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广东省广州市越秀区2016届高三8月摸底考试数学理试卷


2015 学年越秀区高三摸底考试试卷

理科数学

2015.8

本试卷共 4 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卷上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卷一并交回.
XXK]

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
2 1.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5, 且x ? Z ? , B ? x | x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? ( * )C

?

?

A. ?0,1?

B. ??1,0?

C. ??2,3, 4?

D.

?2 , 3 ,?4
om]

2. 已知 b 是实数,若 A.2

1 ? bi 是纯虚数,则 b =( * )A 2?i 1 B.-2 C. 2

D. ?

1 2

3. | sin165? | ? cos15? ? sin 255?? | sin195? | 的值是( * )D A. 0 B. ?

1 2

C.

1

D.

1 2

4. 某影院有三间放映厅,同时放映三部不同的电影,此时,甲、乙两位同学各自买票看其 中的一场, 若每位同学观看各部影片的可能性相同, 则这两位同学观看同一部影片的概 率为( * )B A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( * )B A. 6 B. 9 C. ?? D. ?? 【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 此几何体的体积为 V ?

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2

6. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? ( * )
A. 30
0

A
0

B. 60

0

C. 120

D. 150

0

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R
所以 cosA=

b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 = ,所以 A=300 ? ? 2bc 2bc 2bc 2

7. 在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB ? AC 等于( * ) D A. ?16 B. ? 8 C. 8 D. 16

uu u r uuu r

8. 给出下面的程序框图,那么输出的数是( * )D A.5050 C.2550 B.4900 D.2450

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? 9 .若椭圆 ? 1 ( m , n , p , q 均为正 m n p q
P 是两曲线的一个公共点, 数))有共同的焦点 F 1 , F2 ,
则 | PF1 | ? | PF2 | 等于( * ) C A. p2 ? m2 B. p ? m C. m ? p D. m2 ? p2

【 解 析 】 由 题 设 可 知 m ? n , 再 由 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 有 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 m 及

| PF2 |? m ? p . | PF1 | ? | PF2 |? ?2 p ,两个式子分别平方再相减即可得 | PF1 |?
10. 设抛物线 y 2 ? 8x 的准线与 x 轴交于点 P ,若过点 P 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是( * )B A.[- 讲解

1 1 , ] 2 2

B.[-1,1]

C.[-2,2]

D.[-4,4]

易知抛物线 y 2 ? 8x 的准线 x ? ?2 与 x 轴的交点为 Q (-2 , 0),于是,可设过点 Q

(-2 , 0)的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

联立 ?

? y 2 ? 8 x, ? y ? k ( x ? 2),

? k 2 x 2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0.

其判别式为 ? ? (4k 2 ? 8)2 ?16k 4 ? ?64k 2 ? 64 ? 0 ,可解得 ?1 ? k ? 1 ,应选 B.

2 11.已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ?) 的图象如图所示, f ( ) ? ? ,则 f (0) ? ( * )A 3

? 2

A. 2 3

B. ? 2 3

C. 1 2

D. ? 1 2

【解析】本题利用相关三角函数知识逐一确定相关的待定系数,进而得出答案。 不妨设 A ? 0 , ? ? 0 .依题意得 1 ? 2? ? 11? ? 7? , ? ? 3 . 2 ? 12 12
? 7? ? 11? ? ? ? 3? = A cos? ? ? ? ? ? A , cos? ? ? ? ? ? 1 ,取 ? ? ? ? , 又 f ? 12 12 ? ? f ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 ? ? ?4 ? ?4 ? ? ? ? ?
? ? 2, 3? ? ? ? ? A sin ? ? ? 2 , A ? 2 2 , f (0) ? A cos ? ? 2 2 cos? f ( ? ) ? A cos? ?? ? ? ? ? 3 ? 4? 3 2 3 3 ? 2 ?

故选 A. 12. 定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令

a ? b ? mq? np,下面说法错误的是( * )B
A.若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 C.对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) B. a ? b ? b ? a D. (a ? b) ? (a ? b) ?| a | | b |
2 2 2 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题--第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
1 13. ( x ? ) 6 的展开式中,常数项为 x
r Tr+1=(-1)r· C6 x 6 ? 3r 2

. (用数字作答)15

r 6-3r=0 ? r=2,从而得常数项 C6 =15.

2 ? ? x ? 2ax, x ? 2 14.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( f (1)) ? 3a 2 ,则 a 的取值范围是 * . x ? ?2 ? 1, x ? 2

-1<a<3. 【解析】提示: f (1) ? 3 , f (3) ? 9 ? 6a ,解不等式 9 ? 6a ? a 2 .

? x ? 2 y ? 4, ? 15. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, , ? x ? 2 ? 0, ?
则目标函数 z=3x-y 的最大值为 5 .

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z=3x-y 过点 C(2,1)时,在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

x 16. 若函数 f ( x) ? a ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )有两个零点,则实数 a 的取值范围是 * .

.w.w.k.s.5.u. c.o. m

{a | a ? 1}
x 【解析】: 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

x 有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} .

2015 年越秀区高三摸底考试 (理科)数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 A 7 D 8 D 9 C 10 B 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 15 14. (?1,3) 15. 5 16. (1, ??)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) , 4 4 4

数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。 (1)求证: {bn } 是等差数列; 解答: (1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *)
n
n ∵ bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3log 1 ( 1 4 ) ? 2 ? 3n ? 2 ,b 1 ?1
4 4

(2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn; ???? 1 分 ???? 3 分 ???? 5 分 ???? 6

1 4

∴ bn?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? (3n ? 2) ? 3(常数) ∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4


???? 7

? S n ? 1?


1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4

? 8

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) ???? 10 4 4 4 4 4 4
于是



?


1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4

???? 11

? Sn ?


2 12 n ? 8 1 n ?1 ? ? ( ) (n ? N *) 3 3 4

???? 12

18.(本小题满分 12 分) 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为

3 1 ,遇到红灯(禁止通行)的概率为 。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, 4 4

? 表示停车时已经通过的路口数,求:
(Ⅰ) ? 的概率的分布列及期望 E? ; (Ⅱ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率. 解: (Ⅰ) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4。 用 Ak 表示“汽车通过第 k 个路口时不停(遇绿灯) ” , ???? 1 分

3 (k ? 1,2,3,4), 且A1 , A2 , A3 , A4 独立. 4 1 故 P (? ? 0) ? P ( A1 ) ? , 4
则 P( Ak ) ?

???? 2 分

?? ? 3 1 3 P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ) ? ? ? , 4 4 16
?? ? 3 1 9 P(? ? 2) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ( )2 ? , 4 4 64

?? ? 3 1 27 P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( )3 ? , 4 4 256

3 81 P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( )4 ? . 4 256
从而 ? 有分布列:

???? 4 分

?
P

0
1 4

1
3 16

2
9 64

3
27 256

4
81 256

???? 6 分

E? ? 0 ?
(Ⅱ)P(?

1 3 9 27 81 525 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . 4 16 64 256 256 256

???? 8 分

? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? 1 ?

81 175 ? . 256 256
175 . 256

???? 11 分

答: 停车时最多已通过 3 个路口的概率为

???? 12 分

19.(本小题满分12分) 如图 4,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证: AF // 平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 解法一:(Ⅰ) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? ???? 2 分 C H G A M B E

F

D

1 DE . 2

???? 1 分

1 DE ,∴ GF ? AB . 2
???? 3 分 ???? 4 分

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (Ⅱ) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ? AF . 又 CD ? DE ? D ,故 AF ? 平面 CDE . ∵ BG // AF ,∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . (Ⅲ) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ? 平面 CDE , ∴ FH ? 平面 BCE .

????8 分

∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,则 FH ? CF sin 45? ?

????10 分

2 a, 2

BF ? AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a) 2 ? 2a ,
在 R t△ FHB 中, sin ?FBH ?

FH 2 . ? BF 4 2 4
????12 分

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 解法二:

设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,

0, 0 ? ,C ? 2a, 0, 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a . 则 A ? 0,
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ?

?

? ?

?

?3 ? 3 ? 2 a, 2 a, 0 ? ?. ? ?

(Ⅰ) 证: AF ? ?

??? ?

? ??? ? ?3 ? ??? 3 a , a , 0 , BE ? a , 3 a , a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , ? ?2 ? 2 ? ?

?

?

∵ AF ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? BE ? BC , AF ? 平面 BCE , 2

?

?

∴ AF // 平面 BCE .

????4 分

(Ⅱ) 证:∵ AF ? ?

? ??? ? ?3 ? ??? 3 a , a , 0 , CD ? ? a , 3 a , 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , ? ?2 ? 2 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED . ??? ? ∴ AF ? 平面 CDE , 又 AF // 平面 BCE , ??? ?

?

?

∴平面 BCE ? 平面 CDE .

????8 分

(Ⅲ) 解:设平面 BCE 的法向量为 n ? 由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得:

?

? x, y, z ? ,

? ??? ?

? ??? ?

? x ? 3 y ? z ? 0, 2x ? z ? 0 ,取 n ? 1, ? 3, 2 .

?

?

???? 9 分

又 BF ? ? ?

??? ?

?3 ?2

a,

? 3 a, ? a ? ?, 2 ?

????10 分

设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? , 则 sin ?

?

| BF ? n | | BF | ? | n |

?

2a 2 ? . 4 2a ? 2 2
2 . 4
????12 分

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l: x ? y ? 2 ? 0 与以原点为 2 3 a b
(1)求椭圆 C1 的方程;

圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直直线 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 A( x1 ,2) 、 B( x 2 , y 2 ) 、C( x0 , y 0 ) 是 C2 上不同的点,且 AB ? BC ,求 y0 的取值范围. 解:(Ⅰ)

c a ?b 1 3 ? , ,∴ e 2 ? 2 ? e? 2 3 3 a a
2 2 2

∴ 2a ? 3b
2

2

????1 分

∵ 直线 l: x ? y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切, ∴

2 ? b ,∴ b ? 2 ,??2 分 2
????4 分

∴ a ? 3.
2

∴ 椭圆 C1 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

(Ⅱ) ∵ MP ? MF2 ,∴ 动点 M 的轨迹是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,??5 分 由

p ?1 得 p ? 2 , 2

???6 分 ????7 分

∴ 点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4x . (Ⅲ) 由(Ⅱ)知 A(1, 2) , B (

2 y2 y2 , y2 ) , C ( 0 , y0 ) , (其中 y0 ? y2 ? 2 ) ,???8 分 4 4

2 2 2 ??? ? ??? ? y0 ? y2 y2 ?4 , y0 ? y2 ) , , y2 ? 2) , BC ? ( 则 AB ? ( 4 4

???9 分

2 2 2 ??? ? ??? ? ? y2 y2 ? 4 y0 ? ? ( y 2 ? 2)( y 0 ? y 2 ) ? 0 又∵ AB ? BC ,∴ AB ? BC ? 0 , 即

4

4

整理得 y2 ? ( y0 ? 2) y2 ? 16 ? 2 y0 ? 0 ,
2

???10


2 而此方程有解,∴ ? ? ( y0 ? 2) ? 4 ? (16 ? 2 y0 ) ? 0 ,解得 y 0 ? ?6 或 y 0 ? 10 ,?11

分 检验:当 y0 ? ?6 时, y2 ? 2 , 不符合题意. ???12

∴点 C 的纵坐标 y0 的取值范围是 (??, ?6) ? [10, ??) 分 21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax . (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)求函数 f ( x) 在[0,1]上的最小值。 解: (Ⅰ)依题意有 x ? 2 , f ?( x ) ? a ? 分 过点 (1, f (1)) 的直线斜率为 a ? 1 , 分 由已知可得,a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1

1 x?2

???? 1

???? 2

???? 3 分

ax ? 2a ? 1 1 1 ? a[ x ? (2 ? )] ? (Ⅱ) f ?( x) ? x?2 a x?2 1 当 a ? 0 时, 2 ? ? 2 a


???? 5

1 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 2 ? ? x ? 2 a a 1 1 所以 f ( x) 的增区间为 (?? ,2 ? ) , 减区间是 ( 2 ? ,2) a a 1 1 (Ⅲ)当 2 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在[0,1]上是减函数 a 2
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ? 所以 f ( x) 的最小值为 f (1) ? a

????7 分

????8

分 当0 ? 2 ?

1 1 ? 1即 ? a ?1时 a 2 1 1 f ( x) 在 (0,2 ? ) 上是增函数,在 ( 2 ? ,1) 是减函数 a a
????9

所以需要比较 f (0) ? ln 2 和 f (1) ? a 两个值的大小 分 因为 e ? 3 ? 2 ? e ,所以 ∴ 当
1 2 1 2

1 ? ln 3 ? ln 2 ? ln e ? 1 2

1 ? a ? ln 2 时最小值为 a ,当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 ln 2 2 1 当 2 ? ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[0,1]上是增函数,所以最小值为 ln 2 . ??11 分 a
综上,当 0 ? a ? ln 2 时, f ( x) 为最小值为 a 当 a ? ln 2 时, f ( x) 的最小值为 ln 2 分 ????12

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一题目计分,做答时,请写清题号. 22(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 5,以 ?ABC 的边 BC 为直径作圆 O 交 AC 于 D ,过 A 点作 AE ? BC 于 E , AE 交圆 O 于点 G ,交 BD 于点 F . (Ⅰ)证明: ?FBE ? ?CAE ; (Ⅱ)证明: GE ? EF ? EA .
2

A

G D F ???? 2 分 B . O E C

证明: (Ⅰ)∵ AE ? BC , ∴ ?BEF ? ?AEC ? 90? ∵ BC 为直径,∴ ?BDC ? 90? ∴ ?FBE ? ?ACE ? 90? , ?CAE ? ?ACE ? 90? ∴

?FBE ? ?CAE

???? 4 分 ???? 5 分

图5

∴ ?FBE ? ?CAE ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得

EF BE ? , ∴ BE ? EC ? EF ? EA EC AE

???? 7 分

连接 BG 和 CG ,∵ BC 是直径,∴ ?BGC ? 90? ,而 AE ? BC , 由射影定理得, GE ? BE ? EC
2

???? 9 分 ???? 10 分

∴ GE ? EF ? EA .
2

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? x ? t cos , ? ? 3 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数, t ? 0 ) ,以坐 ? y ? t sin ? , ? 3 ?
标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? , 曲线 C3 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 8 ? 0 .
2

(Ⅰ)求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 ,0 ? ? ? 2? ) ; (Ⅱ)若点 P 是曲线 C3 上一动点,求点 P 到曲线 C1 的最短距离. 解: (Ⅰ)曲线 C1 与 C2 的普通方程分别为 y ? 3x ( x ? 0 ) , x 2 ? y 2 ? 2 y ??? 2 分

? ? y ? 3x 解方程组 ? ,得 2 2 ? ?x ? y ? 2 y

? x ? ? ? 2 ? ?y ? 2 ? ?

3 2 , ? x1 ? 0 (舍去) ? 3 ? y1 ? 0 2

???? 4 分

∴ 曲线 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 3,

?
3

)

???? 6 分

(Ⅱ)曲线 C3 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,即 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1, 圆心为 (3, 0) ,半径 r ? 1 , ∵圆心 (3, 0) 到直线 C1 : y ? 3x 的距离为 d ? ???? 7 分

|3 3 ?0| 3 3 ? 2 2 3 3?2 . 2

???? 9 分

∴曲线 C3 上的动点 P 到曲线 C1 的最短距离为 d ? r ? 24(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? 1 ,证明:∵ (Ⅰ) (1 ? )(1 ? ) ? 9 ; (Ⅱ) (ac ? bd )(bc ? ad ) ? cd .

???? 10 分

1 a

1 b

证明: (Ⅰ)∵ a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? 1 , ∴ (1 ? )(1 ? ) ? (1 ?

???? 1 分 ???? 2 分 ???? 3 分

a?b a?b )(1 ? ) a b b a ? ( 1? 1 ? )? ( 1? 1 ) a b 1 a 1 b

3 a) ?9 ? (3 ? 3 b a )(3 ? b

∴ (1 ? )(1 ? ) ? 9 ; (Ⅱ)∵ a, b, c, d 均为正数,∴ ac, bd , bc, ad 也均为正数, ∴ (ac ? bd )(bc ? ad ) ? (( ac )2 ? ( bd )2 )(( ad )2 ? ( bc )2 )

1 a

1 b

???? 5 分 ???? 6 分 ???? 7 分 ???? 8 分 ???? 9 分

? (( ac ? ad ) ? ( bd ? bc ))2
? cd (a ? b)2
∵ a ? b ? 1, ∴ (ac ? bd )(bc ? ad ) ? cd .

???? 10 分


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