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2015年辽宁省盘锦市中考数学试卷


2015 年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序 号涂在答题卡上,每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)﹣ 的相反数是( A.2 B.﹣2 C. D.﹣ ) )

2. (3 分)宇宙现在的年龄约为 200 亿年,200 亿用科学记数法表示为( A.0.2×1011 B.2×1010 C.200×108 ) D.m2?m3=m6 ) D.2×109

3. (3 分)下列计算正确的是(

A.x4+x4=x16B. (﹣2a)2=﹣4a2 C.x7÷x5=x2

4. (3 分)一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

A.圆锥

B.圆柱

C.长方体 D.三棱柱 的解集表示在数轴上,正确的是( C. D. )

5. (3 分)把不等式组 A. B.

6. (3 分)有大小两种货车,2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运货 15.5 吨,5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 35 吨.设一辆大货车一次可以运货 x 吨, 一辆小货车一次可以运货 y 吨,根据题意所列方程组正确的是( A. C. B. D. )

7. (3 分)甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩(单位:分)如下表: 第一次 甲 乙 87 80 第二次 95 80 第三次 85 90 第四次 93 90

据上表计算, 甲、 乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为 S 甲 2=17、 S 乙 2=25,
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下列说法正确的是(



A.甲同学四次数学测试成绩的平均数是 89 分 B.甲同学四次数学测试成绩的中位数是 90 分 C.乙同学四次数学测试成绩的众数是 80 分 D.乙同学四次数学测试成绩较稳定 8. (3 分)如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴是直线 x= ﹣2.关于下列结论:①ab<0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c<0;④b﹣4a=0;⑤ 方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0,x2=﹣4,其中正确的结论有( )

A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ 9. (3 分)如图,从一块直径是 8m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形, 将剪下的扇形围成一个圆锥,圆锥的高是( )m.

A.4

B.5

C.

D.2

10. (3 分)如图,边长为 1 的正方形 ABCD,点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位 长度的速度向点 B 运动,点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿 A→D→C→B 的路径向点 B 运动,当一个点到达点 B 时,另一个点也随之停止运 动,设△AMN 的面积为 s,运动时间为 t 秒,则能大致反映 s 与 t 的函数关系的 图象是( )

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A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11. (3 分)计算 的值是 . .

12. (3 分)方程(x+2) (x﹣3)=x+2 的解是

13. (3 分)函数 y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式 kx+b<0 的解集 为 .

14. (3 分)如图,已知△ABC 中,AB=5,AC=3,点 D 在边 AB 上,且∠ACD=∠B, 则线段 AD 的长为 .

15. (3 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠DAB=60°,E 为 BC 的中点,在对角 线 AC 上存在一点 P, 使△PBE 的周长最小, 则△PBE 的周长的最小值为 .

16. (3 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,斜边 AB=2,O 是 AB 的中点, 以 O 为圆心,线段 OC 的长为半径画圆心角为 90°的扇形 OEF,弧 EF 经过点 C, 则图中阴影部分的面积为 .

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17. (3 分)如图,直线 y=﹣3x+3 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 A,以线段 AB 为边,在第一象限内作正方形 ABCD,点 C 落在双曲线 y= (k≠0)上,将正方 形 ABCD 沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度,使点 D 恰好落在双曲线 y= (k≠0) 上的点 D1 处,则 a= .

18. (3 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 等腰△OBC 的边 OB 在 x 轴上, OB=CB, OB 边上的高 CA 与 OC 边上的高 BE 相交于点 D,连接 OD,AB= ,∠CBO=45°, .

在直线 BE 上求点 M,使△BMC 与△ODC 相似,则点 M 的坐标是

三、解答题(19 小题 8 分,20 小题 14 分,共 22 分) 19. (8 分)先化简,再求值: ,其中 x=2sin30°﹣1.

20. (14 分)为响应国家的“一带一路”经济发展战略,树立品牌意识,我市质检 部门对 A、 B、 C、 D 四个厂家生产的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测, 通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%,并根据检测数据绘制了如图 1、图 2 两幅
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不完整的统计图.

( 1 )抽查 D 厂家的零件为 为 ;

件,扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角

(2)抽查 C 厂家的合格零件为

件,并将图 1 补充完整;

(3)通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家; (4)若要从 A、B、C、D 四个厂家中,随机抽取两个厂家参加德国工业产品博 览会,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概 率.

四、解答题(21 小题 12 分,22 小题 8 分,共 20 分) 21. (12 分)为支援灾区,某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买 A、B 两种 型号的学习用品共 1000 件.已知 B 型学习用品的单价比 A 型学习用品的单价多 10 元,用 180 元购买 B 型学习用品的件数与用 120 元购买 A 型学习用品的件数 相同. (1)求 A、B 两种学习用品的单价各是多少元? (2)若购买这批学习用品的费用不超过 28000 元,则最多购买 B 型学习用品多 少件? 22. (8 分)如图所示,小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD、EF.一天,他在 A 处测得树顶 D 的仰角∠DAC=30°,在 B 处测得树顶 F 的仰角∠FBE=45°,线段 BF 恰好经过树顶 D. 已知 A、 B 两处的距离为 2 米, 两棵树之间的距离 CE=3 米, A、B、C、E 四点在一条直线上,求树 EF 的高度. ( 留一位小数) ≈1.7, ≈1.4,结果保

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五、解答题(本题 12 分) 23. (12 分)如图 1,AB 为⊙O 的直径,点 P 是直径 AB 上任意一点,过点 P 作 弦 CD⊥AB, 垂足为 P, 过点 B 的直线与线段 AD 的延长线交于点 F, 且∠F=∠ABC. (1)若 CD=2 ,BP=4,求⊙O 的半径;

(2)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (3)当点 P 与点 O 重合时,过点 A 作⊙O 的切线交线段 BC 的延长线于点 E,在 其它条件不变的情况下,判断四边形 AEBF 是什么特殊的四边形?请在图 2 中补 全图象并证明你的结论.

六、解答题(本题 14 分) 24. (14 分)盘锦红海滩景区门票价格 80 元/人,景区为吸引游客,对门票价格 进行动态管理, 非节假日打 a 折, 节假日期间, 10 人以下 (包括 10 人) 不打折, 10 人以上超过 10 人的部分打 b 折,设游客为 x 人,门票费用为 y 元,非节假日 门票费用 y1(元)及节假日门票费用 y2(元)与游客 x(人)之间的函数关系如 图所示. (1)a= ,b= ;

(2)直接写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式;
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(3)导游小王 6 月 10 日(非节假日)带 A 旅游团,6 月 20 日(端午节)带 B 旅游团到红海滩景区旅游,两团共计 50 人,两次共付门票费用 3040 元,求 A、 B 两个旅游团各多少人?

七、解答题(本题 14 分) 25. (14 分)如图 1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°, 点 B 在线段 AE 上,点 C 在线段 AD 上. (1)请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系: ;

(2)如图 2,将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角 α(0<α<360°) , ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图 2 证明;若不成立,请说明理由; ②当 AC= ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角 α,使以 A、 B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角 α 的度数; 若不存在,请说明理由.

七、解答题(本题 14 分) 26. (14 分) 如图 1, 在平面直角坐标系中, 抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A (﹣1, 0)和 B(5,0)两点,交 y 轴于点 C,点 D 是线段 OB 上一动点,连接 CD,将 线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DE,过点 E 作直线 l⊥x 轴于 H,过点 C
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作 CF⊥l 于 F. (1)求抛物线解析式; (2)如图 2,当点 F 恰好在抛物线上时,求线段 OD 的长; (3)在(2)的条件下: ①连接 DF,求 tan∠FDE 的值; ②试探究在直线 l 上,是否存在点 G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2015 年辽宁省盘锦市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序 号涂在答题卡上,每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分) (2015?盘锦)﹣ 的相反数是( A.2 B.﹣2 C.
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D.﹣

【考点】14:相反数.

【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答. 【解答】解:﹣ 的相反数是 . 故选 C. 【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.

2. (3 分) (2015?盘锦)宇宙现在的年龄约为 200 亿年,200 亿用科学记数法表 示为( ) B.2×1010 C.200×108
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A.0.2×1011

D.2×109

【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.

【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. 确 定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点 移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 200 亿用科学记数法表示为:2×1010. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

3. (3 分) (2015?盘锦)下列计算正确的是( A.x4+x4=x16B. (﹣2a)2=﹣4a2 C.x7÷x5=x2
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) D.m2?m3=m6

【考点】48:同底数幂的除法;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂 的乘方与积的乘方.
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【分析】根据合并同类项法则,积的乘方和幂的乘方,同底数幂的除法、乘法分 别求出每个式子的值,再判断即可. 【解答】解:A、结果是 2x4,故本选项错误; B、结果是 4a2,故本选项错误; C、结果是 x2,故本选项正确; D、结果是 x5,故本选项错误; 故选 C. 【点评】本题考查了合并同类项法则,积的乘方和幂的乘方,同底数幂的除法、 乘法的应用,能根据法则求出每个式子的值是解此题的关键.

4. (3 分) (2015?盘锦) 一个几何体的三视图如图所示, 那么这个几何体是 (



A.圆锥

B.圆柱

C.长方体 D.三棱柱
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【考点】U3:由三视图判断几何体.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的 图形. 【解答】解:由于俯视图为三角形.主视图为两个长方形和左视图为长方形可得 此几何体为三棱柱. 故选:D. 【点评】 考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间 想象能力方面的考查.

5. (3 分) (2015?盘锦)把不等式组 是( )

的解集表示在数轴上,正确的

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A.

B.

C.

D.
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【考点】C4:在数轴上表示不等式的解集;CB:解一元一次不等式组.

【分析】先求出不等式组的解集,再根据数轴上不等式的解集的表示方法解答. 【解答】解: 解不等式①得,x>﹣2, 解不等式②得,x≤1, 在数轴上表示如下: 故选 B. 【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右 画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向 左画折线. . ,

6. (3 分) (2015?盘锦)有大小两种货车,2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运 货 15.5 吨,5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 35 吨.设一辆大货车一次可 以运货 x 吨, 一辆小货车一次可以运货 y 吨, 根据题意所列方程组正确的是 ( A. C. B. D.
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【考点】99:由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】设一辆大货车一次可以运货 x 吨,一辆小货车一次可以运货 y 吨,根据 2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运货 15.5 吨,5 辆大货车与 6 辆小货车一次可 以运货 35 吨,列方程组即可. 【解答】解:设一辆大货车一次可以运货 x 吨,一辆小货车一次可以运货 y 吨, 由题意得, 故选 A. 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂 题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组. .

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7. (3 分) (2015?盘锦) 甲、 乙两名同学某学期的四次数学测试成绩(单位:分) 如下表: 第一次 甲 乙 87 80 第二次 95 80 第三次 85 90 第四次 93 90

据上表计算, 甲、 乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为 S 甲 2=17、 S 乙 2=25, 下列说法正确的是( )

A.甲同学四次数学测试成绩的平均数是 89 分 B.甲同学四次数学测试成绩的中位数是 90 分 C.乙同学四次数学测试成绩的众数是 80 分 D.乙同学四次数学测试成绩较稳定 【考点】W7:方差;W1:算术平均数;W4:中位数;W5:众数.
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【分析】根据算术平均数的计算公式、中位数、众数的概念和方差的性质进行判 断即可. 【解答】解:甲同学四次数学测试成绩的平均数是 (87+95+85+93)=90,A 错 误; 甲同学四次数学测试成绩的中位数是 90 分,B 正确; 乙同学四次数学测试成绩的众数是 80 分和 90 分,C 错误; ∵S <S ,∴甲同学四次数学测试成绩较稳定,D 错误,

故选:B. 【点评】本题考查的是算术平均数、中位数、众数和方差的计算和性质,掌握它 们的概念、性质和计算公式是解题的关键.

8. (3 分) (2015?盘锦)如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对 称轴是直线 x=﹣2.关于下列结论:①ab<0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c<0; ④b﹣4a=0; ⑤方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0, x2=﹣4, 其中正确的结论有 ( )

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A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ 【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
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【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结 论进行判断. 【解答】解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵﹣ =﹣2,

∴b=4a,ab>0, ∴①错误,④正确, ∵抛物线与 x 轴交于﹣4,0 处两点, ∴b2﹣4ac>0,方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0,x2=﹣4, ∴②⑤正确, ∵当 x=﹣3 时 y>0,即 9a﹣3b+c>0, ∴③错误, 故正确的有②④⑤. 故选:B. 【点评】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式以及特殊值的熟 练运用

9. (3 分) (2015?盘锦)如图,从一块直径是 8m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角 为 90°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,圆锥的高是( )m.

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A.4

B.5

C.

D.2
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【考点】MP:圆锥的计算.

【分析】 首先连接 AO, 求出 AB 的长度是多少; 然后求出扇形的弧长

为多少,

进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少;最后应用勾股定理,求出圆锥的高 是多少即可. 【解答】解:如图 1,连接 AO,

∵AB=AC,点 O 是 BC 的中点, ∴AO⊥BC, 又∵∠BAC=90°, ∴∠ABO=∠AC0=45°, ∴AB= ∴ = =2 (m) , π(m) ,

∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是: 2 π÷2π= (m) , = (m) .

∴圆锥的高是: 故选:C.

【点评】此题主要考查了圆锥的计算,要熟练掌握,解答此题的关键是求出扇形 围成的圆锥的底面半径是多少.

10. (3 分) (2015?盘锦)如图,边长为 1 的正方形 ABCD,点 M 从点 A 出发以
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每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动,点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的 速度沿 A→D→C→B 的路径向点 B 运动,当一个点到达点 B 时,另一个点也随之 停止运动,设△AMN 的面积为 s,运动时间为 t 秒,则能大致反映 s 与 t 的函数 关系的图象是( )

A.

B.
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C.

D.

【考点】E7:动点问题的函数图象. 【专题】16 :压轴题.

【分析】根据题意,分 3 种情况: (1)当点 N 在 AD 上运动时; (2)当点 N 在 CD 上运动时; (3)当点 N 在 BC 上运动时;求出△AMN 的面积 s 关于 t 的解析 式,进而判断出能大致反映 s 与 t 的函数关系的图象是哪个即可. 【解答】解: (1)如图 1, 当点 N 在 AD 上运动时, s= AM?AN= ×t×3t= t2.

(2)如图 2, 当点 N 在 CD 上运动时, s= AM?AD=t×1 = t.

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(3)如图 3,

当点 N 在 BC 上运动时, s= AM?BN= ×t×(3﹣3t)=﹣ t2+ t 综上可得,能大致反映 s 与 t 的函数关系的图象是选项 D 中的图象. 故选:D. 【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象,要熟练掌握,解答此题的关键是 要明确:函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息, 不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图 象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.

二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11. (3 分) (2015?盘锦)计算 【考点】79:二次根式的混合运算. 【专题】11 :计算题. 【分析】先根据二次根式的性质化简,然后合并即可. 【解答】解:原式= =4 ﹣1 . ﹣1. ﹣1+3
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的值是

4

﹣1 .

故答案为 4

【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进
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行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.

12. (3 分) (2015?盘锦)方程(x+2) (x﹣3)=x+2 的解是 【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
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x1=﹣2,x2=4



【分析】先移项,再提取公因式,求出 x 的值即可. 【解答】解:原式可化为(x+2) (x﹣3)﹣(x+2)=0, 提取公因式得, (x+2) (x﹣4)=0, 故 x+2=0 或 x﹣4=0,解得 x1=﹣2,x2=4. 故答案为:x1=﹣2,x2=4. 【点评】 本题考查的是解一元二次方程,熟知因式分解法解一元二次方程的一般 步骤是解答此题的关键.

13. (3 分) (2015?盘锦)函数 y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式 kx+b <0 的解集为 x<1 .

【考点】FD:一次函数与一元一次不等式.

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【分析】由图知:①当 x>1 时,y>0;②当 x<1 时,y<0;因此当 y<0 时,x <1;由此可得解. 【解答】解:根据图示知:一次函数 y=kx+b 的图象 x 轴、y 轴交于点(1,0) , (0,﹣2) ; 即当 x<1 时,函数值 y 的范围是 y<0; 因而当不等式 kx+b<0 时,x 的取值范围是 x<1. 故答案为:x<1 【点评】本题主要考查的是关于一次函数与一元一次不等式的题目,在解题时, 认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系.理解一次函数的增 减性是解决本题的关键.
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14. (3 分) (2015?盘锦)如图,已知△ABC 中,AB=5,AC=3,点 D 在边 AB 上, 且∠ACD=∠B,则线段 AD 的长为 .

【考点】S9:相似三角形的判定与性质.

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【分析】由已知先证△ABC∽△ACD,再根据相似三角形的性质,相似三角形的 对应边成比例,即可求出 AD 的值. 【解答】解:∵∠A=∠A, ∠ACD=∠B, ∴△ABC∽△ACD, ∴ = ,

∵AB=5,AC=3, ∴ = ,

∴AD= . 故答案为 . 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似,除了要掌握定 义外,还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角,可利用数形结合思想根据 图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值.

15. (3 分) (2015?盘锦)如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠DAB=60°,E 为 BC 的 中点,在对角线 AC 上存在一点 P,使△PBE 的周长最小,则△PBE 的周长的最小 值为 +1 .

【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;L8:菱形的性质.
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【分析】连接 BD,与 AC 的交点即为使△PBE 的周长最小的点 P;由菱形的性质 得出∠BPC=90°, 由直角三角形斜边上的中线性质得出 PE=BE, 证明△PBE 是等边 三角形,得出 PB=BE=PE=1,即可得出结果. 【解答】解:连结 DE. ∵BE 的长度固定, ∴要使△PBE 的周长最小只需要 PB+PE 的长度最小即可, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC 与 BD 互相垂直平分, ∴P′D=P′B, ∴PB+PE 的最小长度为 DE 的长, ∵菱形 ABCD 的边长为 2,E 为 BC 的中点,∠DAB=60°, ∴△BCD 是等边三角形, 又∵菱形 ABCD 的边长为 2, ∴BD=2,BE=1,DE= , +1,

∴△PBE 的最小周长=DE+BE= 故答案为: +1.

【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上 的中线性质;熟练掌握菱形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.

16. (3 分) (2015?盘锦)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,斜边 AB=2,O 是 AB 的中点,以 O 为圆心,线段 OC 的长为半径画圆心角为 90°的扇形 OEF,弧 EF 经过点 C,则图中阴影部分的面积为 ﹣ .

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【考点】MO:扇形面积的计算.

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【分析】连接 OC,作 OM⊥BC,ON⊥AC,证明△OMG≌△ONH,则 S 四边形 OGCH=S
四边形 OMCN

,求得扇形 FOE 的面积,则阴影部分的面积即可求得.

【解答】解:连接 OC,作 OM⊥BC,ON⊥AC. ∵CA=CB,∠ACB=90°,点 O 为 AB 的中点, ∴OC= AB=1,四边形 OMCN 是正方形,OM= 则扇形 FOE 的面积是: = . .

∵OA=OB,∠AOB=90°,点 D 为 AB 的中点, ∴OC 平分∠BCA, 又∵OM⊥BC,ON⊥AC, ∴OM=ON, ∵∠GOH=∠MON=90°, ∴∠GOM=∠HON, 则在△OMG 和△ONH 中, , ∴△OMG≌△ONH(AAS) , ∴S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN=( 则阴影部分的面积是: 故答案为: ﹣ . )2= . ﹣ .

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【点评】 本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证 明△OMG≌△ONH,得到 S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN 是解题的关键.

17. (3 分) (2015?盘锦)如图,直线 y=﹣3x+3 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 A, 以线段 AB 为边, 在第一象限内作正方形 ABCD, 点 C 落在双曲线 y= (k≠0) 上, 将正方形 ABCD 沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度,使点 D 恰好落在双曲线 y= (k≠0)上的点 D1 处,则 a= 2 .

【考点】GB:反比例函数综合题.

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【专题】15 :综合题;16 :压轴题. 【分析】对于直线解析式,分别令 x 与 y 为 0 求出 y 与 x 的值,确定出 A 与 B 坐 标,后根据三角形全等得出 C 点坐标,进而求出反比例函数的解析式,进而确定 D 点的坐标和 D1 点的坐标,即可确定出 a 的值. 【解答】解:对于直线 y=﹣3x+3, 令 x=0,得到 y=3;令 y=0,得到 x=1,即 A(0,3) ,B(1,0) , 过 C 作 CE⊥x 轴,交 x 轴于点 E,过 A 作 AF∥x 轴,过 D 作 DF 垂直于 AF 于 F, 如图所示, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠OAB+∠ABO=90°,∠ABO+∠EBC=90°,
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∴∠OAB=∠EBC, 在△AOB 和△BEC 中, , ∴△AOB≌△BEC(AAS) , ∴BE=AO=3,CE=OB=1, ∴C(4,1) , 把 C 坐标代入反比例解析式得:k=4,即 y= , 同理得到△DFA≌△BOA, ∴DF=BO=1,AF=AO=3, ∴D(3,4) , 把 y=4 代入反比例解析式得:x=1,即 D1(1,4) , 则将正方形 ABCD 沿 x 轴负方向平移 2 个单位长度, 使点 D 恰好落在双曲线 y= (k≠0)上的点 D1 处,即 a=2, 故答案为:2.

【点评】此题属于反比例综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐 标与图形性质,正方形的性质,待定系数法确定反比例函数解析式,以及平移性 质,熟练掌握性质是解本题的关键.

18. (3 分) (2015?盘锦)如图,在平面直角坐标系中,等腰△OBC 的边 OB 在 x 轴上, OB=CB, OB 边上的高 CA 与 OC 边上的高 BE 相交于点 D, 连接 OD, AB= ,

∠CBO=45°, 在直线 BE 上求点 M, 使△BMC 与△ODC 相似, 则点 M 的坐标是 (1, ﹣1)或(﹣ , ) .
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【考点】S9:相似三角形的判定与性质;F8:一次函数图象上点的坐标特征. 【专题】16 :压轴题.

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【分析】根据等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,可得△ODC 是等腰三 角形,先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到 AC,BC,OB,OA,OC, AD,OD,CD,BD 的长度,再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到 BM 的长度,进一步得到点 M 的坐标. 【解答】 解: ∵OB=CB, OB 边上的高 CA 与 OC 边上的高 BE 相交于点 D, AB= ∠CBO=45°, ∴AB=AC= ,OD=CD,∠BOC= =2, =67.5°, ,

在 Rt△BAC 中,BC= ∴OB=2, ∴OA=OB﹣AB=2﹣ 在 Rt△OAC 中,OC= ,

=2



在 Rt△OAD 中,OA2+AD2=OD2, (2﹣ )2+AD2=( , ﹣AD)2,

解得:AD=2﹣

∴OA=AD,∠DOA=45°, ∴OD=CD=2 ﹣2, =2 ,

在 Rt△BAD 中,BD=

①如图 1,△BMC∽△CDO 时,过 M 点作 MF⊥AB 于 F,

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=

,即

= ,



解得 BM=

∵MF⊥AB,CA 是 OB 边上的高, ∴MF∥DA, ∴△BMF∽△BDA, ∴ = = ,即 = ﹣1, = ,

解得 BF=1,MF= ∴OF=OB﹣BF=1,

∴点 M 的坐标是(1,

﹣1) ;

②如图 2,△BCM∽△CDO 时,过 M 点作 MF⊥AB 于 F,

=

,即 ,

=



解得 BM=2

∵MF⊥AB,CA 是 OB 边上的高, ∴MF∥DA, ∴△BMF∽△BDA, ∴ = = ,即 = = ,

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解得 BF=2+

,MF= ,



∴OF=BF﹣OB=

∴点 M 的坐标是(﹣



) . ﹣1)或(﹣ , ) . , ) .

综上所述,点 M 的坐标是(1, 故答案为: (1, ﹣1)或(﹣

【点评】考查了相似三角形的判定与性质,一次函数图象上点的坐标特征,等腰 三角形的性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形的性质和勾股定理,关 键是得到 BM 的长度,注意分类思想的应用.

三、解答题(19 小题 8 分,20 小题 14 分,共 22 分) 19. (8 分) (2015?盘锦) 先化简, 再求值: ﹣1. 【考点】6D:分式的化简求值;T5:特殊角的三角函数值.
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, 其中 x=2sin30°

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值代入进行计 算即可. 【解答】解:原式= = = = , + + ?

当 x=2sin30°﹣1=2× ﹣1=0 时,原式=3. 【点评】 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的 关键.

20. (14 分) (2015?盘锦)为响应国家的“一带一路”经济发展战略,树立品牌意 识,我市质检部门对 A、B、C、D 四个厂家生产的同种型号的零件共 2000 件进 行合格率检测, 通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%,并根据检测数据绘制了如 图 1、图 2 两幅不完整的统计图.
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(1)抽查 D 厂家的零件为 90° ;

500

件,扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为

(2)抽查 C 厂家的合格零件为

380

件,并将图 1 补充完整;

(3)通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家; (4)若要从 A、B、C、D 四个厂家中,随机抽取两个厂家参加德国工业产品博 览会,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概 率. 【考点】X6:列表法与树状图法;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.
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【分析】 (1)计算出 D 厂的零件比例,则 D 厂的零件数=总数×所占比例,D 厂 家对应的圆心角为 360°×所占比例; (2)C 厂的零件数=总数×所占比例; (3)计算出各厂的合格率后,进一步比较得出答案即可; (4)利用树状图法列举出所有可能的结果,然后利用概率公式即可求解. 【解答】解: (1)D 厂的零件比例=1﹣20%﹣20%﹣35%=25%, D 厂的零件数=2000×25%=500 件; D 厂家对应的圆心角为 360°×25%=90°;

(2)C 厂的零件数=2000×20%=400 件, C 厂的合格零件数=400×95%=380 件, 如图:

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(3)A 厂家合格率=630÷(2000×35%)=90%, B 厂家合格率=370÷(2000×20%)=92.5%, C 厂家合格率=95%, D 厂家合格率 470÷500=94%, 合格率排在前两名的是 C、D 两个厂家;

(4)根据题意画树形图如下:

共有 12 种情况,选中 C、D 的有 2 种, 则 P(选中 C、D)= = .

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

四、解答题(21 小题 12 分,22 小题 8 分,共 20 分) 21. (12 分) (2015?盘锦)为支援灾区,某校爱心活动小组准备用筹集的资金购 买 A、B 两种型号的学习用品共 1000 件.已知 B 型学习用品的单价比 A 型学习 用品的单价多 10 元,用 180 元购买 B 型学习用品的件数与用 120 元购买 A 型学 习用品的件数相同. (1)求 A、B 两种学习用品的单价各是多少元? (2)若购买这批学习用品的费用不超过 28000 元,则最多购买 B 型学习用品多
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少件? 【考点】B7:分式方程的应用;C9:一元一次不等式的应用.
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【分析】 (1)设 A 型学习用品单价 x 元,利用“用 180 元购买 B 型学习用品的件 数与用 120 元购买 A 型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可; (2)设可以购买 B 型学习用品 a 件,则 A 型学习用品(1000﹣a)件,根据这 批学习用品的钱不超过 28000 元建立不等式求出其解即可. 【解答】解: (1)设 A 型学习用品单价 x 元, 根据题意得: 解得:x=20, 经检验 x=20 是原方程的根, x+10=20+10=30. 答:A 型学习用品 20 元,B 型学习用品 30 元; = ,

(2)设可以购买 B 型学习用品 a 件,则 A 型学习用品(1000﹣a)件,由题意, 得: 20(1000﹣a)+30a≤28000, 解得:a≤800. 答:最多购买 B 型学习用品 800 件. 【点评】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用, 解答本题时找到等量关系是建立方程的关键.

22. (8 分) (2015?盘锦) 如图所示, 小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD、 EF. 一 天, 他在 A 处测得树顶 D 的仰角∠DAC=30°, 在 B 处测得树顶 F 的仰角∠FBE=45°, 线段 BF 恰好经过树顶 D. 已知 A、 B 两处的距离为 2 米, 两棵树之间的距离 CE=3 米,A、B、C、E 四点在一条直线上,求树 EF 的高度. ( 果保留一位小数) ≈1.7, ≈1.4,结

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【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题. 【专题】12 :应用题.

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【分析】设 CD=xm,先在 Rt△BCD 中,由于∠DBC=45°,则根据等腰直角三角形 的性质得 BC=CD=x, 再在 Rt△DAC 中, 利用正切定义得到 x+2= 即 BC=CD= ≈5.7. 【解答】解:设 CD=xm, 在 Rt△BCD 中,∵∠DBC=45°, ∴BC=CD=x, 在 Rt△DAC 中,∵∠DAC=30°, ∴tan∠DAC= ∴x+2= , +1, x, 解得 x= +1,

+1,然后在 Rt△FBE 中根据等腰直角三角形的性质得 FE=BE=BC+CE

x,解得 x= +1,

∴BC=CD=

在 Rt△FBE 中,∵∠DBC=45°, ∴FE=BE=BC+CE= +1+3≈5.7.

答:树 EF 的高度约为 5.7m. 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题:仰角是向上看的视线 与水平线的夹角; 俯角是向下看的视线与水平线的夹角.解决此类问题要了解角 之间的关系, 找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形 时, 要通过作高或垂线构造直角三角形, 另当问题以一个实际问题的形式给出时, 要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

五、解答题(本题 12 分) 23. (12 分) (2015?盘锦)如图 1,AB 为⊙O 的直径,点 P 是直径 AB 上任意一
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点, 过点 P 作弦 CD⊥AB, 垂足为 P, 过点 B 的直线与线段 AD 的延长线交于点 F, 且∠F=∠ABC. (1)若 CD=2 ,BP=4,求⊙O 的半径;

(2)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (3)当点 P 与点 O 重合时,过点 A 作⊙O 的切线交线段 BC 的延长线于点 E,在 其它条件不变的情况下,判断四边形 AEBF 是什么特殊的四边形?请在图 2 中补 全图象并证明你的结论.

【考点】MR:圆的综合题. 【专题】14 :证明题.

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【分析】 (1)根据垂径定理求得 PC,连接 OC,根据勾股定理求得即可; (2)求得△PBC∽△BFA,根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°, 即可证得结论; (3)通过证得 AE=BF,AE∥BF,从而证得四边形 AEBF 是平行四边形. 【解答】 (1)解:CD⊥AB, ∴PC=PD= CD= ,

连接 OC,设⊙O 的半径为 r,则 PO=PB﹣r=4﹣r, 在 RT△POC 中,OC2=OP2+PC2, 即 r2=(4﹣r)2+( )2,解得 r= .

(2)证明:∵∠A=∠C,∠F=∠ABC, ∴∠ABF=∠CPB, ∵CD⊥AB, ∴∠ABF=∠CPB=90°, ∴直线 BF 是⊙O 的切线;
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(3)四边形 AEBF 是平行四边形; 理由:解:如图 2 所示:∵CD⊥AB,垂足为 P, ∴当点 P 与点 O 重合时,CD=AB, ∴OC=OD, ∵AE 是⊙O 的切线, ∴BA⊥AE, ∵CD⊥AB, ∴DC∥AE, ∵AO=OB, ∴OC 是△ABE 的中位线, ∴AE=2OC, ∵∠D=∠ABC,∠F=∠ABC. ∴∠D=∠F, ∴CD∥BF, ∵AE∥BF, ∵OA=OB, ∴OD 是△ABF 的中位线, ∴BF=2OD, ∴AE=BF, ∴四边形 AEBF 是平行四边形.

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【点评】本题考查了切线的判定,勾股定理的应用,三角形相似的判定和性质, 三角形的中位线的性质, 平行四边形的判定等, 熟练掌握性质定理是解题的关键.

六、解答题(本题 14 分) 24. (14 分) (2015?盘锦) 盘锦红海滩景区门票价格 80 元/人, 景区为吸引游客, 对门票价格进行动态管理,非节假日打 a 折,节假日期间,10 人以下(包括 10 人)不打折,10 人以上超过 10 人的部分打 b 折,设游客为 x 人,门票费用为 y 元,非节假日门票费用 y1(元)及节假日门票费用 y2(元)与游客 x(人)之间 的函数关系如图所示. (1)a= 6 ,b= 8 ;

(2)直接写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式; (3)导游小王 6 月 10 日(非节假日)带 A 旅游团,6 月 20 日(端午节)带 B 旅游团到红海滩景区旅游,两团共计 50 人,两次共付门票费用 3040 元,求 A、 B 两个旅游团各多少人?

【考点】8A:一元一次方程的应用;FH:一次函数的应用. 【专题】16 :压轴题.
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【分析】 (1) 根据函数图象, 用购票款数除以定价的款数, 计算即可求出 a 的值; 用第 11 人到 20 人的购票款数除以定价的款数,计算即可求出 b 的值; (2)利用待定系数法求正比例函数解析式求出 y1,分 x≤10 与 x>10,利用待 定系数法求一次函数解析式求出 y2 与 x 的函数关系式即可; (3)设 A 团有 n 人,表示出 B 团的人数为(50﹣n) ,然后分 0≤n≤10 与 n>10 两种情况,根据(2)的函数关系式列出方程求解即可. 【解答】解: (1)由 y1 图象上点(10,480) ,得到 10 人的费用为 480 元, ∴a= ×10=6;

由 y2 图象上点(10,800)和(20,1440) ,得到 20 人中后 10 人费用为 640 元, ∴b= ×10=8;

(2)设 y1=k1x, ∵函数图象经过点(0,0)和(10,480) , ∴10k1=480, ∴k1=48, ∴y1=48x; 0≤x≤10 时,设 y2=k2x, ∵函数图象经过点(0,0)和(10,800) , ∴10k2=800, ∴k2=80, ∴y2=80x, x>10 时,设 y2=kx+b, ∵函数图象经过点(10,800)和(20,1440) , ∴ ∴ , ,

∴y2=64x+160; ∴y2= ;

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(3)设 B 团有 n 人,则 A 团的人数为(50﹣n) , 当 0≤n≤10 时,80n+48×(50﹣n)=3040, 解得 n=20(不符合题意舍去) , 当 n>10 时,800+64×(n﹣10)+48×(50﹣n)=3040, 解得 n=30, 则 50﹣n=50﹣30=20. 答:A 团有 20 人,B 团有 30 人. 【点评】 本题考查了一次函数的应用, 主要利用了待定系数法求一次函数解析式, 准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键, (3)要注意分情况讨 论.

七、解答题(本题 14 分) 25. (14 分) (2015?盘锦)如图 1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC= ∠EAD=90°,点 B 在线段 AE 上,点 C 在线段 AD 上. (1)请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系: BE=CD 且 BE⊥CD ;

(2)如图 2,将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角 α(0<α<360°) , ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图 2 证明;若不成立,请说明理由; ②当 AC= ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角 α,使以 A、 B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角 α 的度数; 若不存在,请说明理由.

【考点】RB:几何变换综合题. 【专题】16 :压轴题.

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【分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质可得 AB=AC,AE=AD,再根据等量关系 可得线段 BE 与线段 CD 的关系; (2)①根据等腰直角三角形的性质可得 AB=AC,AE=AD,根据旋转的性质可得
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∠BAE=∠CAD, 根据 SAS 可证△BAE≌△CAD, 根据全等三角形的性质即可求解; ②根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°,再根据等腰直角三角形的性质 即可求解. 【解答】解: (1)∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°, ∴AB=AC,AE=AD, ∴AE﹣AB=AD﹣AC, ∴BE=CD 且 BE⊥CD;

(2)①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°, ∴AB=AC,AE=AD, 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD, 在△BAE 与△CAD 中, , ∴△BAE≌△CAD(SAS) ∴BE=CD;



∵以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四

边形,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ADC=45°, ∵AC= ED, ∴AC=CD, ∴∠CAD=45° 或 360°﹣90°﹣45°=225°,或 360°﹣45°=315°
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∴角 α 的度数是 45°或 225°或 315°. 故答案为:BE=CD 且 BE⊥CD. 【点评】考查了几何变换综合题,涉及的知识点有:等腰直角三角形的性质,等 量代换,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,综 合性较强,难度中等.

七、解答题(本题 14 分) 26. (14 分) (2015?盘锦)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A(﹣1,0)和 B(5,0)两点,交 y 轴于点 C,点 D 是线段 OB 上一动点, 连接 CD,将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DE,过点 E 作直线 l⊥x 轴 于 H,过点 C 作 CF⊥l 于 F. (1)求抛物线解析式; (2)如图 2,当点 F 恰好在抛物线上时,求线段 OD 的长; (3)在(2)的条件下: ①连接 DF,求 tan∠FDE 的值; ②试探究在直线 l 上,是否存在点 G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】HF:二次函数综合题. 【专题】16 :压轴题.

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【分析】 (1)利用待定系数法求得即可; (2) 根据 C 的纵坐标求得 F 的坐标,然后通过△OCD≌△HDE,得出 DH=OC=3, 即可求得 OD 的长; (3)①先确定 C、D、E、F 四点共圆,根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF,由于
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tan∠ECF=

= = ,即可求得 tan∠FDE= ;

②连接 CE, 得出△CDE 是等腰直角三角形, 得出∠CED=45°, 过 D 点作 DG1∥CE, 交直线 l 于 G1, 过 D 点作 DG2⊥CE, 交直线 l 于 G2, 则∠EDG1=45°, ∠EDG2=45°, 求得直线 CE 的解析式为 y=﹣ x+3,即可设出直线 DG1 的解析式为 y=﹣ x+m, 直线 DG2 的解析式为 y=2x+n, 把 D 的坐标代入即可求得 m、 n, 从而求得解析式, 进而求得 G 的坐标. 【解答】解: (1)如图 1,

∵抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A(﹣1,0)和 B(5,0)两点, ∴ ,

解得



∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+

x+3;

(2)如图 2,

∵点 F 恰好在抛物线上,C(0,3) ,
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∴F 的纵坐标为 3, 把 y=3 代入 y=﹣ x2+ 解得 x=0 或 x=4, ∴F(4,3) ∴OH=4, ∵∠CDE=90°, ∴∠ODC+∠EDH=90°, ∴∠OCD=∠EDH, 在△OCD 和△HDE 中, , ∴△OCD≌△HDE(AAS) , ∴DH=OC=3, ∴OD=4﹣3=1; x+3 得,3=﹣ x2+ x+3;

(3)①如图 3,连接 CE,DF,

△OCD≌△HDE, ∴HE=OD=1, ∵BF=OC=3, ∴EF=3﹣1=2, ∵∠CDE=∠CFE=90°, ∴C、D、E、F 四点共圆,
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∴∠ECF=∠EDF, 在 RT△CEF 中,∵CF=OH=4, ∴tan∠ECF= = = ,

∴tan∠FDE= ; ②如图 4,连接 CE,

∵CD=DE,∠CDE=90°, ∴∠CED=45°, 过 D 点作 DG1∥CE, 交直线 l 于 G1, 过 D 点作 DG2⊥CE, 交直线 l 于 G2, 则∠EDG1=45°, ∠EDG2=45° ∵EH=1,OH=4, ∴E(4,1) , ∵C(0,3) , ∴直线 CE 的解析式为 y=﹣ x+3, 设直线 DG1 的解析式为 y=﹣ x+m, ∵D(1,0) , ∴0=﹣ ×1+m,解得 m= , ∴直线 DG1 的解析式为 y=﹣ x+ , 当 x=4 时,y=﹣ ∴G1(4,﹣ ) ; 设直线 DG2 的解析式为 y=2x+n, ∵D(1,0) ,
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+ =﹣ ,

∴0=2×1+n,解得 n=﹣2, ∴直线 DG2 的解析式为 y=2x﹣2, 当 x=4 时,y=2×4﹣2=6, ∴G2(4,6) ; 综上,在直线 l 上,是否存在点 G,使∠EDG=45°,点 G 的坐标为(4,﹣ )或 (4,6) . 【点评】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,一 次函数的解析式,三角形全等的判定和性质,等腰直角三角形的性质,平行线的 性质等,数形结合思想的应用是解题的关键.

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