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2015-2016学年高中数学 1.1.1.2集合的表示课件 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念

1.1

集合

1.1.1

集合的含义与表示

第二课时

集合的表示

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯

实基础

学习目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.

课前热身 1.列举法 把集合的元素________出来,并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 ________.

3.列举法常用于集合中的元素________时的集合表示, 描述法多用于集合中的元素有______________或元素的个数较 多的有限集.

自 1.一一列举 我 2.描述法 校 对 3.较少 无限多个的无限集

思考探究1 集合?

集合A={x|x>1}与B={t|t>1}是否表示同一个

提示 是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大 于1的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.

思考探究2

如何合理选用集合的表示方法?

提示 集合的两种常用表示法,列举法可以看清集合的元 素,描述法可以看清集合元素的特征.一般含有较多元素或无 数多个元素(无限集)宜用描述法,如集合{(x,y)|y=x2+1};集 合{1000以内的质数}等.而集合含元素较少或所含的元素不易 表述,可选用列举法,如:集合{x2,3x-2,x2+y2}.具体一个 集合用哪种方法表示,一是按要求表示,无要求的应选择适当 的方法.

名师点拨 1.列举法 在用列举法表示集合时应注意以下四点: (1)元素间用分隔号“,”; (2)元素不重复; (3)不考虑元素顺序;

(4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有 明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律显示清楚后 方能用省略号. 如“中国的直辖市”构成了一个集合,用列举法表示为 {北京,天津,上海,重庆}.“book”中的字母也构成一个集 合,用列举法表示为{b,o,k}.

2.描述法 在集合I中,属于集合A的任一元素x,都具有性质p(x),而 不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质.于是,集合A可用它的特征性质p(x)描述为 {x∈I|p(x)},它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素 构成的.其中x为该集合中元素的代号,它表明了该集合中的 元素是“谁”,是“什么”;I是特定条件,p(x)为该集合中元 素特有的公共属性、特征.

在使用描述法时,应注意以下六点: (1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素 符号); (2)说明该集合中元素的特征; (3)不能出现未被说明的字母; (4)多层描述时,应当准备使用“或”、“且”等联结 词;

(5)所有描述的内容都要写在集合括号内; (6)用于描述的语句力求简明、确切. 如{x|x为中国的直辖市}. 3.图示法 也称韦恩图(即Venn图),它是用一条封闭的曲线的内部来 表示一个集合,它主要用于集合运算的直观表示(见1.1.3节).

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



用列举法表示集合
用列举法表示下列集合. 的解集;

【例1】

? ?x+y=2, (1)方程组? ? ?x-y=0

(2)不大于10的非负偶数集; (3)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}. 【分析】 首先应明确集合的元素是什么,(1)、(3)表示的

是点集,(2)表示的是数集.

【解】

? ?x+y=2, (1)由? ? ?x-y=0,

? ?x=1, 得? ? ?y=1.

故方程组的解集为{(1,1)}. (2)不大于10即为小于或等于10, 非负是大于或等于0, 故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}.

(3)因为x∈N,y∈N,x+y=3,
? ?x=0, 所以? ? ?y=3, ? ?x=1, 或? ? ?y=2, ? ?x=2, 或? ? ?y=1, ? ?x=3, 或? ? ?y=0.

所以A={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.

规律技巧

当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表

示.用列举法表示集合时,应注意以下几点: (1)元素之间必须用“,”隔开; (2)集合中的元素不能重复; (3)可以不考虑元素的先后顺序.

变式训练1

用列举法表示下列集合.

(1)15的正约数组成的集合; (2){x|x2-3x-10=0}; (3)平方后仍为原数的数组成的集合.



(1)∵15=1×3×5,∴集合为{1,3,5,15}.

(2){x|x2-3x-10=0}={-2,5}. (3)平方后仍为原数的数组成的集合是{0,1}.



用描述法表示集合

【例2】

用描述法表示下列集合.

(1)正奇数集; (2)大于3且小于10的整数组成的集合; (3)方程x2+ax+b=0的解集; (4)平面直角坐标系中第一象限的点集. 【分析】 表示集合. 首先搞清楚集合的元素是什么,然后用描述法

【解】

(1){正奇数}={x|x=2k+1,k∈N};

(2){大于3且小于10的整数} ={x∈Z|3<x<10}; (3){x|x2+ax+b=0}; (4){(x,y)|x>0,且y>0}.

规律技巧

在表示集合时,选择表示法的原则为:让所表

示的集合正确、直观、简捷.用描述法表示集合时,切记不要 忘记表示元素的符号和竖线,竖线后是元素应满足的条件.

变式训练2

用描述法表示下列集合.

(1)正偶数集; (2)不等式2x+5<3的解集; (3)方程(x+1)(x-3)=0的解构成的集合; (4)第一、三象限点的集合.

解 (1){x|x=2k,k∈N+}; (2){x∈R|2x+5<3}; (3){x|(x+1)(x-3)=0}; (4){(x,y)|xy>0}.



列举法和描述法的灵活运用

【例3】

用适当的方法表示下列各集合.

(1)由所有偶数组成的集合; (2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集 合; (3)x2-9的一次因式组成的集合; (4)二次函数y=x2-2图象上所有点组成的集合.

【分析】

(1)、(4)表示无限集,用描述法合适;而(2)、

(3)表示有限集,宜用列举法.

【解】

(1)所有偶数组成的集合为{x|x=2n,n∈Z}.

(2)适合题意的集合为{3,5,7,11,13,17,19}. (3)∵x2-9=(x+3)(x-3), ∴x2-9的一次因式组成的集合为{x-3,x+3}. (4)适合题意的集合为{(x,y)|y=x2-2}.

规律技巧

在数学中,集合往往是数集和点集,用描述法

表示数集时,代表元素是数x,而平面内点集的代表元素为 (x,y).

变式训练3

改用列举法表示下列各集合.

(1)A={自然数中五个最小的完全平方数}; (2)B={x|(x-1)2(x-2)=0};
? ? ?2x+y=8 ? ?; (3)C=??x,y?|? ? x - y = 1 ? ? ?

(4)D={y|(y-2)2=0}.

解 (1)A={0,1,4,9,16}. (2)B={1,2}. (3)C={(3,2)}. (4)D={2}.

易错探究 【例4】 下列说法

①实数集可以表示为{x|x为全体实数}或{R};
? ?x+y=3, ②方程组? ? ?x-y=-1

的解集为{x=1,y=2};

③集合{x∈N|x2=1}用列举法可表示为{-1,1}.其中正确 的有( ) B.1个 D.3个 D

A.0个 C . 2个 【错解】

【错因分析】

对于描述法表示集合,其一,应清楚符号

“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的全体,而不是部 分;其二,应从代表元素入手,弄清楚代表元素是什么. 本例中,①表示集合的符号“{ }”已包含“所有”、

“全体”等含义,而符号“R”已表示所有的实数.其正确的表 示应为{x|x为实数}或R.

? ?x+y=3, ②方程组 ? ? ?x-y=-1

? ?x=1, 的解是有序的实数对 ? ? ?y=2,

而集

合{x=1,y=2}的元素表示两个方程,从而正确的表示应为
? ? ?x=1 ? ?. {(1,2)},或??x,y?|? ? ?y=2 ? ?

③由x2=1,得x=-1或x=1,而-1?N, 故集合{x∈N|x2=1}={1}.

【正解】 A

当堂检测 1.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为( A.函数y=x2的函数值组成的集合 B.函数y=x2的自变量的值组成的集合 C.函数y=x2的图象上的点组成的集合 D.以上说法都不对 )

解析 从描述法表示的集合来看,代表元素是函数值y, 即集合M表示函数y=x2的函数值组成的集合.

答案

A

2.设集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若x∈A,且x?B, 则x=( ) B.0 D.2

A.-1 C.1

解析 答案

只有元素-1满足x∈A,且x?B. A

3.定义集合A,B的一种运算A*B={x|x=x1+x2,其中x1 ∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素 之和为( A.9 C.18 ) B.14 D.21

解析 ∵x=x1+x2,且x1∈A,x2∈B, ∴A*B中的元素有:1+1=2,1+2=3,2+2=4,3+2=5. ∴所有元素之和为2+3+4+5=14.

答案

B

4.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示 B=________.

解析 两集合中的元素有联系,即t=-2,2,3,4时,x= 4,4,9,16,即集合B={4,9,16}.

答案

{4,9,16}

? 4 5.已知集合A={x∈Z? ?3-x ?

∈Z},

(1)用列举法表示集合A; (2)求集合A的所有元素之和.

4 解 (1)由 ∈Z,得3-x=± 1,± 2,± 4. 3-x 解得x=-1,1,2,4,5,7. 又∵x∈Z,∴A={-1,1,2,4,5,7}. (2)由(1)得集合A中的所有元素之和为 -1+1+2+4+5+7=18.


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