直角三角形)的垂心,

tanB: tanC 则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? tanA:
故 tanAO A? tanBO B? tanCO C ? 0

3)O 是 ? ABC 的外心 ? | OA|?| OB|?| OC| (或 O A ? O B ? O C ) 若 O 是 ? ABC 的外心

2

2

2

: sin?AOC : sin?AOB? sin2A : sin2B : sin2C 则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? sin?BOC
故 sin2AO A? sin2BO B? sin2CO C ? 0

4)O 是内心 ? ABC 的充要条件是

OA ? (

AB | AB |

?

AC AC

) ? OB ? (

BA | BA |

?

BC | BC |

) ? OC ? (

CA | CA |

?

CB | CB |

)?0

引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3 ,则 刚 才 O 是

?ABC























O A? (e1 ? e 3 ) ? O B? (e1 ? e 2 ) ? O C? (e 2 ? e 3 ) ? 0
O 是 ? ABC 内心的充要条件也可以是 aO A? bO B? cO C ? 0

若 O 是 ? ABC 的内心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? a:b:c 故

aO A? bO B? cO C ? 0或 sinAO A? sinBO B? sinCO C ? 0 ;

| AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;
向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直

| AB | | AC |

线); 二.范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例 1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 A

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) ,? ? ?0,??? 则 P 点
) B

e1
C

e2
C C

的轨迹一定通过 ?ABC 的(

(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心 解析:因为

AB AB

是向量 AB 的单位向量设

P

AB 与 AC 方 向 上 的 单 位 向 量 分 别 为 e1和 e2 ,
?BAC ,则知选 B.

又 OP ? OA ? AP , 则 原 式 可 化 为 中,AP 平分

AP ? ?(e1 ? e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC ,那么在 ?ABC
AB AB

点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ,首先

是什么?没见过!想想,一

个非零向量除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的 加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地 将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2. H 是△ABC 所在平面内任一点, HA? HB ? HB? HC ? HC ? HA ? 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA? HB ? HB? HC ? HB? (HC ? HA) ? 0 ? HB? AC ? 0 ? HB ? AC , 同理 HC ? AB , HA ? BC .故 H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略) )

例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC

的(D ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析:由 PA? PB ? PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 . 即 PB ? ( PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0 则 PB ? CA,同理PA ? BC, PC ? AB 所以 P 为 ?ABC 的垂心. 故选 D. 点评:本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心 定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直 线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4. G 是△ABC 所在平面内一点,GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右,图中 GB ? GC ? GE

连结 BE 和 CE,则 CE=GB,BE=GC ? BGCE 为平行四 边形 ? D 是 BC 的中点,AD 为 BC 边上的中线. 将 GB ? GC ? GE 代入 GA ? GB ? GC =0, 得 GA? EG =0 ? GA ? ?GE ? ?2GD ,故 G 是△ABC 的重 心.(反之亦然(证略) )
1 例 5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 ? PG ? ( PA ? PB ? PC) . 3

证明

PG ? PA ? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? ( PA? PB ? PC)

∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA ? GB ? GC =0 ? AG ? BG ? CG =0,即 3PG ? PA? PB ? PC
1 由此可得 PG ? ( PA ? PB ? PC) .(反之亦然(证略) ) 3

例 6 若O

为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC

?0

,则 O 是 ?ABC 的(



A

O E D C

B

A.内心

B.外心

C.垂心

D.重心

解析:由 OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?OA ,如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形,则

1 OB ? OC ? OD ,由平行四边形性质知 OE ? OD , OA ? 2 OE 2
性质,所以是重心,选 D。

,同理可证其它两边上的这个

点评:本题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质:重心是 三角形中线的内分点,所分这比为 ? ?

2 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平 1

行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

(四).将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的(


A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析:由向量模的定义知 O 到 ?ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ?ABC 的外心 ,选 B。 点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0,| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1, 求证 证明 △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 由已知 OP 1 + OP 2 =- OP 3 ,两边平方得 OP 1 · OP 2 =?
1 , 2 1 , 2

同理 OP2 · OP3 = OP3 · OP 1 =?

∴| P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 反 之 , 若 点 O 是 正 三 角 形 △ P1P2P3 的 中 心 , 则 显 然 有 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且 | OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |. 即 O 是△ABC 所在平面内一点,
OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.

例 9.在△ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2。 【证明】 : 以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,0)、

B(x1,0) 、C(x2,y2),D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点,则有:

x1 x ?x2 y2 x y , 0)、E ( 1 , )、F ( 2 , 2 ) 2 2 2 2 2 y x ( 1 , y 3 )、H (x 2 , y 4 ) , 由题设可设 Q 2 x ?x2 y2 G( 1 , ) 3 3 x x y ? AH ? (x 2 , y 4 ), QF ? ( 2 ? 1 , 2 ? y 3 ) 2 2 2 D(

C(x2,y2)

F G Q D

H

E

BC ? (x 2 ? x 1, y 2 )
AH ? BC ? AH ? BC ? x 2 (x 2 ? x 1 ) ? y 2 y 4 ? 0 ?y4 ? ? x 2 (x 2 ? x 1 ) y2

x B(x1,0)

A

QF ? AC x 2 x1 y ? ) ? y 2( 2 ? y 3) ? 0 2 2 2 x (x ? x 1 ) y 2 ?y3 ? 2 2 ? 2y 2 2 ?QF ? AC ? x 2 (
?QH ? (x 2 ? x1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 , y 4 ? y 3) ? ( 2 ,? ? ) 2 2 2y2 2

?QG ? ( ?(

x 2 ? x1 x1 y 2 2x ? x 1 y 2 x 2 ( x 2 ? x 1 ) y 2 ? , ? y 3) ? ( 2 , ? ? ) 3 2 3 6 3 2y2 2

2x 2 ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ,? ? )? ( 2 ,? ? ) 6 6y2 6 3 2 2y2 2

1 = QH 3
即 QH =3QG ,故 Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2 【注】 :本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而 借用向量的坐标形式,将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形”和“数”紧密地结 合在一起,从而,很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明,都可转化为熟练的代数运算 的论证。 例 10.若 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心. 求证
OH ? OA ? OB ? OC .

证明 若△ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD,CD. ∴ AD ? AB , CD ? BC .又垂心为 H, AH ? BC , CH ? AB ,

∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形 AHCD 为平行四边形, ∴ AH ? DC ? DO ? OC ,故 OH ? OA ? AH ? OA ? OB ? OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ; (2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂 心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题. 例 11. 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 证明
1 OG ? OH 3 1 按重心定理 G 是△ABC 的重心 ? OG ? (OA ? OB ? OC) 3

按垂心定理 由此可得

OH ? OA ? OB ? OC

1 OG ? OH . 3

补充练习 1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP =

1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2
B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点 =

( B )

A.AB 边中线的中点 C.重心

1. B 取 AB 边的中点 M,则 OA ? OB ? 2OM ,由 OP

1 1 1 ( OA + OB +2 OC ) 3 2 2

可得 3 OP ? 3OM ? 2MC ,∴ MP

?

2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的 3

一个三等分点,且点 P 不过重心,故选 B. 2.在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: O

A

2



BC

2



OB

2



CA

2

= )

OC

2



AB

2

,则O为 ?ABC 的 C 重心 D 垂心

( D

A 外心

B 内心

2. 已知△ABC 的三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点 P 满足:PA ? PB ? PC ? 0 , 则 P 为 ?ABC 的 A 外心 ( C ) B 内心 C 重心 D 垂心

3.已知 O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:

OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满足:



C )

PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三角形的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

( D



5.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足:a ? PA ? b ? PB ? c ? PC ? 0 , 则 P 点为三角形的 A 外心 B 内心 ( B C 重心
2



D 垂心
2

6.在三角形 ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点轨迹一定通过△ABC 的: A 外心 ( B ) B 内心 C 重心 D 垂心

→ → → → 1 AB AC AB AC → → → 7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB A.三边均不相等的三角形 解析:非零向量与满足( B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

AB AC )· =0,即角 A 的平分线垂直于 BC,∴ AB=AC,又 ? | AB | | AC |

cos A ?

? AB AC 1 = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形,选 D. ? 2 3 | AB | | AC |

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 实数 m = 1 9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的(B ) (A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点

10. 如图 1,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过 G 作直 线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且 AM ? xAB , M G G B 图1 A

N C

1 1 AN ? yAC ,则 ? ? 3 。 x y
证 点 G 是 ?ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC ? O, 得 ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? O,有 AG ? 又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上) , 于是存在 ? , ? ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) , 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) ,

1 ( AB ? AC ) 。 3

1 3

?? ? ? ? 1 1 1 ? 得? 1 ,于是得 ? ? 3 。 x y ?x ? ? y ? ? 3 ?


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