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辽宁省沈阳二中2017届高三上学期期中考试试题 数学理 Word版含答案.doc


沈阳二中 2016—2017 学年度上学期期中考试 高三(17 届)理科数学试题
命题人:数学组 说明:1.测试时间:120 分钟 审校人:数学组 总分:150 分

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (60 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的)

1.设集合 A={x|x≤2}, A.[1,2] B.[0,2]

,则 A∩B=(

) D.[﹣1,0) ) D.15 ) D.9

C. (1,2]

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=25,则 a3 的值为( A.2 B.5 C.10

3.已知 =(2,1) , =(3,m) ,若 ⊥( ﹣ ) ,则| + |等于( A.3 B.4 ) C.5

4.下列关于函数 y=ln|x|的叙述正确的是( A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 5.已知双曲线 C: ﹣

B.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线 y=﹣1 所围成的三角形 ) C. D.

的面积为 4,则双曲线 C 的离心率为( A. B.

b ?6.设向量 a,b,c 满足 a ? b ? 1 , a ?
A.2 B. 3

?

?

? ?

1 ? ? ? ? ? , ? a ? c , b ? c ?? 60? 则 c 的最大值等于( ) 2
C. 2 D.1

7.若不等式组

2 2 表示的区域 Ω,不等式(x﹣ ) +y

表示的区域为 Γ,向

Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( A.114 B.10 C.150

) D.50 ,

8.已知函数 f(x)=2cos(ωx﹣φ) (ω>0,φ∈[0,π])的部分图象如图所示,若 A( ) ,B( , ) .则下列说法错误的是( )

A.φ=

B.函数 f(x)的一条对称轴为 x= 个单位

C.为了得到函数 y=f(x)的图象,只需将函数 y=2sin2x 的图象向右平移 D.函数 f(x)的一个单调减区间为[ 9.若 x, y , z 均为正实数,则 , ] )

xy ? zy 的最大值( x ? y2 ? z2
2

A.

B.

2 3
+x)=﹣f(

C.l ﹣x),且 f(

D. +x)=f( ﹣

10. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)满足:f( x),则 ω 的一个可能取值是( A.2 C.4 )

B.3 D.5

11.抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点,若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a(a>0) ,n=|MF|+|NF|,则 2a﹣n 等于( A.2 D.5
3 2 12. 已知函数 f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R) ,g(x)=﹣x + x +2x﹣6,g(x)在[1,4]上的



B.3

C.4

最大值为 b,当 x∈[1,+∞)时,f(x)≥b 恒成立,则 a 的取值范围(



A.a≤2 D.a≤0

B.a≤1

C.a≤﹣1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)= ,则 f(f(﹣1) )等于 . .

14. 等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于

15. 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(4a﹣3c)cosB=3bcosC, 若 a,b,c 成等差数列,则 sinA+sinC= .

16.如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为 AD 上的两点,已知∠CAD=θ,∠CED=2θ,∠ CFD=4θ,AE=600,EF=200 ,则 CD= .

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinC= (1)若 a+b=5,求△ABC 面积的最大值;
2 2 (2)若 a=2,2sin A+sinAsinC=sin C,求 b 及 c 的长.



18. (本小题满分 12 分)
2 设 f ( x) ? (log2 x) ? 2a log2 x ? b( x ? 0) .当 x ?

1 时, f ( x) 有最小值-1. 4

(1)求 a 与 b 的值; (2)求满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) A 3Acosx, cos2x?(A>0),函数 f(x)=m· 已知向量 m=(sinx,1),n=? n 的最大值为 6. 2 ? ? (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 5π? 1 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? ?0,24?上的值域. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}中,a1=2,且 a2+1,a4+1,a8+1 成等比数列. (1)求数列{an}通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,求适合方程 b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数 n 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的焦距为 2 ,其上下顶点分别为 C1,C2,点 A(1,

0) ,B(3,2) ,AC1⊥AC2. (1)求椭圆 E 的方程及离心率; (2)点 P 的坐标为(m,n) (m≠3) ,过点 A 任意作直线 l 与椭圆 E 相交于点 M,N 两点, 设直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列,探究 m,n 之间是否满足某种数量关系,若 是,请给出 m,n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)

x 已知 x∈(1,+∞) ,函数 f(x)=e +2ax(a∈R) ,函数 g(x)=| ﹣lnx|+lnx,其中 e 为自

然对数的底数. (1)若 a=﹣ ,求函数 f(x)的单调区间;

(2)证明:当 a∈(2,+∞)时,f′(x﹣1)>g(x)+a.

沈阳二中 2016—2017 学年度上学期期中考试

高三(17 届)理科数学答案 一、选择题: CBCDC AADAB AB 二、填空题: 13.2 14. 4 15. 16. 300

三、解答题: 17. 解: (1)∵a+b=5, ∴ab≤( ∴S△ABC=
2 )=

. = .

sinC=≤

2 2 (2)∵2sin A+sinAsinC=sin C, 2 2 2 ∴2a +ac=c .即 8+2c=c ,

解得 c=4. 由正弦定理得 ,即 ,

解得 sinA=

.∴cosA=



由余弦定理得 cosA=

=

.即



解得 b=



18. 解:(1) f ( x) ? (log2 x)2 ? 2a log2 x ? b ? (log2 x ? a)2 ? b ? a2 .

1 ?log 2 ? a, 4 ∵ x ? , ymin ? ?1,则 ? 4 2 ?

?

1

?b ? a ? ?1,

解得 ?

?a ? ?2, ?b ? 3.

2 2 (2) f ( x) ? (log2 x) +4log2 x ? 3 .由 f ( x) ? 0 得: (log2 x) +4log2 x ? 3 ? 0 ,

∴ ?3 ? log 2 x ? ?1,∴ 19.解:(1)f(x)=m· n

1 1 1 1 ? x ? ,∴ x ? ( , ) . 8 2 8 2

A = 3Asinxcosx+ cos2x 2 =A? 3 1 ? sin2x+ cos2x 2 ?2 ?

π? =Asin? ?2x+6?. 因为 A>0,由题意知,A=6. π? (2)由(1)f(x)=6sin? ?2x+6?. π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

π π? π 1 ? x+ ? ? y=6sin?2? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 ? ? 12?+6?=6sin?2x+3?的图象; 2 π? π? ? 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin? ?4x+3?的图象.因此,g(x)=6sin?4x+3?. 5π? 因为 x∈? ?0,24?, π π 7π? , . 所以 4x+ ∈? 3 ?3 6 ?

5π? 故 g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 20. 解: (1)设公差为为 d,a1=2,且 a2+1,a4+1,a8+1 成等比数列,
2 ∴(a4+1) =(a2+1) (a8+1) , 2 ∴(3d+3) =(3+d) (3+7d) ,

解得 d=3, ∴an=a1+(n﹣1)d=2+3(n﹣1)=3n﹣1; (2)∵数列{bn}满足 bn= ∴bn= ∴bnbn+1= , ? =3( ﹣ ) ﹣ )=3( ﹣ )= , ,

∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=3( ﹣ + ﹣ +??+ 即 = ,

解得 n=10, 故正整数 n 的值为 10. 21. 解: (1)∵AC1⊥AC2,C1(0,b) ,C2(0,﹣b) ,A(1,0) , ∴ ∵2c=2 ? =1﹣b2=0,∴b2=1. ,解得 c=
2 2 2 ,∴a =b +c =3.

∴椭圆 E 的方程为 离心率 e= = = .

=1.

(2)m,n 之间满足数量关系 m=n+1.下面给出证明:

①当取 M

,N

时,kMB=

,kBP= =

,kNB= +

, m=n+1. , 化为:

BP, NB 的斜率依次成等差数列, ∵直线 MB, ∴2×

②当直线 MN 的斜率不为 0 时,设直线 MN 的方程为:ty+1=x.M(x1,y1) ,N(x2,y2) .

联立

2 2 ,化为: (t +3)y +2ty﹣2=0,

∴y1+y2=

,y1y2=



kMB=

,kBP=

,kNB=



∵直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列, ∴2× 由于 + = = = + ,

=2,



=1,化为:m=n+1.
x 2 ,f(x)=e ﹣e x,x∈(1,+∞) ,

22. 解: (1)当 a=﹣ f′(x)=ex﹣e2,

当 x∈(1,2)时,f′(x)<0,f(x)在(1,2)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上单调递增; 证明: (2)x∈(1,+∞) ,f′(x﹣1)=e
x﹣1

+2a,

g(x)=| ﹣lnx|+lnx=



①1<x<e 时,证明当 a∈(2,+∞)时,f′(x﹣1)>g(x)+a,

x﹣1 即证明:e +2a> +a,a>2,

即 a> ﹣e

x﹣1


x﹣1

只需证明 h(x)= ﹣e h′(x)=﹣ ﹣e
x﹣1

≤2 在(1,e)恒成立即可,

<0,h(x)在(1,e)递减,

h(x)最大值=h(1)=e﹣1<2,
x 1 ∴a> ﹣e ﹣ ,

∴1<x<e 时,当 a∈(2,+∞)时,f′(x﹣1)>g(x)+a; ②x≥e 时,证明当 a∈(2,+∞)时,f′(x﹣1)>g(x)+a,
x 1 即证明:e ﹣ +2a>2lnx﹣ +a,a>2,

令 m(x)=e

x﹣1

﹣2lnx+ +a, (a>0,x≥e) , +ex﹣1,显然 m′(x)在[e,+∞)递增,

m′(x)=﹣ ﹣

而 m′(e)=

ee ? 3 >0 e

e﹣1 e﹣1 ∴m(x)≥m(e)=e +a﹣1>e +1>0,

综上,当 a∈(2,+∞)时,f′(x﹣1)>g(x)+a.


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