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四川省绵阳南山中学2017届高三上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案


2016 年 12 月

绵阳南山中学 2016 年秋季高 2017 届 12 月月考 数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

60 分)

1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题 卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试卷上。 一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。
2 1.设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2? ,则 CR ( A ? B) 等(

?

?



A. R

B. ? x x ? R, x ? 0?

C. ?0?

D. ? ( )

2.抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标是
1 A. (0, ) 2 1 B. ( , 0) 2 1 C. (0, ) 8 1 D. ( , 0) 8

1 1 ? ” 的 ( ) x 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象的一条对称轴方程为 ( ) π π π π A. x ? B. x ? ? C. x ? D. x ? ? 6 12 12 6 5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a3 ? a5 ? 64 , a2 ? 2 ,则 a1 ? ( ) 1 A.4 B. 2 C.1 D. 2 6.在 ?ABC 中,若 a ? 2b cos C ,则 ?ABC 一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 x 7.定义在 R 上的函数 f ( x) ? e ? cos x ? x , 则满足 f (2x ?1) ? f (3) 的 x 的取值范围

3. “ x ?2” 是 “

是 A. (?2,1) B. [?2,1) C. [?1, 2)

( D. (?1, 2)



-1-

8.某公司庆祝活动需从甲、 2 名担任向导, 乙、 丙等 5 名志愿者中选 2 名担任翻译, 还有 1 名机动人员,为来参加活动的外事人员提供服务,并且翻译和向导都必 须有一人选自甲、乙、丙,则不同的选法有 A. 20 种 9.已知函数 f ( x) ? ? 能为 A.2 个 B. 22 种 C. 24 种 ( D. 36 种 )

? ?log5(1-x),x < 1 则关于 x 的方程 f ( x ) ? a(a ? R) 实根个数不可 2 ? ??( x ? 2) +2,x ? 1





B..3 个 C.4 个 D.5 个 ? ? ? ? ? ??? 1 ? ? ? ? 10.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1, a ? b ? ? , ? a ? c, b ? c? ? 60? ,则 c 的最大值 2 等于 ( A.2



B.. 3 C. 2 D.1 ? ?) 上的函数,其导函数为 f ?( x) ,且不等式 11.已知 f ( x) 是定义在区间 (0, x f ?( x) ? 2 f ( x) 恒成立,则 ( ) A. 4 f (1) ? f (2) B. 4 f (1) ? f (2) C. f (1) ? 4 f (2) D. f (1) ? 4 f ?(2) 12.已知 A(?1,0), B(1,0), C(0,1) ,直线 y ? kx ? m(k ? 0) 将 ?ABC 分割为面积相等的两 部分,则 m 的取值范围是( ) 1 1 2 1 2 1 , ) A. (0,1) B. [ , ) C. (1 ? D. (1 ? , ] 3 2 2 2 2 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

注意: 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填在答题卷上。
? 1 x 1 ?( ) ,x ≤ 0, 13.已知 f ( x) ? ? 2 则 f (8) ? f (log 2 ) ? 4 ? ?log2 x,x ? 0,

14.已知 a, b 为正实数,向量 m ? (a,a ? 4) ,向量 n ? (b, 1 ? b) ,若 m / / n ,则 a ? b 最

?? ?

?

??

?

小值为
0 1 2 n 1 2 3 n ? 32 Cn ? 33 Cn ? ...... ? 3n?1Cn ? 3072 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? ...... ? Cn ? 15.已知: 3Cn

16.过双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切 2 a b

??? ? 1 ???? ??? ? 点为 E ,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P ,O 为坐标原点,若 OE ? (OF ? OP) , 2 则双曲线的离心率为

三、解答题:本大题共 7 小题,其中 17~21 题每题 12 分,22、23 题选作题 10 分, 共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

-2-

17.(本小题 12 分)已知向量 m ? (sin 2 x, cos 2 x), n ? (cos

?
4

, sin

?
4

) ,函数

?? ? f ( x) ? 2 m ? n +2。
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;w_w w. k#s5_u.c o*m ? (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标 24 伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x ) 的图象 , 求函数 g ( x ) 在 [??, ?] 上零点。

18.(本小题 12 分)已知直线 l : y ? x ? m, m ? R 。 (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的 方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C : x 2 ? 4 y 是 否相 切?并说明理由。

19.(本小题 12 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an }中, a1 ? 2 ,且

a2 ?1, a4 ?1, a8 ?1 成等比数列。
(1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设数列 ?bn } 满足 bn ? 数 n 的值。

3 45 , 求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的正整 an 32

20.(本小题 12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 且经过 2

点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,直线 l 交椭圆于 A、
B 两个不同点。

(1)求椭圆的方程; (2)求 ?OAB 面积的最大值; (3)若直线 MA、MB 与 x 轴交于 C 、 D 两点,求证: MC ? MD 。

-3-

21.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx (m ? R) (1)若曲线 y ? f ( x) 过点 P(1, ?1) ,求曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程; (2)用 g (m) 表示函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值,求 g (m) 的表达式; (3)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e2 。

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目涂黑。 22.(本小题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为原点, Ox 轴为极轴,单位长度不变,建立极坐

? 2 标系,直线 l 的的极坐标方程为: ? sin(? ? ) ? ,曲线 C 的参数方程为: 4 2

? x ? 2(sin t ? cost) (t 为参数) 。 ? ? y ? 4(1 ? sin 2t )
(1)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于 A, B 两点,求线段 | AB | 的长。

23.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | m ? x | (其中 m ? R ) 。 (1)当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 8 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围。

绵阳南山中学 2016 年秋季高 2017 届 12 月月考
-4-

数学试题(理科)
一、选择题答案: BCABC 二、填空题答案:13.7 三、解答题答案: 17. (1)∵ f ( x) ? 2 m ? n ? 2 (sin 2 x cos ADCDA 14.
9 2

参考答案
16.

BD 15.31

1? 5 2

? f ( x) 的最小正周期 T ?

? ? (2) 由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ,将函数 f ( x) 的图象向右平移 个单位, 4 24 ? ? ? 得到图象的解析式 h( x ) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin(2 x ? ) ,将所得图象上各点 24 4 6 ? 的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 g ( x) ? 2 sin( x ? ) ???????10 分 6 ? ? 由 x ? ? k ?,k ? Z ,得 x ? k ? ? , 6 6 ? ?? ?] 时,函数 g ( x ) 的零点为 ? 和 故当 x ? [??, ?????????12 分 6 6 0-m 18. (1)依题意,点 P 的坐标为(0,m).因为 MP⊥l,所以 2-0 ×1=-1,解得 m=2,
2 2 即点 P 的坐标为(0,2).从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0? +?0-2? =2 2, 2 2 故所求圆的方程为(x-2) +y =8. ???????????????6 分 (2)因为直线 l 的方程为 y=x+m,所以直线 l′的方程为 y=-x-m.

2? ?? 2

? ? ? ? cos 2 x sin ) ? 2 sin( 2 x ? ) ?4 分 4 4 4
????????????6 分

? ?y=-x-m, 2 2 ? 2 由? 得 x +4x+4m=0.Δ=4 -4×4m=16(1-m) ?x =4y

????10 分

①当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; ②当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切?????????12 分

19.(1)设等差数列 {an }的公差为 d ,由 a2 ?1, a4 ?1, a8 ?1 ,得 (3 ? 3d )2 ? (3 ? d )(3 ? 7d ),
解得 d ? 3 或 d (2)由(1)知 bn ? ,故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1. ??6 分 ? 0 (舍)

9 1 1 3 ? 3( ? ). ?8 分 , bnbn ?1 ? (3n ? 1)(3n ? 2) 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 9n b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn?1 ? 3( ? + ? +? ? ) ? 3( ? )? , 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 2 3n ? 2 6n ? 4

依题有

9n 45 ? , 解得 n ? 10. ???????????????12 分 6n ? 4 32

-5-

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 x2 y2 解得? 2 20.(1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 则 ? 4 1 ???2 分 ? 2 ?1 ? b ?2 a b ? ? 2 ?a b
∴椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 ?????????????????3 分 8 2

(2)∵直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 m ,又 K OM ?

1 ∴ l 的方程为: 2

1 ? y ? x?m ? 1 ? 2 y ? x ? m ,由 ? 2 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 ???4 分

∵ 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A 、 B 两 个 不 同 点 , 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ?2m ? 则 ? x1 ? x2 ? 2m2 ? 4 ? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, ∴m 的取值范围 ? 2 2 ?? ? (2m) ? 4(2m ? 4) ? 0
是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} ??????????????5 分

? S?OAB ?

1 1 m x1 ? x2 ? m ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? m 2 (?m 2 ? 4) 2 2 故 ?OAB 面积的最大值为 2 ???????????????7 分
设 则k1 ?

(3) 设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 ???????????????8 分 x1 ? 2 x2 ? 2
y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

而 k1 ? k 2 ?

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

∴k1+k2=0

故 ?MCD ? ?MDC,? MC ? MD ?????????12 分

-6-

21.(1)因为点 p(1, ?1) 在曲线 y ? f ( x) 上,所以 ?m ? ?1,解得 m ?1

1 ? 1 ? 0 ,所以切线的斜率为 0,所以切线方程为 y ? ?1?3 分 x 1 1 ? mx ' (2)因为 f ( x) ? ? m ? x x
因为 f ( x) ?
'

①当 m ? 0 时, x ? (1, e), f ' ( x) ? 0 ,所以函 数 f ( x) 在 (1, e) 上单调递增, 则 f ( x)max ? f (e) ? 1 ? me 。 ②当

1 1 ? e ,即 0 ? m ? 时, x ? (1, e), f ' ( x) ? 0 , m e

所以函数 f ( x) 在 (1, e) 上单调递增,则 f ( x)max ? f (e) ? 1 ? me

1 1 1 ? e ,即 ? m ? 1 时,函数 f ( x) 在 (1, ) 上单调递增,在 m e m 1 1 ( , e) 上单调递减,则 f ( x) max ? f ( ) ? ? ln m ? 1 。 m m 1 ④当 ? 1 ,即 m ?1时, x ? (1, e), f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (1, e) 上单调递减, m
③当 1 ? 则 f ( x)max ? f (1) ? ?m 。

? ?1 ? me ? ? 综上, g (m) ? ?-lnm-1 ? ??m ? ?

m?

1 e

1 ? m ? 1 ????????????????8 分 e m ?1

(3)不妨设 x1 ? x2 ? 0 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 所以 lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0, 可得 lnx1+lnx2=m (x1+x2) , lnx1﹣lnx2=m (x1﹣x2) , 要证明 x1x2>e2, 即证明 lnx1+lnx2 >2,也就是 m( x1 ? x2 ) ? 2 。因为 m= ,所以即证明 >

,即 ln



.令

=t,则 t>1,

于是 lnt>

。令 f (t ) =lnt﹣

(t>1) ,

-7-

则 f ' (t ) = ﹣

=

>0,故函数 f (t ) 在(1,+∞)上是增函数,

所以 f (t ) > f (1) ? 0 ,即 lnt>

成立.所以原不等式成立.?12 分

22. (1) l : x ? y ? 1 ? 0 C : x2 ? y, x ?[?2 2, 2 2] ????????????5 分 (2) AB ? 10 ??????????????????????????10 分 23. (1)当 m ? 3 时, f ( x) ≥ 6 即 | x ? 1| ? | x ? 3 |≥ 6 . ①当 x ? ?1 时,得 ?x ?1? x ? 3≥6 ,解得 x ≤ ?2 ; ②当 ?1 ≤ x ≤ 3 时,得 x ?1 ? x ? 3≥6 ,不成立,此时 x ?? ; ③当 x ? 3 时,得 x ?1 ? x ? 3≥6 成立,此时 x ≥4 . 综上,不等式 f ( x) ≥ 6 的解集为 {x | x ≤ ?2 或 x ≥ 4} ???????????6 分 (2)因为 | x ? 1| + | m ? x |≥| x ?1 ? m ? x | = | m ? 1| , 由题 意 m ? 1 ≥ 8 ,即 m ? 1 ≤ ?8 或 m ? 1≥8 ,解得 m ≤ ?9 或 m≥7 , ? 9] ? [7, ? ?) ????????????????10 分 即 m 的取值范围是 (??,

-8-


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