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浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题(扫描版)


2013 年高三教学测试(二)
文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A; 4.A; 9.D; 5.B; 10.D.

1 1 ,当且仅当 a ? 2b ? 时取等号.又因为 8 2 1 1 1 1 1 .令 t ? ab ,所以 f ( t ) ? 4t ? 在 (0, ] 单调递减,所 a 2 ? 4b 2 ? ? 2a ? (2b) ? ? 4ab ? ab ab ab t 8 1 17 1 以 f (t ) min ? f ( ) ? .此时 a ? 2b ? . 8 2 2
第 10 题提示:因为 1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ? 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13; 15. 12.2013; 13. 30? ; 16.4; 14.5; 17.

5 2?5 6 ; 2

1 . 8

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,

y0 1 ( x ? 3) …① y0 ) , PA : y ? x0 ? 3 1? ?
2 y0

1 y0 BE : y ? 1 ? ? ( x ? 3) …② x0 ? 3

2 2 y0 ? 9 ? x0 代入,得

由①②得 y 2 ?
2

(?

2 ? 1)( x 0

? 9)

( x 2 ? 9) ,

x ? 9

2

y 9 1 ? 1 .由 9 ? ? 1 ,得到 ? ? . 9 8 1? ? 1? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

a?b 的取值范围. c
…4 分

解:(Ⅰ)

a ? c sin A ? sin B a ? b 2 2 2 ,化简得 a ? b ? ab ? c , ? ? b sin A ? sinC a ? c

所以 cos C ? …7 分 (Ⅱ)

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,C ? . 2ab 2 3

2 2? a?b s i n ?s i n A B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 s i nA ? ) . ? ( 3 6 c sin C 3

…11 分

因为 A ? (0,

? 1 ? ? 5? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin(A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2

故,

a?b 的取值范围是 (1,2] . c

…14 分

19.(本题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , a n?1 ? 3a n ? 2 . (Ⅰ )记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ? bn ? 为等比数列; (Ⅱ )求数列 ? nan ? 的前 n 项和 S n . 解:(Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 ,可知 an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) . 因为 bn ? an ? 1 ,所以 bn ? 1 ? 3bn , …4 分 又 b1 ? a1 ? 1 ? 3 , 所以数列 ? bn ?是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 3n , an ? 3n ? 1 ,所以 nan ? n3n ? n . 所以 Sn ? (3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) …9 分 其中 1 ? 2 ? ?n ?

…6 分

n2 ? n 2
① ②

记 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1

两式相减得 ? 2Tn ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n ? 1 ?

3 ? 3n ? 1 ? n ? 3n ? 1 ?2

…13 分

Tn ?

2n ? 1 n?1 3 ?3 ? 4 4
2n ? 1 n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ?3 ? 4 4
…14 分

所以 S n ?

20.(本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, ? C ? 90? , AC ? BC ? 3a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E ,

PF // AC 交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将
△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ )求证: B'C // 平面 A' PE ; (Ⅱ )若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.

C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20

C

E

A

P

解:(Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 PEC 题) A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . ,且 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE . 所以平面 B 'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC ? BC ? 3a , AP ? 2BP , 所以 CE ? a , EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a . …8 分 过 E 作 EM ? PC ,垂足为 M,连结 A?M . …2 分 …4 分 …6 分

A'

B'

C

E

M
F B P

A

由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A ? E ? PC , 所以 PC ? 面A? EM ,所以 A? M ? PC . 所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM ? 所以 tan? ? …12 分

2 5 a, 5

A? E 2a ? ? 5. EM 2 5a 5

…15 分

21.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?

a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ )若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2

f ' ( x) ? x ? 2 ?
…2 分

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 ? ? . x x x

当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,??) 时, f ' ( x ) ? 0 . 所以函数有极小值 f (3) ? ? …6 分 (II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?

…4 分

3 ? 3 ln 3 ,无极大值. 2

a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x
…8 分

记 h( x ) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) ,

所以 a ?

2( x ? 2) x ?1
2

?

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…10 分 因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) . …14 分 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) .

8 5

8 5

8 5

…15 分

22.(本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C2 : y ? (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、 PN , 切点为 M 、 N .若

1 2 x ? 1 上. 2

PM 、 PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C2 C1

y M

N
O

P

x

解:(Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, …2 分 所以

p ), 2

(第 22 题)

p ? 0?1, p ? 2 . 2
…4 分

故 C 1 的方程为 x

2

? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

…6 分

(Ⅱ)任取点 P (2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2 ? k( x ? 2t ) .

? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 2 ?y ? x ?1 2 ?
由 ? ? ?2k ? ? 4(4tk ? 2t 2 ? 2) ? 0 ,化简得 k 2 ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 ,
2

…9 分

记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m ? k1 k 2 ? 2t 2 ? 2 , 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] …12 分 所以 OP ? 4t 2 ? t 4 ? (t 2 ? 2)2 ? 4 ?[12, 21], 所以 OP ? [2 3 , 21] . …14 分
2


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