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平面向量的数量积及应用


平面向量的数量积及应用
→ → 1.[2016· 常德模拟]△ABC 中 A(2,1),B(0,4),C(5,6),则AB· AC= ( ) A.7 C.9 答案 解析 3×5=9.
?1 1? 2.[2016· 韶关模拟]设向量 a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论中正 ? ?

B.8 D.10 C → → → → 由已知得AB=

(-2,3),AC=(3,5),所以AB· AC=-2×3+

确的是(

) 2 B.a· b= 2 D.a∥b
?1?2 ?1?2 2 ? ? +? ? = ,所以 A 不正 2 ?2? ?2? ? ?

A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 答案 解析 C 对于 A 选项,|a|=1,|b|=

1? ?1 1 确; 对于 B 选项, a· b=2, 所以 B 错误; 对于 C 选项, a-b=?2,-2?,
?1 1? 1 1 b=?2,2?,∴(a-b)· b=4-4=0,所以 a-b 与 b 垂直,所以 C 正确; ? ?

D 显然错误.故选 C. 3.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则向量 a 在 b 方向的投影是( )

点击观看解答视频 A. 13 13 B. 5

65 C. 5 答案 解析 C

D. 65

a· b 2×?-4?+3×7 65 |a|cos〈a,b〉= = = 5 . 2 2 |b| ?-4? +7 ) π B.3 5π D. 6 B (a-2b)· a=|a|2-2a· b=0,(b-2a)· b=|b|2-2a· b=0,所以

4.向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为( π A.6 2π C. 3 答案 解析

|a|2=|b|2,即|a|=|b|,故|a|2-2a· b=|a|2-2|a|2cos〈a,b〉=0,可得 cos 1 π 〈a,b〉=2,又因为 0≤〈a,b〉≤π,所以〈a,b〉=3. 5.[2016· 龙岩质检]已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD=2, → → ∠DAB=60° ,则AC· AB等于( A.1 C.2 答案 解析 C → → → → → → → → → → → 2 2 AC· AB=(AB+AD)· AB=AB +AD· AB=|AB| +|AD||AB|cos ) B. 3 D.2 3

∠DAB=1+2×1×cos60° =2.故选 C. 6. [2016· 贺州模拟]已知 a 与 b 的夹角为 120° , |a|=3, |a+b|= 13, 则|b|=________.

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答案 解析

4 因为|a+b|= 13, 所以|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=|a|2

+|b|2+2|a||b|cos120° ,所以 9+|b|2-3|b|=13,解得|b|=4. → → → → → 7 . [2015· 湖北高考 ] 已知向量 OA ⊥ AB , | OA | = 3 ,则 OA · OB = ________. 答案 解析 9 → → → → → → → → → → → ∵OA· OB=OA· (OA+AB)=|OA|2+OA· AB.又OA⊥AB,|OA

→ → |=3.∴OA· OB=9. 8.如下图,在△ABC 中,AB=3,AC=2,D 是边 BC 的中点, → → 则AD· BC=________.

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答案 解析

5 -2 利用向量的加减法法则可知

→ → 1 → → → → 1 → → 5 2 AD· BC=2(AB+AC)· (-AB+AC)=2(-AB +AC2)=-2. 9. [2015· 安徽高考]△ABC 是边长为 2 的等边三角形, 已知向量 a, → → b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出 所有正确结论的编号)

→ ①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a⊥b;④b∥BC;⑤(4a+ → b)⊥BC 答案 解析 ①④⑤ → → 在正三角形 ABC 中,AB=2a,|AB|=2,所以|a|=1,①正

→ → → → 确;由AB+BC=AC=2a+b,得BC=b,因此④正确,②不正确;由 → → AB与BC的夹角为 120° ,知 a 与 b 的夹角为 120° ,所以③不正确;因 → → ? 1? 为BC=b,所以(4a+b)· BC=4a· b+b2=4×1×2×?-2?+22=0,
? ?

→ 所以(4a+b)⊥BC.故⑤正确. 10.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解 (1)由 a⊥b 得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得 x=3 或 x=-1. (2)由 a∥b,则 2x2+3x+x=0,即 2x2+4x=0,得 x=0 或 x=- 2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),所以 a-b=(-2,0). 此时|a-b|=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), 则 a-b=(2,-4).故|a-b|= 22+?-4?2=2 5. 11.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7. (1)求 a,b 夹角的大小; (2)求|3a+b|的值. 解 (1)设 a 与 b 夹角为 θ,(3a-2b)2=7, 即 9|a|2+4|b|2-12a· b=7, 而|a|=|b|=1,

1 ∴a· b=2, 1 1 ∴|a||b|cosθ=2,即 cosθ=2, π 又 θ∈[0,π],∴a,b 的夹角为3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a· b+|b|2=9+3+1=13, ∴|3a+b|= 13. 12.[2016· 山东菏泽质检]已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边 分 别 为 a 、 b 、 c , B 为 锐 角 , 向 量 m = (2sinB , - 3 ) , n = B ? ? ?cos2B,2cos2 -1?,且 m∥n. 2 ? ? (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. 解 B ? ? ?2cos2 -1?+ 3cos2B=0 (1)m∥n?2sinB· 2
? ? ? ?

π? ? 2π ?sin2B+ 3cos2B=0?2sin?2B+3?=0(B 为锐角)?2B= 3 ?B= π 3. a2+c2-b2 (2)cosB= 2ac ?ac=a2+c2-4≥2ac-4?ac≤4. 1 1 3 S△ABC=2a· c· sinB≤2×4× 2 = 3. ∴S△ABC 的最大值为 3.

[B 级

知能提升](时间:20 分钟)

→ → 1.[2016· 南宁模拟]已知 a=(-1, 3),OA=a-b,OB=a+b, 若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB 的面积为 ( ) A. 3 B.2

C.2 2 答案 解析 D

D.4

据三角形 OAB 为等腰直角三角形可得:

1→2 1 2 |a|=|b|=2 且 a⊥b,故 S△AOB=2|OA| =2(|a| +|b|2-2a· b)=4.故选 D. 2.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a-b 与 b 的夹角为( )

点击观看解答视频 π A.6 2π C. 3 答案 解析 D 由|a+b|=|a-b|可得 a· b=0,由|a-b|=2|a|可得 3a2=b2, π B.3 5π D. 6

设向量 a-b 与 b 的夹角为 θ,则 ?a-b?· b -|b|2 3|a|2 3 5π cosθ= = =- ,所以 θ = 2=- 2 6. |a-b||b| 2|a| 3|a| 2 3|a| 3.[2015· 山东高考]过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切 → → 点分别为 A,B,则PA· PB=________. 3 答案 2

解析

由题意可作右图,∵OA=1,AP= 3,

又∵PA=PB,∴PB= 3. ∴∠APO=30° . → → → → 1 3 ∴∠APB=60° .∴PA· PB=|PA|· |PB|cos60° = 3× 3×2=2. 4.[2016· 成都模拟]已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,向量 m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且 m⊥n. (1)求角 C 的大小; B? ? (2)若向量 s=(0, -1), t=?cosA,2cos2 2 ?, 试求|s+t|的取值范围.
? ?



(1)由题意得 m· n=(a+c,b-a)· (a-c,b)=a2-c2+b2-ab
2 2 2

a2+b2-c2 1 = 0, 即 c = a + b - ab. 由余弦定理得 cosC = = 2 . 因为 2ab π 0<C<π,所以 C=3. B ? ? (2) 因为 s + t = ?cosA,2cos2 2 -1? = (cosA , cosB) ,所以 |s + t|2 =
? ?

π? ?2π ? 1 ? cos2A+cos2B=cos2A+cos2? 3 -A?=-2sin?2A-6?+1.
? ? ? ?

2π π π 7π 因为 0<A< 3 ,所以-6<2A-6< 6 , π? ? 1 所以-2<sin?2A-6?≤1. ? ? 1 5 2 5 所以2≤|s+t|2<4,故 2 ≤|s+t|< 2 .

故|s+t|的取值范围为?

? 2 5? ?. , 2? ?2


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