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集合~基础知识点汇总与练习~复习版


集合知识点总结
一、集合的概念 教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问 题,掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点: 集合中元素的 3 个性质, 集合的 3 种表示方法, 集合语言、 集合思想的运用. : (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法; 3.若有限集 A 有 n 个元素,则 A

的子集有 2n 个,真子集有 2n ? 1 ,非空 子集有 2n ? 1 个,非空真子集有 2n ? 2 个. 二、集合的运算 教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性 质,能利用数轴或文氏图进行集合的运算,进一步掌 握集合问题的常规处理方法. 教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A ? B ? A ? A ? B , A ? B ? A ? A ? B ; 3. CU A ? CU B ? CU ( A ? B) , CU A ? CU B ? CU ( A ? B) . (二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用;

2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出 问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键.

考点要点总结与归纳
一、集合有关概念 1. 集合的概念:能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母 A、B、C,…表示,元素常用小写字 母 a、b、c,…表示。 3. 集合中元素的性质:确定性,互异性,无序性。 (1)确定性:一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个 集合,绝无模棱两可的情况。如:世界上最高的山 (2)互异性:集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素 只能出现一次。如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)无序性:集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素 a 是集合 A 中的元素,记做 a∈A,读作?a 属于集合 A? ; (2) 元素 a 不是集合 A 中的元素, 记做 a?A, ?a 不属于集合 A?。 读作 5. 集合的表示方法:自然语言法,列举法,描述法,图示法。
(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合。如大于等于 2 且小于 等于 8 的偶数构成的集合。

(2)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号? ?括起来 {} 表示集合的方法,一般适用于元素个数不多的有限集,简单、明了,能 够一目了然地知道集合中的元素是什么。 注意事项:①元素间用逗号隔开;②元素不能重复;③元素之间不用考 虑先后顺序;④元素较多且有规律的集合的表示: {0,1,2,3,…,100} 表示不大于 100 的自然数构成的集合。 (3)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,一般形式 是{x∈I | p(x)}. 注意事项: ①写清楚该集合中元素的代号; ②说明该集合中元素的性质; ③不能出现未被说明的字母; ④多层描述时, 应当准确使用 ?且? 、 ?或? ; ⑤所有描述的内容都要写在集合符号内;⑥语句力求简明、准确。 (4)图示法:主要包括 Venn 图(韦恩图) 、数轴上的区间等。 韦恩图法:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合的方法,常 用于直观表示集合间的关系。

6. 集合的分类: 有限集:含有有限个元素的集合 无限集:含有无限个元素的集合 空集 :不含任何元素的集合 ? 常用数集及其记法: (1)自然数集:又称为非负整数集,记做 N; (2)正整数集:自然数集内排除 0 的集合,记做 N+或 N※; (3)整数集:全体整数的集合,记做 Z 例:{x|x2=-5}

(4)有理数集:全体有理数的集合,记做 Q (5)实数集:全体实数的集合,记做 R 二、集合间的基本关系
7. 子集的概念:A 中的任何一个元素都属于 B。记作: A ? B ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ② 如果 A?B, B?C ,那么 A?C 8. 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集; 空集是任何非空集合的真子集。 9. 相等集合:如果构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等,与元 素的排列顺序无关。如: A ? B 且 B ? A 则 A=B 10. 真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 真子集。 记作:A ? B ? 11. 集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1) 是 B 的一部分、 A (2) 与 B 是同一集合。 A

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A
2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?

n n 12. 若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 , n n 非空子集有 2 ? 1 个,非空真子集有 2 ? 2 个.

三、集合的运算 1、交集: A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 2、并集: A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 3、补集: C U A ? {x | x ? U且x ? A}

运算类型













由所有属于 A 且 由所有属于集合 设 S 是 一 个 集 属于 B 的元素所 A 或属于集合 B 合,A 是 S 的一 组成的集合,叫做 的元素所组成的 个子集,由 S 中 A,B 的交集. 记作 集合,叫做 A,B 所有不属于 A 的 A ? B(读作?A 的并集.记作: 元 素 组 成 的 集 定 义 交 B?, A ? B= A ? B(读作‘A 合,叫做 S 中子 )即 { x|x ? A , 且 并 B’,即 A ? B 集 A 的补集(或 ) x ? B} . 核心词汇:共有 ={x|x ? A , 或 余集) x ? B}). 核心词汇:全部 记作 C S A ,即 CSA=
{x | x ? S , 且x ? A}

韦恩 图示

A

B

A

B

S A

图1

图2

A ? A=A A ? Φ=Φ 性 质 A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

★经典例题: 例一、判断下列集合是否为同一个集合 ① A ? ?1, 2? , B ? ??1, 2 ?? --------------不是,一个是点集,一个是数集

② A ? ? x ? N | 0 ? x ? 5? , B ? ? x ? R | 0 ? x ? 5? -------------不是, 元素范围不同 ③ A ? ? y | y ? 2 x ? 1? , B ? ?? x, y ? | y ? 2 x ? 1? -不是, 一个是点集, 一个是数集 ④ A ? ? x | x ? 5? , B ? ? y | y ? 5? ------------是,元素相同,均是实数,与代表 元素无关 例二、用适当的符号填空:
?

?

?a? ; ?a?
?
?

?
?

?a, b? ; ?a?
?
?

?

?a? ; ?

?
?

?a? ;

?1, 2,3?

?1 ,

2 , 3 , 4? ?;

应该注意的问题: 集合与元素之间是属于关系,集合与集合之间 的是包含关系,两者不能混淆。 例三、已知集合 M ? ?0,1, 2, 4,5, 7? , N ? ?1, 4, 6,8,9? , P ? ?4, 7,9? , 则 ? M ? N ? ? ? M ? P ? 等于 【 ?1, 4, 7? 】

解: M ? N ? ?1, 4? , M ? P ? ?4, 7? ,故 ? M ? N ? ? ? M ? P ? ? ?1, 4, 7? 例四、若集合 A ? ?1,3, x? , B ? ? x 2 ,1? ,且 B ? A ,则 x ? 解:依题 B ? A ,则 x2 ? x ,或 x2 ? 3 ,解出 x ? 0,1, ? 3 ; 由于元素具有互异性,故舍去 1。
, 例 五 、 集 合 A ? ?0 , 2a? , B ? ?1, a 2 ? , 若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? , 则 a 的 值 为

【0 或? 3】

【4】 解:∵ A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ?
? a 2 ? 16 ? a?4

∴a ? 4

例 六 、 设 集 合 U ? ?( x, y) ? y ? ?x 1 ? ?? A ? , ?
?

y ?1 ? 则 CU A ? ,x ?y ? , 1 x ?

【 ?? 0, ?1?? 】 解: A ? ?? x, y ? ?
? y ?1 ? y ?1 ? 1? 表示平面上满足直线 ? 1 的无数点,其中 x x ?

x ? 0, y ? ?1 。

又 U ? ?( x, y ) y ? x ? 1? 表示平面上满足直线 y ? x ? 1 上的全部点, 故补 集为 ?? 0, ?1?? ,这组有序数对。 例七、已知集合 A ? ? x 1 ? x ? 4? , B ? ? x x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值
?

集合为

【 ?a a ? 4? 】

解:步骤:①在数轴上画出已知集合; ②由 x ? a 确定,应往左画(若为 x ? a ,则往右画) ,进而 开始实验; ③得到初步试验结果; ④验证端点。

试验得到:a ? 4 , a ? 4 时, 当 由于 A 集合也不含有 4, 故满足 A ? B 。
?

综上所述, ?a a ? 4? 。 例八、设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤ 3} , 则M ?N ?
0, 【 ??1,1? 】

解: 首先观察, 两个集合均为数集, 代表元素的不同不影响集合本身。 其次范围均为整数, 故 M ? ??2, ?1, 0,1? , N ? ??1, 0,1, 2,3? ,因此取交集后,得到的结果应为
0 1? ??1,, 。

例九、 A ? ? x | ?1 ? x ? 3? , B ? ? x | x ? a? ,若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是 解:步骤:①在数轴上画出已知集合; ②由 x ? a 确定, 应往左画 (若为 x ? a , 则往右画) 进而开始实验; , ③得到初步试验结果;④验证端点。 【 a ? 3】

试验得到的结果为 a ? 3 ,验证端点,当 a ? 3 时,由于 A 集合不含有 3, 满足交集为 ? 。 综上所述, a 的取值范围是 a ? 3 。 注意:在画数轴时,要注意层次感和端点的虚实! 例十、满足 ?1? ? M ? ?1, 2,3? 的集合 M 为 ? 【 ?1? , ?1, 2? , ?1,3? 】
?

解:因为 ?1? ? M ,因此 M 中必须含有 1 这个元素。又知道 M ? ?1, 2,3?
, 故得到 ?1? , ?1, 2? , ?1,3? 。 321 (,?

? 不满足真子集的要求)

例 十 一 、 已 知 集 合 A ? ? x x 2 ? px ? 2 ? 0? , B ? ? x x 2 ? x ? q ? 0? , 且
A ? B ? ??2 , 0 , ?, 1

求实数 p, q 的值。 q ? 0, p ? 1 】 【

解:观察 A 集合,可知 0 ? A ,又有 A ? B ? ??2, 0,1? ,则 0 ? B 。 将 0 代入 x2 ? x ? q ? 0 ,得到 q ? 0 ,反解 x2 ? x ? 0 ,得到 x ? 0 或 1。 由于 A ? B ? ??2, 0,1? , B ? ?0,1? ,则 ?2 ? A 。 将 ?2 代入 x 2 ? px ? 2 ? 0 ,解得 p ? 1。 例十二、已知集合 A ? ??2? , B ? ? x x 2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0? ,若 A ?B ?B ,求实 数 a 的取值范围。 a ? 4 或 a ? ?4 】 【 解: ①当 B ? ? 时, 方程 x2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0 无解, ? 0 , 解得 a ? 4 或 a ? ?4 ; ? ②当 B ? ? 时, 方程 x2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0 有一个解, ? 0 , 同时将 ?2 代 ? 入 x2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0 ,解得 a ? 4 ; 综上所述 a 的取值范围为 a ? 4 或 a ? ?4 。

练习题
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 C 一切很大的书 2.集合{a,b,c }的真子集共有 B 著名的艺术家 D 倒数等于它自身的实数 个 。

1 . 已 知 集 合 M ? ?1,3, t? , P ? ?t 2 ? t ? 1? , 若 M ? P ? M , 则
t =_____________.

2. 设集合 M= ? x x ?
?

?

k? ? ? ? k? ? ? ? ,k ? Z ? ,N= ? x x ? ? ,k ? Z ? , A. M=N 2 4 4 2 ? ? ?

B.

M ? N C. N ? M D. M ? N= ? ? ?

3.如图所示, 是( )

, , 是 的三个子集,则阴影部分所表示的集合

(A) (C)

(B) (D)

4 . 设 全 集

, 若 ,则下列结论正确的是(

, ) 且 且



(A) (C)

且 且

(B) (D)

5.设全集为 U,集合 A、B 是 U 的子集,定义集合 A、B 的运算:

A*B={x|x∈A,或 x∈B,且 x ? A∩B},则(A*B)*A 等于(
A.A B.B
? 3?



C. (CU A)∩B
? 4 ?

D. A∪(CU B)

1 3 6. 已知集合 M ? ? x | m ? x ? m ? ?, N ? ? x | n ? ? x ? n? ,且 M , N 都是集 ? ? ? ?

合 ?x | 0 ? x ? 1?的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ?x | a ? x ? b?的?长度? ,那 么 M ? N 的?长度?的最小值是____________________. 7.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1?,且 B ? A ,求实 数 m 的取值范围.

8.已知集合 A ? {x ?2k ? 6 ? x ? k 2 ? 3} , B ? {x ?k ? x ? k} 且 A 是 B 的真 子集,求实数 k 的取值范围。

9.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C ={x|x2+2x-8=0},若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

10.设集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 4?,集合 B ? ?x | x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0?. (1)求使 A ? B ? B 的实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ,使 A ? B ? ? 成立?若存在,求出实数 a 的取值 范围;若不存在,请说明理由.

高一数学第一章集合数学测试题 一、选择题(每小题 5 分,计 5×12=60 分) 1.下列集合中,结果是空集的为( ) (A) (C) 2.设集合 (A) 3.下列表示① ( ) (A)1 (B)2 (C)3 4.满足 (A)6 (D)4 的集合 (B) 7 (C) 8 (D)9 , ,则 与 之间 的个数为( ) (B) ② (B) (D) , (C) ③ ④ ,则 (D) 中,正确的个数为 ( )

5. 若集合 、 、 ,满足 的关系为( ) (A) (B) (C)

(D)

6.下列集合中,表示方程组

的解集的是( )

(A) 7.设 围是( ) (A)

(B) ,

(C) ,若

(D) ,则实数 的取值范

(B)

(C) ,

(D) , ,

8.已知全集合 那么 (A) 是( ) (B) (C)

(D)

9.已知集合 (A) (C) 10.已知集合 那么( ) (A) (B) (C) (B) (D)

,则

等于( )





(D)

11. 如图所示, 示的集合是( )

, , 是 的三个子集,则阴影部分所表

(A)

(B)

(C)

(D)

12.设全集

,若 ,则下列结论正确的是(

, ) 且



(A) 且



(B)



(C)

(D)

二、填空题(每小题 4 分,计 4×4=16 分) 13.已知集合 集合
————



,则

14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为——
----------

15.设全集 的值为 16. 若集合 值为-----------





,则

只有一个元素, 则实数 的

三、解答题(共计 74 分) 17.(本小题满分 12 分)若 值。 18.(本小题满分 12 分)设全集合 ,求 , , , , , ,求实数 的


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