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计量师基础知识教案二第三章


第三章 测量数据处理

主要内容
?测量误差的处理 2、实验标准差计算;
1、减小系统误差的方法;

?测量不确定度的表示与评定
4、测量重复性和测量复现性的评定; 5、计量器具计量特性的评定; ?测量结果的处理和报告 6、统计技术的应用;

3、异常值的判别和剔除;

>7、测量不确定度评定的步骤和方法;
8、数据的有效位数和修约规则。
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第一节 测量误差的处理

测量误差回顾
?

1、误差:测量结果减去被测量的真值。
? 1、由于真值不能确定,实际上用的是约定真值;

? 2、当有必要与相对误差相区别时,误差有时称

真值:与给定的特定量的定义一致的量值。 为测量的绝对误差。但不应与误差的绝对值相
特点:只有通过完善的测量才能获得;本质上是不能确定的,常用约 混淆,后者为误差的模。 定真值来代替。

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测量误差回顾
?
?

绝对误差:△x = x-x0
相对误差:δx =△x/x0

?

引用误差:δN =△x/xN
?

以测量范围为(0-100) V 的电压表为例,若某测量点的 示值为10V,标准值为10.01V ,则
? 绝对误差: △

=10V - 10.01V =-0.01V 0.01V /10.01V=-0.1% 0.01V /100V=-0.01%

? 相对误差:δ=-

? 引用误差: δN =?

当x的值可能趋近于零时,不适合用相对误差表示。
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测量误差回顾
?

由误差的定义可知,误差表示的是一个量而
不是一个区间或范围;

?

只有知道测量结果以及真值(或约定真值)
后才能得到误差;

?

误差只能通过测量才能得到,仅仅通过分析
和评定得到的不可能是误差。

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测量误差回顾
?

随机误差的定义:
? 测量结果与在重复性条件下,对同一被测量进

行无限多次测量所得结果的平均值之差。
?

?=X-?
? 在(对同一量的多次)重复测量中以不可预见的方

式变化的测量误差(就整体而言却服从一定统计规 律)。
? 随机误差具有抵偿性

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误差分类图解
结论: 误差= 随机误差

概率密度 f(x)

误差 系统误差

+系统误差
随机误差 条形的面积表示 测量结果出现在 该区间内的概率

测得值的概率 密度分布曲线

测得值 测量结果
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总体均值

真值
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误差分类图解
测量结果 测得值的概率 密度分布曲线 误差 随机误差 系统误差 真值

测得值 总体均值
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有关测量和测量结果的术语
?

由系统误差和随机误差的定义,可得:
? 误差=测量结果–真值

?
?

=测量结果–总体均值+总体均值–真值
=随机误差+系统误差

? 测量结果=误差+真值 ?

=真值+随机误差+系统误差

? 误差是随机误差和系统误差的代数和 ? 误差合成都应采用代数相加的方法
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测量误差回顾
?

2、修正值:以代数法相加于未修正测量结果,用
于补偿系统误差的值。
?

修正值等于负的系统误差估计值,即与估计的系统误差大小相等、 符号相反; 由于系统误差估计值具有不确定度,因此修正只能一定程度上减小 系统误差,不能消除系统误差; 已修正的测量结果即使具有较大的不确定度,但可能已经很接近真 值,不要把测量不确定度与已修正的测量结果相混淆; 如果系统误差很小,而修正引入的不确定度分量很大,要考虑是否 值得修正。

?

?

?

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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

(一)系统误差的发现
? 在规定的测量条件下多次测量同一个被测量,

从所得的测量结果与计量标准复现的量值之差
可以发现并得到恒定的系统误差估计值。
? 在测量条件改变时,例如随时间、温度、频率

等条件改变时,测量结果按某一确定的规律变 化,可能是线性或非线性地减小或增长,就可

能发现测量结果中存在可变的系统误差。
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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

(一)系统误差的发现
? 在规定的测量条件下多次测量同一个被测量,

从所得的测量结果与计量标准复现的量值之差
可以发现并得到恒定的系统误差估计值。
? 在测量条件改变时,例如随时间、温度、频率

等条件改变时,测量结果按某一确定的规律变 化,可能是线性或非线性地减小或增长,就可

能发现测量结果中存在可变的系统误差。
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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

(二)减小系统误差的方法
如测量结果为Ux=10.01V,标准值为 ? 1、采用修正的方法 U0=10.00V ,则系统误差的估计值为 ? 当已知系统误差时,可以采用对测量结果进行修正 0.01V,即修正值为-0.01V。修正后的测 量结果应为:Ux+修正值=10.00V 的方法以减小系统误差。〉 〉 对测量结果修正后,应考虑修正引入的 ? 2、在实验中尽可能减小产生系统误差的因素 不确定度分量。 ? 如尽量调整到水平、垂直、平行等理想位置;
? 用数字仪表代替模拟仪表减小读数误差;

? 采用先后加衰减器的方法减小失配等。

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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
异号法:
?

带有螺旋杆式读数装置的测量仪器存在空行程,即螺旋杆 3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消 转动时刻度变化而量杆不动。第一次顺时针旋转对准刻度d, 则d=a+?,其中a为不含系统误差的值, ?为空行程引入的恒 ? (1)减小恒定系统误差的方法 定系统误差;第二次逆时针旋转对准刻度d1=a-? 。
– 异号法〉 r

取平均值可消除该系统误差:a=(d + d1)/2。

? 改变测量中的某些条件,如测量方向、电压极性,使两种测量条件

– 交换法〉

下测量误差的符号相反,取平均值以消除系统误差。 交换法: R R



用等臂天平称重,第一次右边放置被测件X,左边放置标准 ? 将测量中的某些条件适当交换,如被测件的位置相互交换,设法使 砝码P,X=P? l1/l2;第二次被测件和标准砝码互换位置,左 两次测量中的误差源对测量结果的影响作用相反,从而抵消系统误 边放置被测件X,左边放置标准砝码P+? P ,使天平再次平 Rx R 差。 +? P) ?l /l 。可以用位置交换前后两次测得值的 衡,X=(P 2 1 R0 几何平均值消除由于天平不等臂引入的系统误差。 替代法〉 〉
? 保持测量条件不变,用某一已知量值的标准器代替被测件再测量, X={(P +? P) ? P}1/2

使指示仪器的指示不变(或指零),这时被测量值等于已知的标准
值,达到减小系统误差的目的。 信号源 被校衰减器 标准衰减器

接收机
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测量误差回顾
?
?

误差分类(按性质):系统误差和随机误差
系统误差的定义:
? 在重复性条件下,对同一被测量进行无限多次

测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
?

? = ? -X0
? 在(对同一量的多次)重复测量中保持恒定不变或

按可预见的方式变化的测量误差。
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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

x x1 3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消 a

a1

? (2)减小可变系统误差的方法 ? 合理地设计测量顺序可以减小测量系统的线性漂移

或周期性变化引入的系统误差。t1

t2

t3 t4

假如电压表存在线性漂移,将使 测量引入可变的系统误差。
被校电压源 电压表 标准电压源

顺序测量4次,设标准电压源和被检电压 – ①用对称测量法减小线性系统误差 源的电压分别为Vs和Vx,系统误差用? 表示, 则

t1时刻: a=Vs + ? 1; t2时刻: x=Vx+ ?2;
t3时刻: x1=Vx + ? 3; t4时刻: a1=Vs + ?4; 测量时只要满足t2- t1= t4- t3,则

? 2 -? 1= ? 4 - ? 3
于是:Vx-Vs=(x+x1)/2 - (a+a1)/2
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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消
? (2)减小可变系统误差的方法 ? 合理地设计测量顺序可以减小测量系统的线性漂移

或周期性变化引入的系统误差。
– ②用半周期偶数测量法减小周期性系统误差 – 周期性系统误差通常表示为: ? =asin(2?l/T) – 相隔半个周期的两个测量结果中的误差是大小相等方向相反的, 所以凡是相隔半个周期的一对测量值的均值中不再含有此项误差。 此方法广泛应用于测角仪上。

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一、系统误差发现和减小系统误差的方法
?

(三)修正系统误差的方法
? 1、在测量结果上加修正值

? 已修正的测量结果=未修正测量结果+修正值
? 2、对测量结果乘修正因子

? 已修正的测量结果=未修正测量结果*修正因子
? 3、画修正曲线 ? 4、制定修正表
温度

电阻值

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二、实验标准偏差的估值方法
?

实验标准偏差
?

用有限次测量数据得到的标准偏差的估计值称为实验标

准偏差,用 “s” 表示。
?

实验标准偏差的估值方法
? 贝赛尔公式法 ? 最大残差法 ? 极差法

? 较差法(阿仑方差)

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二、实验标准偏差的估值方法
?

(1)贝赛尔公式法( n≥10 )
?

若在重复条件下对被测量X作n次独立重复测量,得到 的测量结果为xi,则单次测量结果xi的实验标准偏差:
1 n s( xi ) ? ? ( xi ? x) 2 n ? 1 i ?1
? = n-1为自由度;

xi ? x 为残差;
由贝赛尔公式法估算的实

?

算术平均值的实验标准偏差: 验标准偏差是被测量残差
s( x) ? s( xi ) / n
_

的统计平均值;

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二、实验标准偏差的估值方法
?

(2) 最大残差法
? 从有限次独立重复测量的一系列测量值中找到

最大残差,并根据测量次数查残差系数cn值,按 下式计算估计的标准偏差:

s ? cn vmax

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二、实验标准偏差的估值方法
?

(3)极差法(测量次数4~9时)
?

若在重复条件下对被测量X作n次独立重复测量, n个 测量结果中最大值和最小值之差为R,则单次测量结 果xi的实验标准偏差为:
s( xi ) ? xmax ? xmin R ? dn dn

?

A类标准不确定度
u A ? s( xi )
u A ? s ( x) ? s ( x) / n
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_

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二、实验标准偏差的估值方法
?

例:对某量测量9次,测得数据为:1225、1258、 1258、1253、1252、1252、1256、1189、 1240。
?

贝赛尔公式法

1 n 1 9 x ? ? xi ? ? xi ? 1243 n i ?1 9 i ?1

1 n s ( x) ? ( xi ? x ) 2 ? 23 ? 9 ? 1 i ?1
?

自由度为?=8

极差法

xmax ? 1258 xmin ? 1189 n ? 9
自由度为?=6.8
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s ( x) ?
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1 (1258 ? 1189 ) ? 23 2.97

?

极差系数C=2.97(前公式为dn)和自由度 ?=6.8来自于JJF1059《测量不确定度评定 与表示》4.4极差法标准偏差评定,表1极差 系数C和自由度?。

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二、实验标准偏差的估值方法
?

(4)较差法(阿仑方差)
? 从有限次独立重复测量的一系列测量值中,将

每次测量值与后一次测量值比较得到差值,按 下式计算估计的标准偏差:
s ( xi ) ?
n ?1 1 ? ( xi?1 ? xi ) 2 2(n ? 1) i ?1

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二、实验标准偏差的估值方法
?

(5)各种估值方法的比较
?

贝赛尔公式法是一种最基本的方法,但是n很小时其 估计值的不确定度较大,因此它适合于测量次数较多 的情况; 极差法和最大残差法较简单,但当测量数据的概率分 布偏离正态分布较大时,应当用贝赛尔公式法; 较差法更适合随机过程的方差分析,如测量频率稳定 度的阿伦方差就属于该方法。

?

?

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三、算术平均值及其实验标准偏差的计算
?

(一)算术平均值的计算
?

在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量,测
1 n 的一系列值x1,x2,???,xn,其算术平均值为:X ? ? xi n i ?1
? 由大数定理可以证明,算术平均值是期望的最佳估计值。它是
?

期望的无偏估值;
? 算术平均值是有限次测量的均值,所以是由样本构成的统计量,

它本身也是随机变量;
? 由于算术平均值是期望的最佳估计值,通常用算术平均值作为

测量结果。
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三、算术平均值及其实验标准偏差的计算
?

(二)算术平均值实验标准偏差的计算
s( x ) ? s( xi ) / n

?

(三) 实验标准偏差的标准偏差的计算
s ? ( s) ? 2(n ? 1)

? ( s) / s ?

1 1 ? 2(n ? 1) 2?

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四、异常值的判定和剔除
?

异常值(离群值)
? 在对一个被测量重复观测所获得的若干观测结

果中,出现了与其它值偏离较远且不符合统计
规律的个别值。他们可能属于来自不同的总体, 或属于意外的、偶然的测量错误。也称为存在 着“粗大误差”。
? 振动、电源变化、电磁干扰等意外条件变化;

? 读数或记录错误等人为因素。

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四、异常值的判定和剔除
?

物理判别法
?

在测量过程中确实是因记错、读错数据,仪器的突然故 障,或外界条件的突变等异常情况引起的异常值,应随 时发现随时剔出。 这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因,是发现 和剔出异常值的首要方法。

?

?

统计判别法
?

有时在测量完成后也不能确知可疑值是否为粗大误差, 就需要采用统计判别法。
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四、异常值的判定和剔除
?

1、拉依达准则(3σ准则)
?

对被测量X进行n次独立重复测量,得到一系列数据: x1,x2,……xd,……xn
? (1)计算平均值 ? (2)计算实验标准偏差

v ? (3)找出可疑的测量值xd ,求可疑值的残差: d
? (4)若? vd?
?

? xd ? x

_

? 3? s(x),则xd为异常值,予以剔除。

适合测量次数大于50的情况

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四、异常值的判定和剔除
?

1、拉依达准则(3σ准则)
?

由贝赛尔(Bessel)公式知:
( xi ? x) 2 ? (n ? 1) s 2 ( xi ) ?
i ?1 n

1 n s( xi ) ? ( xi ? x) 2 ? n ? 1 i ?1

xd ? x ?
?

? (x
i ?1

n

i

? x) 2 ? (n ? 1) s 2 ( xi ) ? n ? 1 ? s( xi )

当n? 10时, 3σ准则剔除粗大误差注定失效!

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四、异常值的判定和剔除
?

2、格拉布斯(Grubbs)准则〉
? 对被测量X进行n次独立重复测量,得到一系列数

据:x1,x2,……xd,……xn
1950年,Grubbs根据顺序统计量的某种 分布规律提出一种判别粗差的准则。 ? (2)计算实验标准偏差
? (1)计算平均值
_

v ? (3)找出可疑的测量值xd ,求可疑值的残差: d
? (4)若? vd?

? xd ? x

? G? s(x),则xd为异常值,予以剔除,g值可查表得到。

? 对样本中只混入一个异常值的情况,用该准则检

验功效最高。
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四、异常值的判定和剔除
?
?

1950年,Dixon提出另一种判别粗差的准则,它 是根据测量数据按大小排列后的顺序差来判别 粗差,无需估计实验标准偏差和算术平均值。

?为显著水平,n为测量次数,D为狄克逊检 3、狄克逊(Dixon)准则〉

验的临界值。 对被测量X进行n次独立重复测量,得到一系列数据,按大小排列为: x1,x2,……xd,……xn。 对最大值的判断 对最小值的判断 判据

样本大小 n =3~7 n =8~10 n =11~13 n =14~40

xn ? xn ?1 r10 ? xn ? x1 x n ? x n ?1 r11 ? xn ? x2
r21 ?

xn ? xn?2 r22 ? x n ? x3

xn ? xn?2 xn ? x2

x2 ? x1 xn ? x1 x 2 ? x1 ' r11 ? x n ?1 ? x1 x ? x1 ' r21 ? 3 x n ?1 ? x1 x3 ? x1 ' r22 ? xn?2 ? x1
' r10 ?

rij ? rij' , rij ? D(? , n)
时,则xn为异常值

rij ? rij' , rij' ? D(? , n)
时,则x1为异常值

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四、异常值的判定和剔除
?

三种判别准则比较
? ? ?

大样本情形(n>50)用3σ准则最简单方便; 30<n<50时,用Grubbs准则效果最好; 3<n?30时,用Grubbs准则适于剔除一个异常值,用Dixon 准则适于剔除一个以上异常值。

?

实际工作中可选用多种判别方法
? ? ?

如果结论一致,可以剔除; 如果结论不一致,则应慎重; 当无法判断的情形时,一般以不是异常值处理为好。
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四、异常值的判定和剔除
?

对某产品抗压强度的测量数据为:4.7,5.4,6.0,6.5,7.3, 7.7,8.2, 9.0, 10.1 ,14.0。试用Grubbs判别法判断最大值 14.0是否为异常值。
?
?

解: x ? 7.312, s( xi ) ? 2.704 x d ? x ? 14.0 ? 7.312 ? 6.688
查临界值表(表3-4)得:G0.95(10)=2.176,G0.99(10)=2.410

?
? ?

s(xi) ? G0.95=2.704? 2.716=7.344, s(xi) ? G0.99=2.704? 2.410=6.517
如果显著水平为1%,则14.0为异常值,应予以剔除;

如果显著水平为5%,则14.0不是异常值。

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四、异常值的判定和剔除
?

射击16发子弹,其测程测量数据为:1125,1148,1250, 1259,1273,1279,1285,1285,1293 ,1300,1305,1312, 1315,1324,1325,1350(已按大小顺序排列,单位:m)。 试用Dixon判别法判断最小值1125是否为异常值,指定?=5%。
?

解:由于n=16,统计量为
x16 ? x14 1350? 1324 r22 ? ? ? 0.260 x16 ? x3 1350? 1250

? ?

x ? x 1250? 1125 r ? 3 1 ? ? 0.628 x14 ? x1 1324? 1125
' 22

查临界值表(表3-5)得:D0.95(16)=0.546

,故判断最小值为异常值。
' r22 ? D0.99 (16)

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五、测量重复性和测量复现性
?

(一)测量重复性评定
? 1、测量仪器的重复性(repeatability)

? 在相同条件下,重复测量同一被测量,测量仪器提

供相近示值的能力。
– 这些条件称为重复条件;
– 重复条件包括:相同的测量程序、观测者、相同的测量仪器、相 同地点、在短时间内重复测量。

? 重复性可用测量结果/示值的分散性定量表示。

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五、测量重复性和测量复现性
?

(一)测量重复性评定
? 2、测量结果的重复性评定

? 在相同测量条件下,对同一被测量连续进行多次测

量所得结果之间的一致性。
? 重复性可以用测量结果的分散性定量表示,用实验

标准偏差表示;
– 重复性条件包括:相同测量程序、相同观测者、相同条件下使用 相同测量器具、相同地点和在短期内进行重复测量。

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五、测量重复性和测量复现性
?

(二)测量复现性的评定
? 在变化的测量条件下,同一被测量的测量结果

之间的一致性。
? 在给出复现性时应说明改变条件的详细情况;
– 变化的测量条件包括:测量原理、方法、观测者、 器具、参照 标准、测量地、使用条件和测量时间;

? 复现性可以用测量结果的分散性定量表示;

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六、加权算术平均值及其 实验标准偏差的计算方法
?

权:用数值来表示对测量结果的信任程度
?

如:对同一量进行多组测量,显然测量次数越多,测量

结果愈可信任,在取平均值时就应占较大比重;
?

如:在进行实验室比对时,每个实验室要给出其测量结 果和测量不确定度。在数据处理时,测量不确定度小的 测量结果一般要给于更大的信任。

xw ?

?Wi xi
i ?1 m

m

?W
i ?1

s ( xw ) ?

?W ( x
i ?1 i

m

i

? xw ) 2
m

i

(m ? 1)? Wi
i ?1

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?
? ?

Xw为加权算术平均值,Wi=u20/u2ci; U为第m组测量结果的合成标准不确定度; Wi 与 u2ci 成反比;
Sw为加权算术平均值Xw的实验标准差

?

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七、计量器具误差的表示与评定
?

(一)示值误差和最大允许误差
? 1、示值误差(error

由显示器读出的值称为直接示值,有时测量仪 器的示值是由直接示值乘以仪器常数得到。 对实物量具,其示值就是其标称值。

of indication )

? 定义:测量仪器示值与对应输入量的真值之差

– 测量仪器的示值就是由测量仪器提供的量值〉〉 – 由于真值不能确定,实际上用的是约定真值 如:标准电压源输出电压为1.000V,被检数字 ? 示值误差=示值-校准值(VIM3:测量仪器示值与相 电压表指示为1.005V。则数字电压表示值误差 应测量标准提供的量值之差) = 1.005V- 1.000V=0.005V;相对示值误差

– 绝对示值误差 如:标称值为100Ω的标准电阻器,用高一级标 准校准后其值为100.003Ω。则该标准电阻示值 – 相对示值误差 误差为: 100Ω-100.003Ω = - 0.003Ω。
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=0.005V/1.000V=0.05%。

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七、计量器具误差的表示与评定
?

1、示值误差
? 示值误差可能是正值,也可能是负值;

? 同一型号的不同仪器,其示值误差一般不同;
? 即使是同一台仪器,其不同测量点的示值误差

也可能各不相同;
? 示值误差必须经过校准或检定才能得到。

示值误差的评定: 比较法、分步法、组合法
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?

?

?

比较法:用被检仪器读出值减去计量标准读 出值的平均值。(三坐标) 分步法:无参考标准,用计量标准读出相关 计量特性在判定目标计量特性。(邵氏) 组合法:被检器具与标准器具对应比较和被 检器具相互比较,以最小二乘法计算各被检 器具示值误差。(量块、砝码、电阻)

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七、计量器具误差的表示与评定
?

2、最大允许误差(maximum permissible error)
? 定义:技术规范、规程中规定的测量器具的允

许误差极限值;
? 有时也称测量仪器的允许误差限; ? 它是由规范或仪器生产厂规定的不得超过的误

差限,一般有上限和下限,在大多数情况下, 为对称限。

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七、计量器具误差的表示与评定
?

2、最大允许误差
上限

MPEV
示值

下限

第 47 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

最大允许误差的表示形式
? (1)

以绝对误差形式表示: ?= ?a

?最大允许误差限不随示值而变;
?注意应有数值和测量单位。
?

例如:精密玻璃水银温度计,测量范围为:
0 ?C ~50?C ,最大允许误差为±0.2 ?C 。
? 如果测量30

?C , 则允许范围为29.8 ?C ~30.2?C 。

第 48 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

最大允许误差的表示形式
? (2)

以相对误差形式表示:? =?? ? /x??100%
– x为测量仪器的示值或实物量具的标称值。

?最大允许误差限随示值而变; ?没有测量单位。
? 例如:标称值为1M?的电阻,注明允许误差限

为±1%,则该电阻的允许误差上限为10k ? , 下限为-10k ?。

第 49 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

最大允许误差的表示形式
? (3)

以引用误差形式表示: ? = ?? ? /xN ? ?100%
– xN为引用值(特定值),通常是量程上限,或满刻度值。

?

引用误差不随示值而变,但与量程有关

? 例如:0.25级弹簧式精密压力表的最大允许误差

为“?0.25% ?满刻度值”,在仪器任意刻度值

上允许误差限不变。

第 50 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

最大允许误差的表示形式
?

(4) 以绝对误差和相对误差组合的形式表示
? 例如:标准钢卷尺为?=?(0.04mm+4?10-5?L) ? 脉冲宽度?

在(0.1~10)?s的最大允许误差为: ?=?( ? ?10%+0.025 ?s)

? (5)

以相对误差和引用误差组合的形式表示

? 例如:数字电压表在测量电阻时的最大允许误差为

?(10 ?10-6 ?读数+0.5 ?10-6 ?量程)
? 注意:用最大允许误差表示时,其数值前必须

加“?” 号。
第 51 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

(二)测量仪器特性的符合性评定
? 测量仪器的符合性评定(合格评定)就是评定

测量仪器的示值误差是否在最大允许误差范围
之内,即测量仪器是否符合其技术指标要求;
? 由于标准值具有不确定度,因此由计量标准检

定仪器时会在合格评定中带来误判风险;
? 误判风险的大小与标准值的不确定度和被检仪

器示值的最大允许误差之比有关。
第 52 页

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七、计量器具误差的表示与评定
xs
x+MPEV

xs xs xs
? ?

U

?

U

?

U

xs

?

U

? = x-xs

示值x

xs
x-MPEV

?

U

xs

?

U

xs

?

U

xs

?

U

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七、计量器具误差的表示与评定
?

(二)测量仪器特性的符合性评定
? 当测量不确定度可以忽略时(当标准值的测量

不确定度U95与被评定测量仪器最大允许误差的
模值之比达到1/3时 )在合格评定中可以忽略不 计测量不确定度的影响,此时:
? ?? ? ??

?? MPEV,仪器判为合格; ?? MPEV,仪器判为不合格。

第 54 页

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JJF1094-2002测量仪器特性评定,符合性判据为: ?? ?? MPEV-U,仪器判为合格; ?? ?? MPEV+U,仪器判为不合格; MPEV-U??? ?? MPEV+U,仪器处于待定区。

七、计量器具误差的表示与评定
xs ?
U

xs ?

U

x+MPEV

xs ? xs ?
U

U

xs ?

U

xs ?
? = x-xs

示值x

xs ?
x-MPEV

U

xs ?

U

xs ?

U

xs ?

U

xs ?

U

第 55 页

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高频电压标准检定MPEV为?2%的高频电压 表,测量结果得到被检表在1V时的示值误差 为?=0.008,U95=0.9%。 xs ?
2%
U

七、计量器具误差的表示与评定
xs ?
U

xs ? xs ?
U

U

xs ?

U

?

? = 0. 8%

0

xs ?
-2%

U

xs ?

U

xs ?

U

xs ?

U

xs ?

U

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紧限判据:

被评定测量仪器示值误差的绝对值在其最大允许误差的 模扣除标准值的扩展不确定度的范围内时判为合格,即 ?? ?? MPEV-U,仪器判为合格; ?? ?? MPEV-U,仪器判为不合格; 宽限

七、计量器具误差的表示与评定

U95

U95

紧 限

U95

U95

MPEV

MPEV

宽限判据: 被评定测量仪器示值误差的绝对值在其最大允许误差的模加 上标准值的扩展不确定度的范围内时判为合格,即 ?? ?? MPEV+U,仪器判为合格; ?? ?? MPEV+U,仪器判为不合格;
第 57 页

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七、计量器具误差的表示与评定
?

由于标准值具有不确定度,因此会有待定区存在。若在合 格评定中不考虑待定区,就会存在误判风险;〉
在许多情况下,标准值的不确定度主要取决于计量标准的 误判概率的大小与比值有关,当U95<1/4MPEV时,误判 不确定度。因此在开展计量检定时,至少要求计量标准引 概率小于5%左右;当U95<1/3MPEV时,误判概率小于 入的不确定度分量小于被检仪器允许误差极限的1/3。 7% 在合格评定中,标准值的不确定度要用扩展不确定度,因 为它是区间半宽度,而最大允许误差限也是一个区间半宽 度,两者可以比较。 当比值到不到1/3是,必须考虑测量不确定度影响,不能忽 略待定区的问题。作为第三方检验或校准时,应把情况如 实告知用户。
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?

?

?

第 58 页

七、计量器具误差的表示与评定
?

例:对最大允许误差为?1 ?10-5,标称值为10Ω的标准电阻器进行校准,
其校准值为9.9999851Ω,校准的扩展不确定度为20μΩ,置信水平为 95%,求该标准电阻的示值误差,能否下合格结论?为什么?

?

答:(1)标准电阻的最大允许误差的绝对值为1 ?10-5,校准的扩展不
确定度U95 =20μΩ/10Ω=2 ?10-6, 它与被校标准电阻的最大允许误差的绝 对值之比1/5,满足量值传递的要求。

? ?

(2)标准电阻示值误差=10Ω-9.9999851Ω=0.0000149Ω 相对示值误差 =0.0000149Ω/9.9999851Ω= 1.5 ?10-6,,由于相对示值误

差的绝对值(1.5 ?10-6 )小于最大允许误差的绝对值(1 ?10-5), 所以符合
技术指标要求,检定结论为“合格”。
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第 59 页

八、计量器具其他计量特性的评定
?

1、[测量仪器的]准确度等级〉
测量准确度:测量结果与被测量真值之间的一致程度。 ? 以最大允许误差评定准确度等级
? 依据有关规程和技术规范,当测量仪器的示值误差

准确度是一个定性概念。

不超过某一档次的最大允许误差要求,且其它相关 特性也符合规定的要求时,则可判定该测量仪器在 该准确度级别合格;
? 使用这种仪器时,可直接用示值,不需要加修正值。

– 如:弹簧式精密压力表,用引用误差的最大允许误差表示 的准确度等级分别为:0.05级,0.1级,0.16级,0.25级等等。

第 60 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

1、[测量仪器的]准确度等级
? 以实际值的测量不确定度评定准确度等级

? 依据计量检定规程对测量仪器进行检定,得出测量

仪器实际值,其扩展不确定度满足某一档次的要求, 且其它相关特性也符合规定的要求时,则可判定该 测量仪器在该准确度等别合格;(0.05级、二等活塞)
? 这表明测量仪器实际值的扩展不确定度不超出某个

给定的极限;
? 用这种方法评定的仪器在使用时,必须加修正值,

或使用校准曲线。
第 61 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
项 目 按“等”使用(修正值使用) 划分 使用 方法 以不确定度大小划分。 按“级”使用 以允许误差极限划分。

仪器得到的读数加上修正值 仪器得到的读数即为测量 才是测量结果。 结果。

不确定 由修正值的不确定度得到, 由仪器的技术说明书规定 度来源 上级部门给出,通常由校准 的最大允许误差极限通过 证书得到。 概率分布得到。

不确定 由校准证书给出的扩展不确 由最大允许误差极限除以 1.73。 度计算 定度除以k。
不确定 量传过程不确定度损失较小。 量传过程中不确定度损失 度损失 较大。 用途
第 62 页

常用于量传高端。

常用于量传低端。
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八、计量器具其他计量特性的评定
?

2、测量仪器的分辨力
? 测量仪器的显示装置能有效辨别的最小示值差

? 对数字仪器而言,分辨力是变化一个最小有效数字时

的示值变化.
– 如:某五位半数字电压表,其末位变化一个字表示示值变化1?V , 则分辨力为1?V ; – 频率计数器最低数字显示变化一个字的示值差为1Hz,则分辨力 为1Hz;

? 模拟仪表显示装置任意两个相邻标记之间最小分度

的一半为其分辨力
– 某一尺子最小分度为1mm,则其分辨力为0.5mm。
第 63 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

3、测量仪器的灵敏度
? 在规定的某激励值上通过一个小的激励Δx,得

到相应变化为Δy,则S= Δy/Δx即为该激励下的灵 敏度;
? 测量仪器的响应变化与响应激励变化之比值。

? 如:某记录仪的输入电压改变1μV,走纸0.2cm,则

其灵敏度为0.2cm / μV;
? 如:某热敏电阻的温度变化1?C,其阻值变化0.1?



则其灵敏度为0.1 ? / ?C。
第 64 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

4、测量仪器的鉴别力
? 在一定激励和输出响应下,通过缓慢单方向地

逐步改变激励输入,观察其输出响应,使测量 仪器产生恰能觉察有响应变化时的激励变化。
? 使测量仪器产生未察觉的响应变化的最大激励

变化,这种激励变化应是较慢的和单向的。
? 如:检定活塞压力真空计时,当标准压力计和被检

活塞压力真空计在上限压力下平衡后,在被检活塞 压力真空计上加放的刚能破坏活塞平衡的最小砝码 的质量即为被检活塞压力真空计的鉴别力。
第 65 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

5、测量仪器的稳定性

通常是指仪器计量特性随时间不变化的能力;
若稳定性不是对时间而言,则应该明确说明。

? 测量仪器保持其计量特性恒定的能力〉

? 通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化, 用测量标准观测某标准物质的量值:当其变化达 当变化达到某规定值时,其变化量与所经过的时间 到规定的? 1.0%时所经历的时间间隔为90天,则 之比即为评定测量仪器的稳定性; 〉 该标准物质质量的稳定性为? 1.0%/90d。

? 通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随 某信号发生器按规定时间预热后,在一小时内连

续观测其输出幅度的变化,其所有观测值中的最 时间的变化,所记录的被评定测量仪器计量特性的 大值与最小值之差除以观测时间即为该信号发生 变化量除以观测时间即为评定测量仪器的稳定性; 〉 器输出幅度的稳定性。
? 频率源的频率稳定度用阿伦方差表示。

第 66 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

6、测量仪器的漂移
? 测量器具计量特性的慢变化。

? 由不受控的影响量的系统影响所引起的,一般用单

位时间内的变化或使用一定次数后的变化来表示。
? 实质上,漂移是一种随时间和使用次数而改变的系

统误差。

第 67 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

7、测量仪器的响应特性
? 在规定条件下,激励与对应响应之间的关系。

? 频率响应,温度响应等,如热电偶的电动势是温度

的函数;
? 可以用表格、曲线、数学方程式等形式表示;

? 当激励按时间的函数变化时,传递函数(响应的拉

普拉斯变换除以激励的拉普拉斯变换)是响应特性 的一种形式。

第 68 页

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八、计量器具其他计量特性的评定
?

8、测量仪器的不确定度
? ?

VIM第二版:测量不确定度属于测量结果; 用测量仪器得到的测量结果具有不确定度。该不确定度 虽然和仪器有关,同时还与测量程序有关;

? ?

测量不确定度不是仪器的固有特性; 描述测量仪器特性的术语:示值误差和最大允许误差;
计量标准的不确定度: ? 测量仪器所提供的标准量值的不确定度;

由计量标准引入的不确定度分量 ? 由测量仪器引入的不确定度分量;
? 由校准得到的仪器示值误差的不确定度。 www.casic203.com

第 69 页

第二节
测量不确定度的 表示与评定

第二节 测量不确定度的表示与评定
?

概率统计基本知识
? ? ?

数学期望、方差、标准偏差 常用概率分布函数 相关系数、协方差

?

不确定度的评定方法
? ?

不确定度来源和数学模型 标准不确定度分量的评定

?

不确定度的合成

第 71 页

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一、统计技术应用
?

(一)概率、概率密度函数
?

传统统计理论中概率定义:在n次独立的连续试验中,

事件A发生了m次,m称为事件的频数, m /n称为相对
频数或频率。当n极大时频率 m /n稳定地趋于某一个常 数,此常数称为事件A的概率,记为P(A)= p 。
? 概率p是用以度量随机事件A在试验中出现可能性大小的数值。

0≤P(A) ≤1
? 测量值X落在x0到

x0+ ? x区间的概率可表示为

P(x0 ≤x ≤ x0 + ? x)
? 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。
第 72 页

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一、统计技术应用
?

(一)概率、概率密度函数
?

概率是介于0和1之间隶属于随机事件的实数。
? ISO3534:1993定义的注中说明:概率与事件发生的相对频数有

关,或与事件发生的可信程度有关。可信度高时概率接近于1。
?

概率是某一随机事件在试验中出现可能性大小的度量。
? 如:对某量测量100次,70次落在些x0到x0

+? x0范围内,则称测 量值在该范围内的概率为70%或0.7。(A类)

?

概率也可以认为是对某一随机事件可信程度的度量。
? 如:根据经验和已掌握的信息知道测量值落在区间(x0,x0 ? () www.casic203.com

+? x0) 内的可信程度为99%,我们也称为测量值在此区间的概率为99%。

第 73 页

一、统计技术应用
?

对某一个量重复测量时,可以得到一系列测量数据,它们
分散在某个区间内,概率是测量值在该区间出现相对频率 (即可能性大小)的度量。
?

在此定义基础上奠定了测量不确定度A类评定的理论基础;

?

由于测量的不完善和人们对被测量及其影响量的认识不足, 会影响到测量的可信度。概率也可以是测量值落在某个区 间内的可信度大小。
?

在这一新定义中 ,对于那些我们不知道其大小的系统误差,可以

认为是以一定的概率落在区间的某个位置,认为也属于随机变量,
或者说某项未知的系统误差落在该区间内的可信程度也可以用概率 表征。这是测量不确定度B类评定的理论基础。
第 74 页

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一、统计技术应用
?

概率密度函数
?

f(x)

概率分布函数的导数即为概率 密度函数,用f(x)或p(x)表示
f ( x) ? p( x) ? lim P( x0 ? x ? x0 ? ?x) ?x ?o ?x
x0

?

若已知概率密度函数,则测量 值落在(x0 , x0+?x)区间内的概 率为
P ( x0 ? x ? x0 ? ?x) ?
x0 ? ?x

x0+?x

x

? f ( x)dx
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x0

第 75 页

一、统计技术应用
f(x)
?

概率密度函数
?

若取值区间为(a , b) ,则测量值 落在该区间的概率为

P(a ? x ? b) ? ? f ( x)dx
?

b

P 称为置信概率或置信水平,区
间(a , b)称为置信区间。

a

a

b

x

?

P=0.9表明该区间包含了概率 置信区间的两个界限a 和 b分别 密度分布曲线下面积的90%, 称为区间的上限和下线,统称为 即测量值有90%的可能性落在 该区间。

置信限。
第 76 页

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一、统计技术应用
?

概率密度函数
? 为了与经典概率有所区别,在GUM中将

P 称为

“包含概率”或“置信水平”(在JJF1059中也 称为“置信概率”);
? 经典概率论中的置信区间(a

, b),在GUM中称

为“统计包含区间”;
? 经典概率论中的置信因子(用以乘标准偏差得

到置信区间的半宽度),在GUM称为包含因子 (U=kuc )。
第 77 页

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一、统计技术应用
?
?

(二)数学期望、方差和标准偏差
1、期望
?

无穷多次测量的算术平均值的极限,在统计 学中把期望称为总体均值或均值。
?

1 n μ ? lim ? x i n ?? n i ?1

常把X量期望用E(X)表示

?

测量值X的期望是无穷多次测量的测量值xi与
其相应概率pi的乘积之和,即以概率加权的算 术平均值

E ( X ) ?μ ? ? x
i ?1

?

i

p

i

?
?
第 78 页

当已知概率密度函数时,期望可写为:
决定概率密度分布曲线位置的量。

E( X ) ? ? xf ( x)dx
??

??

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一、统计技术应用
?

数学期望的运算法则
? (1)

常数c的期望等于常数本身,E(c) =c

? 设X为一随机变量,c为一常数,则E(cX)=cE(X)
?设

X 、 Y 为 两 个 独 立 的 随 机 变 量 , 则

E(X· Y)=E(X) ·E(Y)
? 设X1,X2….Xn为任意的随机变量,

a1,a2…, an

是任意常数,则

E (? ai xi ) ? ? E (ai xi )
i ?1 i ?1

n

n

第 79 页

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一、统计技术应用
?

2、方差
?

定义:无穷多次测量的测量值与其

1 n 2 σ 2 ? lim ? xi ?μ ) ( n ?? n i ?1 期望之差平方的算术平均值的极限。

?

或者说:方差就是测量的随机误差

(测量值-期望)平方的数学期望。
? ? ?
第 80 页

D( X ) ? ? 2 ? E( x ? ? )2

测量值平方的期望减去期望的平方 (D(X)的数学展开) 如果已知概率密度函数,则

? 2 ? E( X 2 ) ? ?E( X )?2
? 2 ? ? ( x ? ? ) 2 f ( x)dx
?? ??

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一、统计技术应用
?

方差的运算法则
? (1)

? 2 ? E( X 2 ) ? ?E( X )?2
D(c) =0;

? (2)常数的方差为零

? (3)设X为一随机变量,c为一常数,则D(cX)=c2D(X); ? (4)设X、Y为两个独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y); ? (5)设X、Y为任意两个随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2?XY。

第 81 页

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一、统计技术应用
?

3、标准偏差
?

方差的正平方根,用来表征

测量值的分散程度。 ?小表
明测量值比较集中, ?大表 明测量值比较分散。
?

1 n 2 σ ? lim ( ? xi ?μ ) n?? n i ?1

f(x)

?小 ?中 ?大

?表征测量设备的重复性和复

现性,因为它是在无穷多次

测量情况下定义的,所以又
称总体偏差
第 82 页

x
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一、统计技术应用
?
?

(三) 有限次测量时算术平均值和实验标准偏差
1、算术平均值
?

在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量,测的一系列值 ? 1 n x1,x2,???,xn,其算术平均值为: X ? ? xi n i ?1 ? 由大数定理可以证明,算术平均值是期望的最佳估计值。它是

期望的无偏估值;
? 算术平均值是有限次测量的均值,所以是由样本构成的统计量,

它本身也是随机变量;
? 由于算术平均值是期望的最佳估计值,通常用算术平均值作为

测量结果。
第 83 页

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一、统计技术应用
?

2、实验标准偏差
?

用有限次测量数据得到的标准偏差的估计值称为实验标

准偏差,用 “s” 表示。
?

在给出实验标准偏差的估值时,自由度越大,表明估计 值的可信程度越高。
? 贝赛尔公式法、最大残差法、极差法、较差法(阿仑方差)

s ? ( s) ? 2(n ? 1)
第 84 页

1 1 ? ( s) / s ? ? 2(n ? 1) 2?
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?

?

?

期望是反映一组数据总体趋势的指标(有限 个数据且等概率出现就是平均数); 方差是衡量数据稳定性的统计量,是反映一 组数据的离散程度的指标,其大小与离散性 同向; 标准差为方差的正平方根,目的在于与该组 数据的单位一致。

第 85 页

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一、统计技术应用
?

(四)正态分布(高斯分布)
?

曲线与x轴所围面积为1;

?
? ?

?为形状参数, ?为位置参数;
p(x)

p( x) ?

1

? 2?

e

? ?( x?? )2 ? ? ? 2 ? 2? ? ? ?

如?=1, ? =0,标准正态分布。

特点:
? 对称性 ? 单峰性

? 渐进线
? 有拐点
第 86 页

3?

2? ? ? ? 2? 3?

x

正态分布的概率密度函数
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一、统计技术应用
?

正态分布时测量值落在??k? 区间内的概率
0.676
50% p(x)

置信因子k
概率p

1
68.27%

1.645
90%

1.96
95%

2
95.45%

2.58
99%

3
99.73

? -3?

? -2?

? -?

?
68.27% 95.45%

? +? ? +3? +2? ?

x

97.735%

正态分布的概率密度函数
第 87 页

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一、统计技术应用
?

标准正态分布概率密度函数
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4 -2 0 2 4

第 88 页

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一、统计技术应用
?
?

(五)常用的非正态分布函数 1、均匀分布 P(x)

?1/(a? ? a? ) a? ? x ? a? p( x) ? ? 0 x ? a ? , x ? a? ?
a? ? a? ? 数学期望: E ( x) ? ? ? 2
? 标准偏差:

a-

a+ x

? ( x) ? (a? ? a? ) / 12

? 设区间半宽度为a,则
第 89 页

? ( x) ? a / 3
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?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
?

E(x)=∫(下限负无穷到上限正无穷)xf(x)dx =∫(下限a到上限b)x/(b-a)dx =(b^2-a^2)/(b-a)*1/2 =(a+b)/2 E(x^2)=∫(下限负无穷到上限正无穷)x^2f(x)dx =∫(下限a到上限b)x^3/(b-a)dx =(b^3-a^3)/(b-a)*1/3 =(a^2+ab+b^2)/3 D(x)=E(x^2)-(E(x))^2 =(a^2+ab+b^2)/3-[(a+b)/2]^2 =(a^2+ab+b^2)/3-(a^2+2ab+b^2)/4 =(a^2-2ab+b^2)/12 =(b-a)^2/12
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第 90 页

一、统计技术应用
?

1、均匀分布
? 设区间半宽度为a,则

P(x)

? ( x) ? a / 3
? P=100% ? P=99% ? P=95%

k? 3

1/a

,U100= a

?-a

?

?+a

x

, U95=0.99a, k=1.71

, U95=0.95a, k=1.65
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第 91 页

一、统计技术应用
?

2、三角分布
?a ? x ? a2 ?a ? x ? p( x) ? ? 2 ? a ? 0 ? ?
P(x)

?a ? x ?0 0? x?a x ? ? a, x ? a

1/a
-a +a

x

? 标准偏差(区间半宽度为a): ? 如果

? ( x) ? a / 6

P=95% , U95=0.7764a , k=1.9
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第 92 页

一、统计技术应用
?

3、梯形分布
? ( x) ? a 1 ? ? 2 / 6

P(x)

?a-

x a
? 当? =0时,为三角分布; ? 当? =1时,为均匀分布。

第 93 页

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一、统计技术应用
?

4、反正弦分布

p(x)

? 1 /(? a 2 ? x 2 ) ? a ? x ? a ? p( x) ? ? ? 0 x ? ? a, x ? a ?
-a
? 标准偏差(区间半宽度为a)

1/?a +a

x

? ( x) ? a / 2
第 94 页

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一、统计技术应用
?

4、反正弦分布
? a=1
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

第 95 页

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一、统计技术应用
?

5、t分布
?

t 分布又称学生分布,是连续 型随机变量t 的概率分布。在 概率中它表征对样本中所取子 样的分布,或称抽样分布。如 果无穷多次测量的整体分布是 正态分布,那么t分布就是描 述其有限次测量的分布。
X?? X?? ? _ S/ n S(X )
_ _

p(t)

t

-tp(?)

-tp(?)

随机变量: t ?

第 96 页

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一、统计技术应用
?

5、t分布

p(t ) ?

?(

? t ? 1? ? ? ?? ? ?? ?( ) ? 2 2
2

? ?1

)

? (? ?1) / 2

p(t)

其中: ? 为 ? 函数, ? 为分布 的自由度,当? ? ?时,t 分 布 ? 正态分布。 ? 通常所说的1?(k=1)和3? (k=3)所对应的置信概率为 68.27%和99.73%指的是正态 分布,即自由度为无穷大,在 有限次测量的情况下,应为t 分布.
?
第 97 页

t

-tp(?)

-tp(?)

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一、统计技术应用
?

(六)协方差和相关系数
?

Y=X1+X2 ,X2=bX1 ,则X2随X1变 化而变化,说明X1和X2是相关的。

相关与独立的概念

如果Y=X1+X2 ,X2和X1 本来是不 相关的量。但我们对X2和X1都作 ? 相关:两个随机变量X、Y,如果其中一个量的变化会导致另一 了温度修正,而修正值是根据同 一个温度计测得的值确定的,则 个量的变化,就说X、Y这两个量是相关的。 〉 〉 他们的修正值就相关了,经修正 ? 独立:如果两个随机变量的联合概率分布是他们两个概率分布 后的X1和X2也就相关了。 的乘积,则这两个随机变量是统计独立的。

?

注意:如果两个随机变量是独立的,则肯定不相关,但

反之不一定成立。(不独立可能也不相关)
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第 98 页

一、统计技术应用
?

(六)协方差和相关系数
?

协方差:两个随机变量X、Y的协方差为各自随机误差之 积的期望。 Cov(X,Y)=E[(x- ?x)(y- ?y)]
? 协方差是两个随机变量相关性的一种度量,协方差为零表示不

相关。
? 在有限次测量时,协方差的估计值为

1 n S xy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) n ? 1 i ?1
第 99 页

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?

?

1、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投 资项目相对于另一投资项目风险的统计指标,通 俗点就是投资组合中两个项目间收益率的相关程 度,正数说明两个项目一个收益率上升,另一个 也上升,收益率呈同方向变化。如果是负数,则 一个上升另一个下降,表明收益率是反方向变化。 协方差的绝对值越大,表示这两种资产收益率关 系越密切;绝对值越小表明这两种资产收益率的 关系越疏远。 2、由于协方差比较难理解,所以将协方差除以两 个投资方案投资收益率的标准差之积,得出一个 与协方差具有相同性质却没有量化的数。这个数 就是相关系数。计算公式为相关系数=协方差/两个 项目标准差之积。
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第 100 页

一、统计技术应用
?

(六)协方差和相关系数
?

相关系数:两个随机变量的协方差与他们的标准偏差乘 积之比。

Cov( X , Y ) Q( X , Y ) ? ? ( X )? (Y )
?

相关系数估计值
r ( x, y ) ?

? ( x ? x)( y
i ?1 i

n

i

? y)

(n ? 1) s( x) s( y )
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第 101 页

一、统计技术应用
?

(六)协方差和相关系数
?

当两个量均因与同一个量有关而相关时,其协方差可按 照以下方法估算:

?

设xi=F(r), xj=G(r),则xi与xj的协方差为:
u ( xi , x j ) ? ?F ?G 2 u (r ) ?r ?r

第 102 页

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一、统计技术应用
?

将某元件接入正弦交流电源电路,同时测量该元件
两端的交变电位差V和交变电流的幅值I,共测量5

次,测量结果列于下表。计算交变电位差和交变电
流的平均值和之间的相关系数。

第 103 页

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一、统计技术应用
测量次数
1 2 3 4 5 算术平均值 实验标准差

Vk (V)
5.007 4.994 5.005 4.990 4.999

Vk ? V (V)
0.008 -0.005 0.006 -0.009 0

Ik

(mA)
19.663 19.639 19.640 19.685 19.678

I k ? I (mA)
0.002 -0.022 -0.021 0.024 0.017

V ? 4.999V
s(V ) ? 0.0032V

I ? 19.6610mA

mA s( I ) ? 0.0095

第 104 页

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一、统计技术应用
?

协方差
u (V , I ) ?

? (V
k ?1

n

k

? V )(I k ? I )

n( n ? 1) 8 ? 2 ? ( ?5) ? ( ?22) ? 6 ? ( ?21) ? ( ?9) ? 24 ? 0 ? 17 ? ? 10?6 5 ? (5 ? 1) 16 ? 110 ? 126 ? 216 ? ? 10?6 20 ? ?10.8 ? 10?6

?

相关系数
u(V , I ) ? 10.8 ? 10?6 r (V , I ) ? ? ? ?0.36 u(V ) ? u( I ) 0.0032? 0.0095

第 105 页

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测量不确定度概念
?

与测量结果相关联的参数,表征合理赋予被测量
值的分散性。
注:
?

?

(1)此参数可以是诸如标准偏差或其倍数,或说明了置信水准的区 间的半宽度。

?

(2)测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果
的统计分布估算,并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经 验或其它信息的假定概率分布估算,也可用标准差表征。 (3)测量结果应理解为被测量之值的最佳估计,而所有的不确定度 分量均贡献给了分散性,包括那些由系统效应引起的(如,与修正 值和参考测量标准有关的)分量。

?

第 106 页

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测量不确定度概念
?

①与测量结果相联系的参数
? 意指测量不确定度是一个与测量结果在一起的

参数,在测量结果的完整表述中应该包括测量
不确定度。只有测量结果才有不确定度。
? 仪器本身没有不确定度,只有用仪器得到的测

量结果才有不确定度;测量仪器应该用其他的 参数来描述,例如示值误差,或最大允许误差。

第 107 页

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测量不确定度概念
?

②分散性
? 不确定度是一个分散性,因此不确定度表示一

个区间或范围。这是不确定度和误差之间最大
的差别。
? 误差表示一个差值,不确定度表示一个区间或

范围

第 108 页

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测量不确定度概念
?

③ 赋予
? 测量不确定度是测量者赋予测量结果的,因此

测量不确定度与人的经验及知识水平有关。
?

④ 合理
? 定义中的“合理”是指应该考虑各种因素对测

量的影响所作的修正,特别是测量应处于统计

控制过程中。即测量应在重复性条件或复现性
条件下进行。
第 109 页

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测量不确定度概念
?

⑤分散性的表征
? 标准不确定度:用标准偏差“

?” 表示的测量不

确定度,用u表示。
? 扩展不确定度:用标准偏差的倍数或说明了置

信水平的区间半宽度表示的测量不确定度,用U
表示。

第 110 页

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测量不确定度概念
?

⑤分散性的表征
标准偏差 标准不确定度

?
k? U=ku

u

标准偏差的倍数

扩展不确定度

U

说明了置信水准的区间半宽度 置信水平 p 半宽度

UP
置信区间
第 111 页

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测量不确定度概念
?

两种扩展不确定度
? 用标准偏差的倍数表示

ku

U

u u u
U

?此时已知k,而不知道p
? 用说明了置信水平区间的半宽度表示

Up

?此时已知p,而不知道k

Up

置信水平为p的置信区间
第 112 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别1:定义
? 测量误差

? 表明测量结果偏离真值,是一个差值。
? 测量不确定度

? 表明被测量之值的分散性,是一个区间。用标准偏

差,标准偏差的倍数,或说明了置信水准的区间的 半宽度来表示。

第 113 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别2:分类
? 测量误差

? 按出现于测量结果中的规律,分为随机误差和系统

误差两类,它们都是无限多次测量的理想概念。
? 测量不确定度

? 按是否用统计方法求得,分为A类评定和B类评定两

种评定方法。它们都以标准不确定度表示。
? 评定中,一般不必区分其性质。应表述为“由随机

效应或系统效应引入的不确定度分量”
第 114 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别3:可操作性
? 测量误差

? 由于真值未知,往往不能得到测量误差的值。当用

约定真值代替真值时,可以得到测量误差估计值。
? 测量不确定度

? 可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定,

从而可以定量确定测量不确定度的值。

第 115 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别4:数值符号
? 测量误差

? 非正即负,不能用正负(?)号表示。
? 测量不确定度

? 是一个无符号的参数,当由方差求得时,取其正平

方根。

第 116 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别5:合成方法
? 测量误差

? 各误差分量的代数和
? 测量不确定度



? 当各分量彼此独立时用方和根法进行合成,否则应

考虑加入相关项。

第 117 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别6:结果修正
? 测量误差

? 已知系统误差的估计值时,可以对测量结果进行修

正,得到已修正的测量结果。
? 测量不确定度

? 不能用测量不确定度对测量结果进行修正。对已修

正测量结果进行不确定度评定时,应考虑修正不完

善引入的不确定度分量。

第 118 页

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测量不确定度与测量误差的区别
?

区别7:结果说明
? 测量误差

? 客观存在的,不以人的认识程度而转移。误差属于

给定的测量结果,相同测量结果具有相同的误差, 而与得到该测量结果的测量仪器和测量方法无关。
? 测量不确定度

? 与人们对被测量、影响量、以及测量过程的认识有

关。合理赋予被测量的任一个值,均具有相同的测
量不确定度。
第 119 页

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测量不确定度应用领域
?
?

建立国家计量基准和各级计量标准
实验室间比对和能力验证

?
? ? ? ? ?

标准物质的定值
技术规范的编写

科学技术研究和工程领域测量
计量认证、实验室认可、计量确认 测量仪器的校准和检定 商品检验、生产过程的质量控制和保证
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第 120 页

测量不确定度表述符号
? 标准不确定度:用标准偏差表示的测量不确定

度,用u表示。
?

合成标准不确定度:由各不确定度分量合成的标 准不确定度。当测量结果由若干其他量得来时, 合成不确定度由这些量的方差和协方差加权和 的正平方根表示,用uc 表示。 的测量不确定度。扩展不确定度是测量结果的 取值区间的半宽度,可期望该区间包含被测量 值分布的大部分,用U表示。

? 扩展不确定度:由合成标准不确定度的倍数表示

第 121 页

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测量不确定度表述符号
? 扩展不确定度

? 绝对扩展不确定度 ? 相对扩展不确定度
? 标准不确定度

“U” “Urel=U(x)/x”

? 绝对标准不确定度 ? 相对标准不确定度

“u” “urel=u(x)/x”

? 若随即变量x的值有可能为零,则不能用相对形

式表示
第 122 页

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二、评定测量不确定度的一般步骤
?

1、确定被测量和测量方法
?

测量方法包括测量原理、测量仪器及其使用条件、测量程序、数据 处理程序等。

?
?

2、分析并列出对测量结果有明显影响的不确定度的来源
3、建立满足测量不确定度评定所需的数学模型
?

建立数学模型也称为测量模型化,即建立被测量和所有影响量之间 的函数关系。数学模型中应包括所有对测量不确定度有影响的输入 量。
? ?

y=f(x1,x2,…,xn) xi 为输入量,y为输出量
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第 123 页

二、评定测量不确定度的一般步骤
?

4、确定各输入量的标准不确定度u(xi)
?

根据各输入量标准不确定度评定方法的不同,分为标准

不确定度的A类评定和标准不确定度的B类评定。
? A类评定:对测量样本统计分析进行不确定度评定的方法。用A

类评定方法得到的标准不确定度一般用实验标准偏差表征。
? B类评定:用不同于测量样本统计分析的其他方法进行的不确

定度评定的方法。它是基于经验或其他信息的假定概率分布估

算的,也用标准偏差表征。

第 124 页

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二、评定测量不确定度的一般步骤
?

5、确定对应于各输入量的标准不确定度分量ui (y)
?f ui ( y ) ? ci u ( xi ) ? ? u ( xi ) ?xi

?

6、对各标准不确定度分量ui (y)进行合成,得到合成 标准不确定uc。

? ? ?

7、确定被测量Y可能值分布的包含因子 8、确定扩展不确定度U=kuc 9、给出测量不确定度报告
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第 125 页

?

?

灵敏系数是不相关输入量不确定度合成的传 递系数。 相关系数是相关变量关系的度量

第 126 页

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三、测量不确定度的评定方法
寻找不确定度来源 写出数学模型

x1, x2, x3,……xn u(xi) ? ci u(yi)

y = f (x1, x2, x3,……xn) ui2(y) uc2(y) uc(y) ?k
U(y)

依次评定 各输入量 的标准不 确定度
第 127 页

乘灵敏系 平方后后 由方差合 开方后得 乘包含因 数后得到 得到各分 成定理得 到合成标 子后得到 不确定度 量的方差 到合成方 准不确定 扩展不确 分量 度 差 定度
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三、测量不确定度的评定方法
?

(一)分析不确定度来源
? 1、被测量的定义不完全

? 2、复现被测量的测量方法不理想
? 3、被测量的样本可能不完全代表定义的被测量 ? 4、对环境条件的影响认识不足 ? 5、人员的读数偏差 ? 6、测量仪器计量性能的局限性(如分辨力等)

第 128 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(一)分析不确定度来源
? ? ? ? ?

7、测量标准或测量设备不完善

8、数据处理时所引用的常数或其他参数不准确
9、测量方法、测量系统和测量程序不完善 10、相同条件下,被测量重复观测的随机变化 11、修正不完善

第 129 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

例:用比较法校准一台电压表在1MHz频率时的1V
电压示值。
标准表

注意事项: 开关 信号源 1、在分析测量不确定度的来源时,应充分考虑各 可能的不确定度来源: 项不确定度分量的影响,不遗漏,不重复。 被检表 1、标准表不准引入的不确定度; 2、标准不确定度分量的评定,可以采用A类评定方 2、信号源两次读数间的漂移引入的不确定度; 法,也可采用B类评定方法,采用何种评定方法根 3、开关两路的不一致性引入的不确定度; 据实际情况选择。 4、各种随机因素引入的不确定度; 3、采用A类评定方法时,如果怀疑测量数据有异常 5、波形失真引入的不确定度; 值,应按统计判别准则判断并剔除测量数据中的异 6、被检表的分辨力; 常值,然后再评定其标准不确定度。 7、其他。 4、若对测量结果进行修正,修正值不应记在不确 定度内,但应考虑由修正不完善引入的不确定度。 www.casic203.com 第 130 页

三、测量不确定度的评定方法
?

(二)建立测量的数学模型
?

测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、引用的

量、影响量等有关量之间的函数关系。
?

当被测量Y由N个其它量X1,X2, ·,XN的函数关系确定 · ·

时,被测量Y的数学模型为:Y=f(X1,X2, ·,XN) · ·
?

输出量Y的估计值 y与各输入量Xi的估计值的函数关系为:

y=f(x1, x2, ·, xN) · ·

R=I/V I、V为输入量, R为输出量
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第 131 页

三、测量不确定度的评定方法
?

数学模型的输入量
? ? ? ?

当前直接测量的量;

由以前测量获得的量;
由手册或其它资料得来的量; 对被测量有明显影响的量。

如数学模型R=R0[1+α(t-t0)]中,温 度t是当前直接测量的影响量,R0 可以是以前测得的,温度系数α是 从手册中查得的。
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第 132 页

三、测量不确定度的评定方法
?

数学模型是测量不确定度评定的依据,但是数学模
l = l s+ ? l l = l s+ ? l + l s? s? s 型(或者说是测量模型)可能与计算公式不一致;

?

数学模型不是唯一的,如果采用不同的测量方法和
测量程序,就可能有不同的测量模型;
P =IV P =V2/R

? ?

数学模型可以很复杂,也可以很简单; 数学模型不一定是完善的,它与人们的认识程度有 关;

第 133 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

数学模型与要求的测量准确度高低有关,如果测量数据表明
数学模型中未考虑某个有明显影响的影响量时,应在模型中

增加输入量,直至测量结果满足测量准确度要求为止;
? ?

对于同一个数学模型,测量结果的计算方法有所不同; 理论上数学模型可由测量原理导出,但实际却不一定都能做 到,有时甚至根本无法写出数学模型。

第 134 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

测量模型(Measurement Model)
?

在测量中包含的所有已知量间的数学关系
? 注1:测量模型的通用型式: h

(Y,X1,X2, ·,XN) = 0,其中 · ·

测量模型中的输出量Y是被测量,其量值是由测量模型中的输入 量X1,X2, ·,XN的有关信息推断得到的。 · ·
? 注2:在有两个或多个输入量的复杂情况下,测量模型包含一个

以上方程。
?

测量函数(Measurement Function)
?

当用测量模型中输入量的已知量值计算的值是测量模型中
输出量的测得值时各量的函数关系。

第 135 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

用测长仪比较测量法测量量块的长度
?l

= ls+ ? l + ls?s? s- ls??

?

用比较法校准电压表在1V的电压示值
? y=x+(

? y1+ ? y2+???+ ? y6 )

? 标准表不准引入的不确定度; ? 信号源两次读数间的漂移引入的不确定度; ? 开关两路的不一致性引入的不确定度; ? 各种随机因素引入的不确定度,即测量数据的重复性;

? 波形失真引入的不确定度;
? 被检表的分辨力.
第 136 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

用低中频替代法测量衰减器的衰减量
?

y=20lg(D1/D2)+( ? y1+ ? y2+???+ ? y6 )
? 感应分压器分压系数不准; ? 感应分压器负载效应; ? 混频器非线性; ? 噪声引起的系统效应; ? 两次读数间信号源的漂移; ? 泄露; ? 失配; ? 各种随机因素(包括连接重复性)的影响,即测量数据

的重复性。
第 137 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(三)标准不确定度分量的评定
? 分为A类评定方法和B类评定方法

? 标准不确定度A类评定:用对测量样本统计分析进行

不确定度评定的方法称为不确定度的A类评定,用A 类评定方法得到的标准不确定度称A类标准不确定度。 用实验标准偏差表征。
? 标准不确定度B类评定:用不同于测量样本统计分析

的其他方法进行不确定度评定的方法称不确定度的B 类评定。
第 138 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

1、标准不确定度分量的A类评定方法
?

贝赛尔公式法

?
?

极差法
较差法(阿仑方差)

?
?

最小二乘法预期值的实验标准偏差
合并样本实验标准偏差(组间标准偏差)

第 139 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(1) 基本评定流程
?

对被测量X作n次独立重复测量,得到的测量数据x1,

x2,…,xn;
?

计算算术平均值;

?
?

计算单次测量结果xi的实验标准偏差;
计算A类标准不确定度(自由度为n-1):

u( x) ? s( x) ? s( xi ) / n
第 140 页

_

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三、测量不确定度的评定方法
?

(1) 基本评定流程
?

单次测量值作为测量结果

u A ? s( xi )
?

n次测量的算术平均值作为测量结果
若测量仪器比较稳定,通过 过去测量所得的单次实验标 准偏差可以保持相当长时间 m次测量算术平均值作为测量结果 不变,则在今后一段时间内 可以使用该数据。 n

u A ? s ( x) ? s ( x) / n

_

?

s ( x ) ? s ( xi ) / m ?
第 141 页

_

? (x
i ?1

i

? x) 2

m(n ? 1)
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三、测量不确定度的评定方法
?

(2) 测量过程的A类标准不确定度的评定
?

对于一个测量过程,如果采用核查标准核查的方法使

其处于统计控制状态,则该测量过程的实验标准偏差
为合并样本标准偏差。自由度为k(n-1)。
? 若每次测量时核查次数n相同,每次核查的样本标准偏差为si,

共核查k组,则合并样本标准偏差为:
?

在此测量过程中,测量结果的A类标准不确定度

uA ? sp / n
第 142 页

sp ?

si2 ?
i ?1

k

k
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三、测量不确定度的评定方法
?

(3) 规范化测量时A类标准不确定度的评定
?

在规范化的常规测量中,若在重复性的条件下对被测

量作n次独立观测,并且有m组这样的测量结果,则可
用合并样本标准差sp(xk)进行计算。自由度为m(n-1)。
s p ( xk ) ?

??
j ?1 k ?1

m

n

( x jk ? x j ) 2

m(n ? 1)

?

对每个测量结果 x j 的A类标准不确定度为
u A (x j ) ? s p / n

第 143 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

自由度:在方差计算中,和的项数减去对和的限制数,用? 表
示;自由度用于表明所得标准差的可靠程度。
? ? ? ?

用贝赛尔公式计算实验标准差时,自由度?=n-1; 被测量为t个,?= n-t;再有r个限制条件,则 ?=n-t-r; 对于合并样本标准差,其自由度为各组自由度之和m(n-1);

在用最小二乘法时,n个观测数据,拟合直线斜率b,截距a有两个限制
条件,此时?= n-2。

?

不论用单次测量值还是用n次测量观测 单次测量或n次测量的平均值作为结果时的自由度? 列的算术平均值作为测量结果,它们的 自由度是相同的,均为n-1。 自由度往往用于求包含因子kp,如只评 定U ,而不是Up,则不需计算。

第 144 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

2、标准不确定度分量的B类评定方法
?

用非统计方法进行评定,用估计的标准偏差表征。

?

(1) 基本评定流程
? ? ?

根据有关信息和经验,判断被测量的可能区间(-a,a);

假设被测量的概率分布;
根据被测量的概率分布和要求的置信水平P估计置信因子k, 则B类标准不确定度为:ub=a/k。
?a为被测量可能值的区间半宽度,k为置信因子。

第 145 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

①B类评定时可能的信息来源
?

以前的观测数据;

?
? ?

对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验;
制造厂(生产部门)提供的技术说明书; 校准证书、检定证书、测试报告或其他文件提供的数据、 准确度等别和级别; 手册和某些资料给出的参考数据及其不确定度;

? ?

同行共识的经验。

第 146 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

② B类评定时概率分布的假设和k值的确定
? 信息来源于检定证书或校准证书

? 证书给出U(x)和

k :u(x)= U(x)/k;
:根据规定的置信概率p和被测量x的估

? 证书仅给出Up(x)

计分布求出 k 值;
? 若证书已给出被测量

x 的分布,则取该分布对应的k值。

若证书未给出分布,则JJF-1059规定可以按正态分布处

理。
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第 147 页

三、测量不确定度的评定方法
?

② B类评定时概率分布的假设和k值的确定
? 信息来源于其他各种资料或手册等

? 通常得到的信息是被测量可能分布的极限范围,即输入

量 x 可能分布的半宽a。此时输入量x 的标准不确定度可 以表示为: u(x)= a/k ;
? 包含因子

k 的取值与输入量 x 的分布有关。

因此不确定度的B类评定最关键: 如何确定输入量 x 的分布。
第 148 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

② B类评定时概率分布的假设和k值的确定
?

输入量分布的估计
? 不同情况下输入量分布的估计可以由文件JJF1059的附录B中得到。 ? 对于附录中没有提到的情况,或没有任何关于分布情况的信息,通

常可以按矩形分布处理。
? 不确定度评定的原则之一是只能高估而不能低估每一个不确定度分

量。因此对于比较重要的测量,或比较主要的不确定度分量,应该 采用比较保守的分布,即 k 值比较小的分布。

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三、测量不确定度的评定方法
?

② B类评定时概率分布的假设和k值的确定
? 包含因子k

的确定

已知 x 的分布后可以知道 概率密度分布函数 f (x)

V ( x) ? ? ( x ? ? ) 2 f ( x) d x
??

?

u ( x) ? V ( x) ?
第 150 页

a k

由方差可以得到k值
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三、测量不确定度的评定方法
?

② B类评定时概率分布的假设和k值的确定

? 常见分布的包含因子k a. 重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布; b. 被测量Y用扩展不确定度UP给出,而其分布又没有特殊指明时,估计值Y的分布; a a a. 相同修约间隔给出的两独立量之和或差,由修约导致的不确定度; 矩形分布 U 形分布 c. 被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中,相互独立的分量ui(y)较多,它们之间的大小 b. 因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度; k? 也比较接近时,估计值Y的分布; c. ? 2 k 用替代法检定标准电子元件或测量衰减时,调零不准导致的不确定度; 3 d. 被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中相互独立的分量ui(y)中,存在两个界限值接近 d. 两相同均匀分布的合成。——三角分布 a. 数据修约导致的不确定度; 的三角分布,或4个界限值接近的均匀分布; b. 数字式测量仪器的量化误差导致的不确定度; e. 被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中相互独立的分量ui(y)中,量值较大的分量(起 c. 测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度; 决定作用的分量)接近正态分布时。 d. 按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度; 正态分布 三角分布 e. 平衡指示器调零不准导致的不确定度。——矩形分布 k ?3 a.度盘偏心引起的测角不确定度; k? 6 b. 正弦振动引起的位移不确定度; c. 无线电中失配引起的不确定度; a d. 随时间正余弦变化的温度不确定度。? u ——U形分布

k

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三、测量不确定度的评定方法
?

③ B类标准不确定度的自由度
1 ?u( xi ) ?2 vi ? [ ] 2 u ( xi )
?

?u(x)/u(x)为所估计的标准不确定度的相对标准不确定度(即标
准差的相对标准差),它可根据经验按信息来源判断。

?u(x)/u(x)
可靠程度

0 100% ∞

10% 90% 50

15% 85% 22

25% 75% 8

50% 50% 2

71% 29% 1

?i
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标准不确定度的B类评定举例
?

例1:校准证书上指出标称值为1kg的砝码质量
m=1000.00032g,并说明按包含因子k=3给出的扩展不确定

度U=0.24mg 。
?

则该砝码的标准不确定度为:u(m)=0.24mg/3=80?g

?

例2:校准证书上指出标称值为10?的标准电阻器的电阻RS 在23 ? C时为:RS=(10.00047 ? 0.00013) ? ,同时说明置 信概率p=99%。
?

由于U0.99=0.13m?,查表得kp=2.58,所以其标准不确定度为: u(RS)= 0.13m ? /2.58=50 ??
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第 153 页

标准不确定度的B类评定举例
?

例3:机械师在测量零件长度时,估计其长度以50%
的概率落于10.07mm至10.15mm之间,并给出了长

度l=(10.11 ? 0.04)mm。
?

这说明0.04mm为p=50%的置信区间半宽度,在接近正态

分布的条件下,查表得k50=0.67,则长度l 的标准不确定
度为:u(l)=0.04mm/0.67=0.06mm

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标准不确定度的B类评定举例
?

例4:设计手册中给出的膨胀系数 ?20= 16.52 ? 10-6/
? C,但指明最小可能值为16.40?10-6/ ?C,最大可

能值为16.92?10-6 / ?C。这时半宽度为:
?

a =(16.92-16.40) ?10-6 ?C / 2=0.26 ?10-6 / ?C

?
?

假设为均匀分布,取k=1.73,则
u(?20)= a/1.73=0.15 ?10-6 / ?C

第 155 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

1、测量不确定度传播率
? 当被测量Y 的测量结果y

的数学模型为线性模型时,合成标准不

确定度可按下式计算:

?f ?f u ( y ) ? ?? ? ? u ( xi , x j ) i ?1 j ?1 ?xi ?x j
n n 2 c n ?1 n ? ?f ? 2 ?f ?f ? ? ? ? u ( xi ) ? 2? ? ? r ( xi , x j )u ( xi )u ( x j ) i ?1 ? ?xi ? i ?1 j ?i ?1?xi ?x j n 2

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

2、在各输入量之间的相关性可以忽略的情况下(相关 系数为0时)
N n ?f 2 2 2 2 u ( y) ? ?[ ] u ( xi ) ? ? ci ui ( xi ) ? ? ui2 ( y) i ?1 ?xi i ?1 i ?1 N 2 c

?

3、在所有输入量之间都相关,且相关系数为1时
? ?f ? u ? ?? u ( xi ) ? ? i ?1 ?xi ?
n 2 c 2

?f uc ? ? u ( xi ) i ?1 ?xi
n

第 157 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

4、常用的两种线性模型
?①

当 y=A1x1+A2x2+……+Anxn ,且各输入量之间不相关时:

uc ( y) ?
?②

?A u
i ?1 2 i

n

2

( xi )



p p y ? cx1p1 x2 2 ? ? ? xn n ,且各输入量之间不相关时:
n

2 u c rel ( y) ?

?
i ?1

n

2 pi2 u rel ( xi ) ?

?
i ?1

u i2rel ( y)

uc y) ( ? y

[ pi u(xi) xi ]2 / ?
i ?1

N

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三、测量不确定度的评定方法)
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

5、输入量间相关时的处理方法
? (1)如果测量不确定度评定中所采用的输入量可以选择,尽量采

用不相关的输入量。
? (2)采用合适的测量方法和测量程序,尽可能避免输入量估计值

之间的相关性。
? (3)如果已知两输入量之间存在相关性,但相关性很弱,即相关

系数的绝对值较小,忽略其相关性。

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

5、输入量间相关时的处理方法
? (4)如果相关的两个输入量本身在合成标准不确定度中不起主要

作用,则忽略其相关性。
? (5)如果相关性不可忽略,则假定相关系数为1。

? (6)如果两影响量之间为反相关,则也可以利用相关性来减小合成

标准不确定度。

第 160 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

5、输入量间相关时的处理方法
? 根据方差合成定理
?或
2 2 2 2 若有部分相关,则先将强相关各 uc ? c1 u 2 ( x1 ) ? c2 u 2 ( x2 ) ? c3 u 2 ( x3 )

2 2 2 2 uc ? u1 ? u2 ? u3

? 当x1、x2之间存在相关性时

分量采用线性相加的方法合成, 然后再与不相关分量采用方差相 加方式合成。

2 2 2 2 uc ? u1 ? u2 ? u3 ? 2 u1u2 r12

? 当x1、x2 、x3之间存在相关性时
2 2 2 2 uc ? u1 ? u2 ? u3 ? 2 u1u2 r12 ? 2 u2u3 r23 ? 2 u1u3 r13

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
?

6、对于非线性模型,不确定度合成方法为
2 u c ( y) ?

?

? ?f ? ? i ?1 ? ?xi
n

? 2 ? u ( xi ) ? ? ?

2

??
i ?1

n

? ? 2 ?1 ? ? f ? ? j ?1 2 ? ?xi ?x j ?
n

2 ? ? ?f ?3 f ? 2 ? ? ? u ( xi ) u 2 ( x j ) ? ?xi ?xi ?x 2 ? j ? ?

? 是否要处理高阶项,关键是要判断合成方差表示式中的高阶项

是否可以忽略。
? 如果高阶项的大小与一阶项相近,或甚至远大于一阶项,此时

高阶项变得不可忽略而必须处理高阶项。

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三、测量不确定度的评定方法
?

(四)合成标准不确定度的计算
? 7、合成标准不确定度的有效自由度

? 韦尔奇-萨特斯韦特公式

veff

uc4 ( y) uc4 ( y) ? N 4 4 ? N 4 ci u ( xi ) ui ( y) ? ? ? v i ?1 i ?1 i i

?eff 越大表明评定的合成标
准不确定度uc(y)越可靠

? uc(y):合成标准不确定度;u (xi)

:各输入量的标准不确定度 u (xi)的自由度
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? ui (y):各输出量的标准不确定度;?i :

第 163 页

合成标准不确定度举例
?

被测量P是输入量电流 I 和温度t的函数,其数学模型为:
P=C0I2(t-t0),C0和t0是已知常数且不确定度可以忽略。要求

给出测量结果的合成标准不确定度的方法。
?

(1) 数学模型

P ? C0 I 2 (t ? t0 )
?

I ? VS / RS
2 t ? ?? 2 (t ) RS ? t0

(2) 输入量I 的标准不确定度
? u (V ) ? ? u ( RS ) ? u( I ) ? ? S ? ?? ? I VS ? ? RS ? ?
2 2

第 164 页

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合成标准不确定度举例
?

(3) 输入量 t 的标准不确定度
2(t ? t 0 ) ?t 2 ? 2?? (t ) RS ? ?? ? (t )
2 2

2(t ? t 0 ) ?t ? 2?? 2 (t ) RS ? ?RS RS

2 ? ?t ? 2 ? ?t ? 2 u 2 ( RS ) ? 2 ? u (? ) u (t ) ? ? ? u ( ? ) ? ? ? u ( RS ) ? 4(t ? t 0 ) ? 2 ? ? ?? ? ?RS ? RS ? ? ? ? ?

?

(4) I与 t 的协方差
? 因为I与

t 都与RS有关,故I与 t 的两个标准不确定度分量是相关

的,其协方差可据下式计算: ? VS ? 2 I (t ? t0 ) 2 ?I ?t 2 2 2 u( I , t ) ? u ( RS ) ? ?? 2 ? ? 2?? (t ) RS u ( RS ) ? ? u ( RS ) 2 ?R S ?RS RS ? RS ?

?

?

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合成标准不确定度举例
?

(5) 测量结果P的合成标准不确定度
? 由于 u(C0 ) ? u(t0 ) ? 0

?P ?P ? ?P ? ? ?P ? 2 uc ( P) ? ? u( I )? ? ? u(t )? ? 2 u( I , t ) ?I ?t ?I ?t ? ? ? ?
2 2

uc ( P) 4u 2 ( I ) u 2 (t ) 4u ( I , t ) ? ? ? P I2 (t ? t 0 ) 2 I (t ? t 0 )

? 式中
? u (V ) ? ? u ( RS ) ? u( I ) ? ? S ? ?? ? I ? VS ? ? RS ?
2 2
2 2

2 ? ?t ? 2 ? ?t ? 2 u 2 ( RS ) ? 2 ? u (? ) u (t ) ? ? ? u ( ? ) ? ? ? u ( RS ) ? 4(t ? t 0 ) ? 2 ? ? ?? ? ?RS ? RS ? ? ? ? ?

? VS ? 2 I (t ? t0 ) 2 ?I ?t 2 2 2 u( I , t ) ? u ( RS ) ? ?? 2 ? ? 2?? (t ) RS u ( RS ) ? ? u ( RS ) 2 ?R S ?RS RS ? RS ?

?

?

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三、测量不确定度的评定方法
?

(五)扩展不确定度的确定
?

扩展不确定度U= kuc,因此得到扩展不确定度U的关键

是求出包含因子k;
?

得到包含因子 k 的前提是能估计出被测量y 的分布,从

而由规定的置信概率 p= 95% 并根据估计得到的分布求
出包含因子k;
?

由于被测量受许多因素的影响,被测量的分布与各分量 的大小和分布有关。

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三、测量不确定度的评定方法
?

(五)扩展不确定度的确定
?

无论用何种方法对被测量分布的进行估计,估计的结论

只有三种情况
? 无法判断被测量的分布 ? 被测量接近于某种非正态分布 ? 被测量接近于正态分布
?

确定包含因子 k 的方法将与估计得到的被测量分布结论 有关

第 168 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

1、无法判断被测量的分布
?

由于无法根据分布求出包含因子k的数值,因此只能假

定一个k值。通常取k=2,于是最后给出的结果是:
?U

= 2 uc,k =2; y 的分布确定的,故此时的扩展不

? 由于包含因子不是由被测量

确定度只能用U表示。
?

最后给出的关于测量不确定度的信息为: U 和 k=2

第 169 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

2、被测量接近于某种非正态分布
?

当被测量接近矩形分布时,得到
? k95=1.65, k99=1.71

?

当被测量接近三角分布时,得到
? k95=1.90, k99=2.20

?

当被测量接近梯形矩形分布时,包含因子 k 的数值与梯形 的角参数 ? 有关

?

最后给出的关于测量不确定度的信息为
? Up

, kp ,以及被测量 y 的分布类型
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第 170 页

三、测量不确定度的评定方法
?

3、被测量接近于正态分布
?

当有效自由度?eff 比较大,例如不小于 15 时,包含因子的

数值与 2 相差不大。在此情况下可以不必考虑自由度而直
接取包含因子k=2 ,此时U= 2uc 。
?

最后给出的关于扩展不确定度的信息为:
? U,k
? 同时还可以进一步说明,由于被测量接近正态分布,且有效自由

度足够大,故置信概率约为95%。

第 171 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

3、被测量接近于正态分布
? 当有效自由度 eff 不够大时,应该由

?

t 分布得到包

含因子 k 的数值。此时
? kp=tp(?eff )

,Up= kpuc。

? 最后给出的关于扩展不确定度的信息为:

? Up

,kp,?eff (或指出被测量接近正态分布)。

第 172 页

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三、测量不确定度的评定方法
?

当国际上相关组织对某一领域的不确定度评定有规
定时,也可以按相关组织的规定取包含因子之值。
?

例如,在化学分析领域,可以直接规定取 k =2,而不必再
对被测量的分布进行判定。

?

对于检测结果的不确定度评定,一般直接取包含因
子k = 2 。

第 173 页

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三、测量不确定度的评定方法
合成标准不确定度 被测量接近正态分布时 计算有效自由度? eff 选定包含因子k 一般为2~3
?eff比较大时 ?eff不够大时

无法判断被测 量的分布时

当 可 以 估 计 uc(y) 接 近某种分布时,乘 以对应的包含因子

取包含因子 k=2 给出U和 k 置信概率约为 95%
第 174 页

按?eff和P查t 分布 表,包含因子 kP= tP(?eff)
计算UP=kPuc(y)

计算U=kuc(y) 给出U,指明k

给出UP和P值 可知被测量 y 的分布类型

给出UP和kP及?eff

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三、测量不确定度的评定方法
?

例:已知某量含不相关的不确定度分量,其值与自由度分
别为u1= u2 = u3 = u4=10, ?1 =?2 =?3 =?4 =5。 计算 扩展不确定度。 解:由于各分量不相关,故
uc ? u ? u ? u ? u ? 20
2 1 2 2 2 3 2 4

?

? eff ?

u c4 u

?

据?eff,假设P=95%,查t分布表得:tP=2.09,故扩展不 确定度为:UP= tP?uc=42
U=42 , tP=2.09. ?eff =20。

?1

4 1

?

u

?2

4 2

?

u

4 3

?3

?

u

?4

4 4

? 20

?

或:U= 2?uc=40

U=40 , k=2. 概率接近95%。
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第 175 页

第三节
测量结果的处理和报告

第三节 测量结果的处理和报告
?

数字修约
? 有效位数

? 通用的数值修约规则

?

测量结果的报告和表示
? 报告最终测量结果时的有效位数
? 合成标准不确定度和扩展不确定度的选用

? 测量结果的不确定度应报告或说明的内容

第 177 页

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一、数字修约(测量数据的位数)
?

测量和运算时涉及的数值有两种:准确数值与有
效数值
? ?

准确数值有效数字位数无限多,即需要几位就是几位; 有效数值与测量时的具体情况相关:
? 其最后一位是欠准确数字; ? 在测量记录时只应保留一位是欠准确数字 – 如某物体质量为1.345g,说明该物体的准确度为千分之一,与1.3450g的意 义不同

第 178 页

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一、数字修约(有效数字)
?

除了在数字前面起定位作用的“0”之外,含有多
少个数字,就是几位有效数字;

?

小数点的位置不影响有效数字的位数;
?

如20.0987和200.987及0.00200987有效位数相同

?

以“0”结尾的正整数,其有效数字位数不同,则 测量准确度不同;
?

如“345000 m”,如测量准确度百分之一,则为

3.45×105m,有效数字为3位;如测量准确度千分之一,
则为3.450×105m ,有效数字为4位。
第 179 页

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一、数字修约(数据修约规则)
?

修约区间、整数倍、修约数
?

已知数为13.342,修约区间为0.1,则修约数为13.3;修 约区间为0.01,则修约数为13.34; 修约区间为0.1时,整数倍为12.1、12.2、12.3、12.4等; 修约区间为0.02时,整数倍为12.12、12.14、12.16、

?

12.18等;
?

原则:四舍六入,逢五取偶
? ? ?

0.358 ? 5.375 ?

0.36, 0.361 ?

0.36, 5.325 ?

5.32 ;

5.38, 5.32501 ? 5.33 , 11.5×10-5 ? 12× 10-5;
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5.37349?5.3735?5.374 (不能连续修约), 5.37349 ?5.373。

第 180 页

一、数字修约(测量结果的位数)
?

测量结果的末位应修约到与其不确定度的末
位相对应
? x=100.003675,uc=0.0032
? 测量结果应修约为:x=100.0037

? x=6.3250g,uc=0.25g



? 测量结果应修约为:x=6.32g

第 181 页

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一、数字修约(测量结果的位数)
?

测量不确定度的有效位数一般为1~2位;
? 当保留两位有效数字时,按不为零即进位;

? 当保留一位有效数字时,按三分之一原则修约。

? 0.001001:保留两位有效数字0.0011,保留一位有效

数字0.001;
? 0.001335:保留两位有效数字0.0014,保留一位有效

数字0.002。

第 182 页

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一、数字修约(计算过程中的有效位数)
?

加减运算
? 以小数点后位数最少的那一项为参考

? 10.2838+15.01+8.69572=33.99
? 18.3 ?

+1.4546 ? +0.876 ? =20.6 ?

?

乘除运算
? 乘除运算时以有效位数最少的那一项为参考

? 1.1m×0.3268m×0.10300m=0.037m3 ? 517.43×0.279/4.08=35.4
第 183 页

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一、数字修约(计算过程中的有效位数)
?

乘方及开方运算
? 乘方及开方运算结果的有效数字与原数字有效

数字位数相同。
? 1.3692=1.874;

(45.67)1/2 =6.758; 1.12=1.2。

?

对数运算
? 对数运算结果的小数点后的位数与原数据有效

数字相同。
? lg(1234)=3.0913;
第 184 页

lg(902.4) =2.9548
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一、数字修约(练习)
?
?

lg(123.4)=2.0913
将0.00012350修约为三位有效数字为

1.24×10-4
?

17.6666-3.666+0.22的计算结果为14.22 。

?
?

2.0×103+5000/2.0的计算结果为4.5×103
(1.5)2的计算结果为 2.2

第 185 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

完整的测量结果的报告内容
? 被测量的最佳估计值

? 通常由多次测量的算术平均值给出或由函数式计算

得出。
? 描述测量结果分散性的值——测量不确定度

? 在报告测量结果时,应对测量不确定度有充分详细

的说明,以便正确利用该结果;
? 测量不确定度可用合成标准不确定度和扩展不确定

度,或者它们的相对形式表示。
第 186 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

合成标准不确定度的使用情况
? ? ?

基础计量学研究 基本物理常量测量 复现国际单位制单位的国际比对。

?

扩展不确定度的使用情况
?

除上述情况外,尤其是工业、商业,以及涉及安全和健 康等方面的测量时,均使用扩展不确定度;

?

扩展不确定度可以表明测量结果所在的一个区间,以及
在该区间的可信程度,它比较符合人们的习惯。

第 187 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度
时,应注意:
?
?

明确说明被测量的定义;
给出被测量的估计值及其合成标准不确定度,必要时给

出有效自由度;
?

必要时可给出相对合成标准不确定度。

第 188 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

测量结果及其合成标准不确定的报告形式
? ?

1、ms=100.02147g,uc(ms)=0.35mg;

2、ms=100.02147(35)g,括号中的数为合成标准不确定
度uc的值,其末位与测量结果的末位相对应;

?

3、ms=100.02147(0.00035)g,括号中的数为合成不确定 度uc的值,与说明的测量结果有相同的测量单位;

第 189 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

当用扩展不确定度报告测量结果的不确定度时,
应注意:
?
? ? ?

明确说明被测量的定义;
给出被测量的估计值及其扩展不确定度;

必要时可给出相对扩展不确定度;
对于U要给出饱含因子k值,必要时说明扩展不确定度 的自由度(即合成标准不确定度的有效自由度);

?
第 190 页

对于Up要详细说明获得Up的P值、 kp值、?eff值。
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二、测量结果及其不确定度的表示
?

当用U给出时,表述方式为
? ?

1、ms=100.02147g,U=0.70mg,k=2; 2、ms=(100.02147±0.00070)g,k=2。

?

当用Up给出时,表述方式为
? ? ?

1、ms=100.02147g, U0.95=0.79mg,veff=9; 2、ms=(100.02147±0.00079)g, veff=9,括号内第二项为U0.95之值; 3、 ms=100.02147(79)g, veff=9,括号内为U0.95之值,其末位与测量 结果的末位相对齐; 4、ms=100.02147(0.00079)g,veff=9,括号内为U0.95之值, 与前面测 量结果有相同测量单位。

?

第 191 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

相对扩展不确定度表述方式举例
? ? ?

1、ms=100.02147g, U=0.79?10-6, k=2;

2、 ms=100.02147g, U95rel =0.79?10-6, veff=9 ;
3、ms=100.02147(1±0. 79 ?10-6)g, P=95% ,veff=9,括 号内第二项为相对扩展不确定度Urel 。

第 192 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

给出测量不确定度时,应按下列术语和符号
?

a. 标准不确定度,用符号“u” 表示;

?
? ? ?

b. 合成标准不确定度,用符号“uc”表示;
c. 扩展不确定度,用符号“U ” 表示;

d. 包含因子,用“k”表示;
e. 置信水平,用“P”表示。

第 193 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

最终报告测量结果时,应按以下规定
?

a.单独表示测量不确定度时,不能带有“?”号;
? 例如,U= ?

25mV;U= ? 2.6%都是错误的。

?

b.测量不确定度取1~2位有效数字;
?

例如,U=25.6mV是错误的,应为U=26mV。

?

c.不确定度的数字可采用规定的修约规则,必要时也可 将后面的数字舍去,末位进1;
?

例如,测量不确定度为 26.2mΩ,取二位有效数字时,
U=26mΩ;必要时,末位进1,取U=27mΩ.

第 194 页

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二、测量结果及其不确定度的表示
?

2.最终报告测量结果时,应按以下规定
?

d.测量不确定度的末位应与其测量结果的末位对齐;
? M=100.021g,U=0.0226g,是错误的,应为U=0.023g; ? D=2.63%,U=0.5%,应将测量结果进行修约为D=2.6%。

?

e.测量不确定度的计量单位一般应与其测量结果的计量

单位一致;可采用百分数或10的负幂次方表示相对测量
不确定度(没有计量单位),符号Ur或Urel;
? M=100.021g,U=0.023g;

? f=10.0000006MHz,Ur=5 ?
?
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10-8;

?f=398kHz,Ur=1.5%。
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谢谢!

第 196 页

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