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2012新课标全国卷理科数学解析版


1 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

2012 年新课标全国卷理科数学 (适用地区:豫 晋 疆 宁 吉 黑 蒙 冀 滇) 第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求 的. 1.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={( x , y )| x ? A , y ? A , x ? y ? A }, 则 B 中包含元素的个数为( ) A.3 B.6

C.8

D.10

2.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 3.下面是关于复数 z ? B.10 种 ) D.8 种

C.9 种

2 的四个命题: ?1 ? i
) B. p1 , p2 C. p2 , p4 D. p3 , p4

p1 : | z |? 2 ; p2 : z 2 ? 2i ; p3 : z 的共轭复数为 1 ? i ; p4 : z 的虚部为 ?1 。
其中的真命题为( A. p2 , p3 4.设 F 1 、 F2 是椭圆 E:

3a x2 y 2 ? 2 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b
) 开始 输入 N , a1 , a2 ,…, aN

?F2 PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(
1 2 3 C. 4
A. B.

2 3 4 D. 5


k ? 1 , A ? a1 , B ? a1

5.已知{ an }为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A.7 B.5 C.-5

x ? ak
D.-7 6.如果执行右边和程序框图,输入正整数 N ( N ? 2 )和 实数 a1 , a2 ,…, aN ,输出 A,B,则( A. A ? B 为 a1 , a2 ,…, aN 的和 B. )

k ? k ?1


x ? A?


A? x



A? B 为 a1 , a2 ,…, aN 的算术平均数 2

x ? B?


B?x

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,…, aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,…, aN 中最小的数和最大的数

k ? N? 否
是 输出 A,B 结束

2 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

7. 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 (



A.6 C.12

B.9 D.15

8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,

| AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为(
A. 2 B. 2 2 9.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ? A.[

) C.4 D.8 )

?
4

) 在(

1 5 , ] 2 4

B.[

1 3 , ] 2 4

? , ? )上单调递减,则 ? 的取值范围是( 2 1 C. (0, ] D. (0,2] 2


10.已知函数 f ( x) ? y

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln( x ? 1) ? x
y
1 O 1

y y x
1 1

1

O 1 x B. C. ) C.

O 1 A.

x

O 1

x

D.

11.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A.

2 6

B.

3 6

2 3

D.

2 2


12.设点 P 在曲线 y ? A. 1 ? ln 2

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为( 2
B. 2(1 ? ln 2) C. 1 ? ln 2

D. 2(1 ? ln 2)

3 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

第Ⅱ卷(共 90 分)
本试卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a , b 夹角为 45°,且 | a |? 1 , | 2a ? b |? 10 ,则 | b |? _________。

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 14.设 x , y 满足约束条件 ? , ?x ? 0 ? ?y ? 0
则 z ? x ? 2 y 的取值范围为___________。

15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接 元件1 而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元 元件3 件 3 正常工作,则部件正常工作。设三个 元件2 电子元件的使用寿命(单位:小时)均服 从正态分布 N(1000,502) ,且各个元件 能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________。 16.数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为____________。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 18. (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当 天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位: 枝, n ? N )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,

4 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。

19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小。

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD。 2 C1
A1

B1

D C A
20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。

B

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ' (1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x 。 2

(1)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

5 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE 交 ?ABC 的外接圆于 F , G 两点。若 CF ∥ AB ,证明: (1) CD ? BC ; G (2) ?BCD ∽ ?GBD 。
A

D

E

F

B

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ? y ? 3 sin ?

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围。
2 2 2 2

? ) 。 3

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | 。 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

6 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

2012 年新课标全国卷理科数学试卷详解
1、 【解析】由集合 B 可知, x ? y ,因此 B={(2,1) , (3,2) , (4,3) , (5,4) , (3,1) , (4,2) , (5,3) , (4,1) , (5,2) , (5,1)},B 的元素 10 个,所以选择 D。
1 2 2、 【解析】先安排甲组,共有 C2 ? C4 ? 12 种,再安排乙组,将剩余的 1 名教师和 2 名学生安排到乙

组即可,共有 1 种,根据乘法原理得不同的安排方案共有 12 种,故选择 A。 3、 【解析】因为 z ?

2 2(?1 ? i) ? ? ?1 ? i ,所以 | z |? 2 , z 2 ? (?1 ? i)2 ? 2i , ?1 ? i (?1 ? i)(?1 ? i)

z 的共轭复数为 ?1 ? i , z 的虚部为 ?1 ,所以 p2 , p4 为真命题,故选择 C。
4、 【解析】如图所示, ?F2 PF1 是等腰三角形,

?F2 F1P ? ?F2 PF1 ? 30? , | F2 P |?| F1F2 |? 2c , ?PF2Q ? 60? , ?F2 PQ ? 30? , | F2Q |? c ,又 | F2Q |?
所以

3a ?c, 2

3a 3 c 3 ? c ? c ,解得 c ? a ,因此 e ? ? ,故选择 C。 4 2 a 4

5、 【解析】因为{ an }为等比数列, 所以由已知得 ?

?a4 ? a7 ? 2 , a a ? a a ? ? 8 5 6 ? 4 7

解得 ?

?a4 ? ?2 ?a4 ? 4 或? , ?a7 ? 4 ?a7 ? ?2

?a1 ? ?8 ?a1 ? 1 ? 所以 ? 3 或? 3 1, q ?? ?q ? ?2 ? ? 2
因此 a1 ? a10 ? a1 (1 ? q9 ) ? ?7 , ,故选择 D。 6、 【解析】由程序框图可知,A 表示 a1 , a2 ,…, aN 中最大的数, B 表示 a1 , a2 ,…, aN 中最小的数,故选择 C。 7、 【解析】由三视图可知,该几何体为 三棱锥 A-BCD, 底面△BCD 为 底边为 6,高为 3 的等腰三角形, 侧面 ABD⊥底面 BCD, AO⊥底面 BCD, 因此此几何体的体积为

A

B C

O

D

7 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

1 1 V ? ? ( ? 6 ? 3) ? 3 ? 9 ,故选择 B。 3 2

x2 y 2 8、 【解析】设等轴双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 , a a
即 x2 ? y 2 ? a2 ( a ? 0 ) , 抛物线 y 2 ? 16 x 的准线方程为 x ? ?4 ,

? x2 ? y 2 ? a2 联立方程 ? ,解得 y 2 ? 16 ? a 2 , ? x ? ?4
因为 | AB |? 4 3 , 所以 | AB | ? (2 | y |) ? 4 y ? 48 ,从而 y ? 12 ,
2 2 2 2
2 2 所以 16 ? a ? 12 , a ? 4 , a ? 2 ,

因此 C 的实轴长为 2a ? 4 ,故选择 C。 9、 【解析】因为 ? ? 0 ,

?
2

? x ? ? ,所以 ? ?

?
2

?

?
4

? ?x ?

?
4

? ? ?? ?

?
4



因为函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?
4

) 在(

? , ? )上单调递减, 2

? ? ? ? ?? ? ? ? 1 5 ? 2 4 2 所以 ? ,解得 ? ? ? ,故选择 A。 2 4 ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? 4 2
10、 【解析】 y ? f ( x) 的定义域为 {x | x ? ?1 且 x ? 0} ,排除 D;

1 ? 1) x x ?1 ? 因为 f '( x) ? , 2 [ln( x ? 1) ? x] ( x ? 1)[ln( x ? 1) ? x]2 ?(
所以当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , y ? f ( x) 在(-1,0)上是减函数; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , y ? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。排除 A、C,故选择 B。 11、 【解析】如图所示,根据球的性质, 知 OO1 ? 平面 ABC ,则 OO1 ? O1C 。 在直角 ?OO1C 中, OC ? 1 , O1C ?
S

3 , 3

O

所以 OO1 ?

OC 2 ? O1C 2 ? 1 ? (

3 2 6 。 ) ? 3 3
B O1 A C

因此三棱锥 S-ABC 的体积

8 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

1 3 6 2 ,故选择 A。 V ? 2VO ? ABC ? 2 ? ? ? ? 3 4 3 6
1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于直线 y ? x 对称。 2 1 x 问题转化为求曲线 y ? e 上点 P 到直线 y ? x 的距离的最小值 d ,则 | PQ | 的最小值为 2 d 。 2
12、 【解析】函数 y ? (用切线法) : 设直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 因为 y ' ? 得

1 x 1 e 相切于点 P(t , et ) , 2 2

1 x e ,所以根据导数的几何意义, 2

1 t e ? 1 , t ? ln 2 , 2

所以切点 P(ln 2,1) ,从而 b ? 1 ? ln 2 , 所以 y ? x ? 1 ? ln 2 因此曲线 y ?

1 x e 上点 P 到直线 y ? x 2 的距离的最小值 d 为直线

y ? x ? 1 ? ln 2 与直线 y ? x 的距离,
从而 d ?

1 ? ln 2 ,所以 | PQ |min ? 2d ? 2(1 ? ln 2) ,故选择 B。 2

13、 【答案】 3 2 。 【解析】由已知 a ? b ?| a | ? | b | ? cos 45? ?

2 |b|。 2 因为 | 2a ? b |? 10 ,所以 4 | a |2 ?4a ? b? | b |2 ? 10 ,

4

即 | b |2 ?2 2 | b | ?6 ? 0 , 解得 | b |? 3 2 。 14、 【答案】[-3,3]。 【解析】 可行域如右图所示。 将目标函数 z ? x ? 2 y 化为 y ?

3

x-y=-1 x+y=3
2

B

1 1 x? z。 2 2

C
1

显然当 z ? x ? 2 y 过点 B(1,2)时, z min ? 1 ? 4 ? ?3 ; 当 z ? x ? 2 y 过点 A(3,0)时, z max ? 3 ? 0 ? 3 。 因此 z ? x ? 2 y 的取值范围为[-3,3]。
6 4 2

O

2

A

4

15、 【答案】

3 。 8

1

【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率均为

1 。 2 2 1 1 3 因此该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 P ? (1 ? ) ? ? 。 4 2 8
3

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16、 【答案】 1830 。 【解析】因为 an?1 ? (?1) n an ? 2n ?1 , 所以 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 3 , a4 ? a3 ? 5 , a5 ? a4 ? 7 , a6 ? a5 ? 9 , a7 ? a6 ? 11 , ……, a58 ? a57 ? 113 , a59 ? a58 ? 115 , a60 ? a59 ? 117 。 由 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 3 可得 a1 ? a3 ? 2 ; 由 a6 ? a5 ? 9 , a7 ? a6 ? 11 可得 a5 ? a7 ? 2 ; …… 由 a58 ? a57 ? 113 , a59 ? a58 ? 115 可得 a57 ? a59 ? 2 ; 从而 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 所以 (a2 ? a4 ? a6 ?

? a57 ? a59 ? (a1 ? a3 ) ? (a5 ? a7 ) ? ? a59 )

? (a57 ? a59 ) ? 2 ?15 ? 30 。

又 a2 ? a1 ? 1 , a4 ? a3 ? 5 , a6 ? a5 ? 9 ,…, a58 ? a57 ? 113 , a60 ? a59 ? 117 ,

? a60 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ?

? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a6 ? a5 ) ? 30 ? 118 ? ? 1770 。 2
从而 a2 ? a4 ? a6 ?

? (a60 ? a59 ) ? 1 ? 5 ? 9 ?

? 117

? a60 ? a1 ? a3 ? a5 ?

? a59 ? 1770 ? 30 ? 1770 ? 1800 。 ? a59 ) ? (a2 ? a4 ? ? a60 )

因此 S60 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

? a59 ? a60 ? (a1 ? a3 ?

? 30 ? 1800 ? 1830 。
17、 【解析】 (1)根据正弦定理

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 因为 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 , 所以 (2R sin A) cosC ? 3(2R sin A) sin C ? 2R sin B ? 2R sin C ? 0 , 即 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 , (1) 由三角形内角和定理,得 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C , 代入(1)式得 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ? 0 , 化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1,即 sin( A ? 而0 ? A ? ? ,?

?
6

)?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,从而 A ? ? ,解得 A ? 。 3 6 6 6

1 , 2

(2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?

?

3



? ?1 bc sin ? 3 ? ?bc ? 4 ?2 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ?b ? c ? 8 ?b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? a 2 ? 4 ? 3 ? 从而解得 b ? 2 , c ? 2 。
18、 【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 ;

10 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 。 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) 。 (n ? 16) ?80

(2)① X 可取 60 , 70 , 80 。

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2 , P( X ? 80) ? 0.7 。
X 的分布列为 X P

60
0.1

70
0.2

80
0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 ,

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 。
②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花。理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位:元) ,那么 Y 的分布列为

X
P

55

65

75

85

0.1

0.2

0.16

0.54

Y 的数学期望为 EY ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.16 ? 85 ? 0.54 ? 76.4 , Y 的方差为

DY ? (55 ? 76.4)2 ? 0.1 ? (65 ? 76.4)2 ? 0.2 ? (75 ? 76.4)2 ? 0.16 ? (85 ? 76.4)2 ? 0.54
? 112.04 ,
由以上的计算结果可以看出, DX ? DY ,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小。 另外,虽然 EX ? EY ,但两者相差不大。故花店一天应购进 16 枝玫瑰花。 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花。理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位:元) ,那么 Y 的分布列为

X P

55
0.1

65
0.2

75
0.16

85
0.54

Y 的数学期望为 EY ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.16 ? 85 ? 0.54 ? 76.4 ,
由以上的计算结果可以看出, EX ? EY ,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝玫瑰花时的平均利润。故花店一天应购进 17 枝玫瑰花。 19、 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC , 得: ?ADC ? 45 , 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90 , 得: DC1 ? DC 。
? ?
?

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又 DC1⊥BD, DC

BD ? D ,

所以 DC1 ? 平面 BCD 。 而 BC ? 平面 BCD ,所以 DC1 ? BC 。 (2)解法一: (几何法) 由 DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1

? BC ? AC 。
取 A1B1 的中点 O ,连接 C1O , OD 。 因为 AC 1 1 ?B 1C1 ,所以 C1O ? A 1B 1, 因为面 A1 B1C1 ? 面 A 1BD ,所以 C1O ? 面 A 1BD ,从而 C1O ? BD , 又 DC1⊥BD,所以 BD ? 面 DC1O ,因为 OD ? 平面 DC1O ,所以 BD ? OD 。 由 BD ? OD ,BD⊥DC1,所以 ?C1DO 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。 设 AA1 ? 2a , AC ? BC ? a ,则 C1O ? 在直角△ C1OD , C1O ? OD , C1O ?

2a , C1D ? 2a , 2

1 C1D , 2
?

所以 ?C1DO ? 30? 。 因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 。 解法二: (向量法) 由 DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1

? BC ? AC 。又 C1C ? 平面 ABC ,
所以 C1C ? AC , C1C ? BC , 以 C 点为原点,CA、CB、CC1 所在直线分别为

x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz 。 1 不妨设 AA1=2,则 AC=BC= AA1=1, 2
从而 A1(1,0,2) ,D(1,0,1) , B(0,1,0) ,C1(0,0,2) , 所以 DA 1 ? (0,0,1) , DB ? (?1,1, ?1) ,

DC1 ? (?1,0,1) 。
设平面 A 1BD 的法向量为 n 1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DA 1 , n1 ? DB , 所以 ?

? z1 ? 0 ? z1 ? 0 ,即 ? ,令 y1 ? 1 ,则 n1 ? (1,1,0) 。 ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? x1 ? y1

设平面 C1BD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ,则 n2 ? DC1 , n2 ? DB ,

12 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

所以 ?

?? x2 ? z2 ? 0 ? x2 ? z2 ,即 ? ,令 z2 ? 1 ,则 n2 ? (1,2,1) 。 ? x ? y ? z ? 0 y ? 2 z ? 2 2 2 ? 2 2
n1 ? n2 ? | n1 | ? | n2 | 3 3 ? ,解得 ? n1 , n2 ?? 30? 。 2 2? 6
?

所以 cos ? n1 , n2 ??

因为二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 。 20、 【解析】 (1)若∠BFD=90°,则△BFD 为等腰直角三角形, 且|BD|= 2 p ,圆 F 的半径 r ?| FA |? 2 p , 又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 l 的距离

d ?| FA |? 2 p 。
因为△ABD 的面积为 4 2 , 所以

1 1 ? | BD | ?d ? 4 2 ,即 ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2

2 所以 p ? 4 ,由 p ? 0 ,解得 p ? 2 。

从而抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y , 圆 F 的圆心 F(0,1) ,半径 r ?| FA |? 2 2 , 因此圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 。
2 2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 则 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°, 根据抛物线的定义,得 | AD |?| FA |? 所以 ?ABD ? 30? , 从而直线 m 的斜率为

1 | AB | , 2

3 3 或? 。 3 3

当直线 m 的斜率为

3 3 p 时,直线 m 的方程为 y ? x? , 3 3 2
p 2 3 1 ? ( )2 3

原点 O 到直线 m 的距离 d1 ?



依题意设直线 n 的方程为 y ?

3 x ?b, 3

? 3 x?b 2 3 ?y ? 2 px ? 2 pb ? 0 , 联立 ? ,得 x ? 3 3 ? x 2 ? 2 py ?

13 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

因为直线 n 与 C 只有一个公共点,所以 ? ?

p 4 p2 ? 8 pb ? 0 ,从而 b ? ? 。 6 3

3 p 所以直线 n 的方程为 y ? x ? ,原点 O 到直线 n 的距离 d 2 ? 3 6

p 6 1? ( 3 2 ) 3



p d 因此坐标原点到 m , n 距离的比值为 1 ? 2 ? 3 。 d2 p 6
当直线 m 的斜率为 ?

3 时,由图形的对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值也为 3。 3
x ?1

21、 【解析】 (1)因为 f ( x) ? f ' (1)e 所以 f '( x) ? f '(1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x , 2

? f (0) ? x ,

1 ? ? f (0) ? f '(1) ? 所以 ? ,解得 f (0) ? 1 , f '(1) ? e 。 e ? ? f '(1) ? f '(1) ? f (0) ? 1
所以 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 。 2

由此得 f '( x) ? e ?1 ? x 。
x x 而 f '( x) ? e ?1 ? x 是 R 上的增函数,且 f '(0) ? 0 ,

因此,当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? f '(0) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? f '(0) ? 0 , f ( x) 在 ( ??, 0) 上是减函数。 综上所述,函数 f ( x) 的增区间为 (0, ??) ,减区间为 ( ??, 0) 。 (2)由已知条件得 e ? (a ? 1) x ? b 。
x



(i)若 a ? 1 ? 0 ,则对任意常数 b ,当 x ? 0 ,且 x ? 可得 e ? (a ? 1) x ? b ,因此①式不成立。
x

1? b , a ?1

(ii)若 a ? 1 ? 0 ,则 (a ? 1)b ? 0 。 (iii)若 a ? 1 ? 0 ,设 g ( x) ? e ? (a ? 1) x ,则 g '( x) ? e ? (a ? 1) 。
x x

当 x ? (??,ln(a ? 1)) , g '( x) ? 0 ;当 x ? (ln(a ? 1), ??) , g '( x) ? 0

14 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

从而 g ( x) 在 (??, ln(a ? 1)) 单调递减,在 (ln(a ? 1), ??) 单调递增。 所以 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b 等价于 b ? a ? 1 ? (a ? 1) ln(a ? 1) 。 2



因此 (a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) 。 设 h(a) ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1) ,则 h '(a) ? (a ? 1)(1 ? 2ln(a ? 1)) 。 所以 h(a) 在 (?1, e 2 ? 1) 单调递增,在 (e 2 ? 1, ??) 单调递减, 故 h(a) 在 a ? e ? 1 在处取得最大值,从而 h ( a ) ?
1 2
1 2

1

1

e e ,即 ( a ? 1)b ? 。 2 2

e 1 2 时,②式成立,故 f ( x) ? x ? ax ? b 。 2 2 e 综合得, (a ? 1)b 的最大值为 。 2
当 a ? e ?1 , b ? 22、 【解析】 (1)因为 D , E 分别为 ?ABC 边 AB , AC 的中点, 所以 DE ∥ BC 。 又已知 CF ∥ AB ,所以四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD。 而 CF ∥ AD ,连结 AF, 所以 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF。 因为 CF ∥ AB ,所以 BC=AF,故 CD=BC。 (2)因为 FG ∥ BC ,故 GB=CF。 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD。 所以 ?DGB ? ?GDB 。 因为 FG ∥ BC ,所以 ?GDB ? ?DBC , 从而 ?DBC ? ?DGB , ① 由(1) CD ? BC ,所以 ?DBC ? ?BDC , 从而 ?BDC ? ?GDB ,② 故 ?BCD ∽ ?GBD 。 23、 【解析】 (1)曲线 C1 的参数方程 ?

1 2

? x ? 2 cos? 化为 ? y ? 3 sin ?

直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 9

曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2 化为 直角坐标方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

因为点 A 的极坐标为(2,

? ) , 3

15 2012 年高考数学试题解析之全国新课标版(理科)

所以点 B 的极坐标为(2, 点 C 的极坐标为(2,

4? ) , 3 11? 点 D 的极坐标为(2, ) , 6

5? ) , 6

因此点 A 的直角坐标为(1, 3 ) ,点 B 的直角坐标为( ? 3 ,1) , 点 C 的直角坐标为(-1,- 3 ) ,点 D 的直角坐标为( 3 ,-1) 。 (2)设 P( 2 cos ? , 3sin ? ) ,则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2

? (2cos? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ? (2cos? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2
? 20sin 2 ? ? 32 ?[32,52] 。
因此 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围为[32,52]。
2 2 2 2

?5 ? 2 x ( x ? 2) ? (2 ? x ? 3) 。 24、 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ?1 ?2 x ? 5 ( x ? 3) ?
所以不等式 f ( x) ? 3 可化为

?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 ,或 ? ,或 ? 。 ? ?5 ? 2 x ? 3 ?1 ? 3 ?2 x ? 5 ? 3
解得 x ? 1 ,或 x ? 4 。 因此不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | x ? 1 或 x ? 4} 。 (2)由已知 f ( x) ?| x ? 4 | 即为 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | , 也即 | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | 。 若 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含[1,2],则 ?x ? [1, 2] , | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | , 也就是 ?x ? [1, 2] , | x ? a |? 2 , 所以 ?x ? [1, 2] , ?

? x ? a ? ?2 ?1 ? a ? ?2 ,从而 ? , ?x ? a ? 2 ?2 ? a ? 2

解得 ?3 ? a ? 0 。因此 a 的取值范围为 a ? [?3, 0] 。


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