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函数与基本初等函数Ⅰ第2讲 函数的奇偶性与周期性


第2讲
【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性.

函数的奇偶性与周期性

2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念, 明确它们在研究函数中的作用和功能. 重点解决综合利用函数的性质解决有

关问 题.

基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函 数 f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这

个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的 图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则: y=f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. 1 1 (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- ,那么函数 f(x)是周期函 f?x? f?x? 数,其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a -b|. 双基自测 1.(2011· 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 ? 5? f?-2?=( ? ? 1 A.-2 ). 1 B.-4 1 C.4 1 D.2

1 ? 5? ?5? ?1? 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f?-2?=-f?2?=-f?2?=- .故选 ? ? ? ? ? ? 2 A.

1 2.(2012· 福州一中月考)f(x)=x-x 的图象关于( A.y 轴对称 C.坐标原点对称 解析

).

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 1 ?1 ? -(-x)=-?x-x?= ? ? -x

f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又 f(-x)=

-f(x),则 f(x)为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C 3.(2011· 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒 成立的是( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶, B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.(2011· 福建)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b, c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 8 C.2 和 4 B.3 和 1 D.1 和 2 ).

解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c 且 c∈Z,∴f(1)+f(-1)= 2c 是偶数,只有 D 项中两数和为奇数,故不可能是 D. 答案 D 5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒

成立,两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1),

得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0

考向一 【例 1】?下列函数: ①f(x)= 1-x2+

判断函数的奇偶性

x2-1;②f(x)=x3 -x;③f(x)=ln(x+ x2+1);④f(x)= ).

3x-3-x 1-x ;⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是( 2 1+x A.2 B.3 C.4 D.5

[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断. 解析 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0, 则 f(x)= 1-x2+ x2-1是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x 的定义域为 R,又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln 则 f(x)为奇函数; 3x-3-x 3-x-3x 3x-3-x ④f(x)= 的定义域为 R,又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2 2 则 f(x)为奇函数; ⑤由 1-x 1-x >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1 =-ln(x+ x2+1)=-f(x), 2 x+ x +1

1+x 1-x ?1-x?-1 ? =-ln 又 f(-x)=ln =ln? =-f(x), 1-x 1+x ?1+x? 则 f(x)为奇函数. 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明 f(-x) =f(x)或 f(-x)=-f(x)成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆 未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断.

【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: 4-x2 (1)f(x)= ; |x+3|-3 解 (2)f(x)=x2-|x-a|+2.

2 ?4-x ≥0, (1)解不等式组? 得-2≤x<0,或 0<x≤2, ?|x+3|-3≠0,

因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2],则 f(x)= f(-x)= 4-?-x?2 4-x2 =- x =-f(x), -x

4-x2 x .

所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞).当 a=0 时,f(x)=x2-|x|+2, f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x).因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a).因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数.

考向二

函数奇偶性的应用

1? ? 1 【例 2】?已知 f(x)=x?2x-1+2?(x≠0). ? ? (1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的 函数值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

1? x 2x+1 -x 2-x+1 x 2x+1 ? 1 ∵f(x)=x?2x-1+2?= ·x .,∴f(-x)= · = · =f(x). 2 2-x-1 2 2x-1 ? ? 2 2 -1 故 f(x)是偶函数.

法二

3 3 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(1)= ,f(-1)= ,∴f(x)不是 2 2

1? 1? ? 1 ? 1 奇函数.∵f(x)-f(-x)=x?2x-1+2?+x?2-x-1+2? ? ? ? ?
x 2x ?1-2 ? ? 1 ? =x?2x-1+1-2x+1?=x? x +1?=x(-1+1)=0, ? ? ?2 -1 ?

∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)证明 1? ? 1 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,所以 f(x)=x?2x-1+2?>0. ? ?

当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以 f(x)>0.综上,均有 f(x)>0.

根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对 称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶 性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.

【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2], 且在区间[-2,0]内递减, 求满足: f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围.

?-2≤1-m≤2, 解 ∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2, 解得-1≤m≤ 3.①,又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减,∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.②。综合①②可知,-1≤m<1.

考向三

函数的奇偶性与周期性

【例 3】 ?已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的奇函数, f(x)的图象关于 x=1 对称, 且 当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,

则 f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以

f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],

又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函 数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重 点问题.

【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 ).

解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1),又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是 定义在 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4,∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2 013)+f(2 015)=0.

规范解答 3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既 有区别又有联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将 它们综合在一起命制试题. 【解决方案】 根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f?-x?与 f?x?的相 等或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为 f?x+T?与

f?x?的关系,它们都与 f?x?有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函 数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的 是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶 性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调 性来解决相关问题. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 沈阳模拟)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x +2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由 图象易求面积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分) ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(4 分)

(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得: f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图 所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 ?1 ? S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4.(10 分) ? ? (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+ 3](k∈Z).(12 分)

关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周 期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数,则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

[尝试解答] 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知, f(x)在[-2,2] 上递增,又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)< f(11).故选 D.

巩固练习
1、(2012 年高考(山东文))若函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值

为 m,且函数 g ( x ) ? (1 ? 4 m ) x 在 [0, ? ? ) 上是增函数,则 a=____.

解析:当 a 若0 ?

? 1 时,有 a ? 4, a
2

?1

? m

,此时 a ,故 a
? 1 4

? 2, m ? ,m ? 1 16

1 2

,此时 g ( x ) ? ? x 为减函数,不合题意.

a ?1

,则 a ? 1

? 4, a ? m
2

,检验知符合题意.
1 4

另解:由函数 g ( x ) ? (1 ? 4 m ) x 在 [0, ? ? ) 上是增函数可知 1 ? 4 m ? 0 , m ?
2

;
?1

当 a ? 1 时 f ( x ) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? a 不符合题 意,舍去; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) ? a x 在 [-1,2]上的 最大值为 a
a ? 1 4 1 4
?1

?

1 2

? 4 ,解 得

,此时最小值为 m ? a ?
2

1 16

?

1 4

,符合题意,

故 a=

.

2、 .(2012 年高考 (湖南文) 设 定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2 ? 的偶函数, f ? ( x ) )
是 f ( x ) 的 导 函 数 , 当 x ? ? 0, ?

? 时,

0 ? f ( x ) ? 1 ; 当 x ? (0, ? ) 且 x ?

?
2

时 ,(x ? A.2

?
2

) f ? ( x ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) ? sin x 在 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上的 零点个数为 (



B.4

C.5

D.8

21 世纪【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

?
2

时 ,(x ?

?
2

) f ? ( x ) ? 0 ,知
? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为 增 函 数 ? ?

? ? ? ?? x ? 0, ? 时 , f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 为 减 函 数 ;x ? ? , ? ? 2 ? ? ? 2

又 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐 标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x ) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的 零点个数为 4 个.
y

1
y ? f (x)
o

? 2?

2?
y ? sin x

x

?1

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 教育网


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