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杨浦区2013届一模数学


杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷(文、理科)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x? ? 3 x 的反函数为 f 2.若复数 z ?
?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?
. .



1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ,则该线性方程组的解是 ? ? ? 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 7 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
5 0

?1 2 3 ?



. .

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为

cm2 .
8. 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
2

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.
9. (理)下列函数:① f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x , ③ f ( x) ? ln
x
3

1 ?x , ④ f ( x) ? cos 2 x

⑤ f ( x) ? ? x ? 1 中 , 既 是 偶 函 数 , 又 是 在 区 间 ?0, ? ?? 上 单 调 递 减 函 数 为
2

(写出符合要求的所有函数的序号). (文)若直线 l 过点 ?1 , ? 1? ,且与圆 x ? y ? 1相切,则直线 l 的方程为
2 2



10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , (文) 则 b ? 2 且 c ? 3 的概率是____
2

___ . ___ .

(理) 则函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c 图像与 x 轴无公共点的概率是____
-1(理科共 6 页)

11.若函数 f ( x) ? loga (3 x ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .



A M

E P

F D

B

N

C

13.(文)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且

a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 tan A cot B 的值是___________. 5

(理)在 ?ABC 中,若 ?A ?

?

4

, tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,

则 ?ABC 的面积为___________. 14.(文) 已知函数 f ?x ? ? ?

?log2 ?x ? 1? , x ? 0 , 若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点, 2 ?? x ? 2x , x ? 0 .

则实数 m 的取值范围是___________. (理)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2 m 与圆 x 2 ? y 2 ? n 2 相切,其中

m 、 n ? N* ,0 ? m ? n ? 1 . 若函数 f ?x ? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?,k ? Z ,
则 k ? ________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的???( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3 ,且 lim S n ? a , n?? 2
???( )

16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N* ),则复数 z ?

1 在复平面上对应的点位于 a?i

( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

-2(理科共 6 页)

17.若 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, 4 ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ???(
( A)



5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

18. 已知 数列 ?an ? 是各项 均为正 数且公比不 等于 1 的等比 数列( n ? N* ) . 对于函数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现
有定义在 (0, ?? )上的如下函数:①f ( x) ? ④f ( x) ?

1 , x

②f ( x) ? x2 ,

③f ( x) ? e x , ???( )

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
(B )
③. ④ ②. (C ) ①④ ③ (D) ②④.

( A)

①. ②

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30? , PA P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP
(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

-3(理科共 6 页)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (文) 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) , (1)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10 ? ? ?? ? π π? ? ,求 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

(2)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

(理)已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x , (1)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 x ? ??

? ? ?? , ? ,求 f (x) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值. ? 6 3?

-4(理科共 6 页)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别是 F1 ?? 1, 0? 、 F2 ?1, 0? ,且焦 a 2 b2

距是椭圆 C 上一点 P 到两焦点 F1 、F2 距离的等差中项. (1)求椭圆 C 的方程;

N (2)设经过点 F2 的直线交椭圆 C 于 M 、 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

Q(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围.

(理)椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) .

N P 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、 .
(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . k

ON 若直线 OM 、 、OP 的斜率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

-5(理科共 6 页)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文) 设数列 ? xn ? 满足 xn ? 0 且 xn ? 1 ( n ? N* ),前 n 项和为 S n .已知点 P ( x1 , S1 ) , 1

k P2 ( x2 , S 2 ) , ? ? ? , Pn ?xn , S n ? 都在直线 y ? kx ? b 上(其中常数 b、 且 k ? 0 , k ? 1 ,
b ? 0 ),又 y n ? log 1 xn .
2

(1)求证:数列 ? xn ? 是等比数列; (2)若 y n ? 18? 3n ,求实数 k , b 的值; (3)如果存在 t 、 s ?N* , s ? t 使得点 ?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.问 n? 是否存在正整数 M ,当 n ? M 时, xn ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值,若不 存在,请说明理由.
-6(理科共 6 页)

(理)对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分, 用记号 x 表示,对于实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条件:

a1 ? a , a n ?1

? 1 , an ? 0 , ? ? ? an ? 0 , a ? 0. n ?

其中 n ? 1 , 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ? (2)当 a ?

2 ,求数列 ?an ? ;
1 时,对任意的 n ? N* ,都有 an ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A . 4

(3)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的 q

任意正整数 n ,是否都有 an ? 0 成立,并证明你的结论. 杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 2013.1.5

一.填空题:

?x ? 1 3 ? ? y ? 1 (向量表示也可) 3 ;7. 50? 1. 0;2. 2 ;3.2;4. ? ;5. arctan 2 ;6.
2 7 2 x ? 1 或 y ? 1; 8. 2013;9.(文) (理)③⑤;10. (文) 9 (理) 36 ;11. y ? 2 x ? 2 x
-7(理科共 6 页)

21 12. 48;13.(文) ? 1 (理) 2 ;14.(文) (0 , 1) (理) 0;
二、选择题: 15. ( A) ;16. (D) ;17. (B ) ;18. (C ) . 三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , ???2 分

1 8 3 VP ?? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3 所以 ,体积
(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

???5 分

???7 分

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 ,

???10 分

tan? ?
所以,

15 3 .

???12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .

π 7 2 f (? ) ? cos(? ? ) ? 4 10 , (文)解: (1)因为
7 2 7 2 cos ? ? sin ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 5. 2 10 , 所以
2 2



???3 分

49 平方得, sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? = 25 , sin 2? ?
所以

???5 分

24 25 .

???7 分

π? ? g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ? ? cos( x ? π ) ? cos( x ? π ) 2?= ? 4 4 (2)因为

-8(理科共 6 页)

2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 = 2
1 (cos 2 x ? sin 2 x) =2 1 cos 2 x =2 .

???9 分

???11 分

? π π? ? π 2π ? x ? ?? , ? 2 x ? ?? , ? ? 6 3 ? 时, ? 3 3 ?. 当
1 g ( x) 的最大值为 2 ; 所以,当 x ? 0 时, x?


???12 分

???13 分

π 1 ? 3 时, g ( x) 的最小值为 4 .
2

???14 分

(理)解: (1)因为 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin x

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1
? 2 sin( 2 x ?
T?

???2 分

?
6

) ?1
???4 分

所以,

2? ?? 2 ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ?

???5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? ? k? ? x ? ? k? , (k ? Z ) 2 3 ,6 [

?

所以 f (x) 的单调递减区间为 6

? k? ,

2? ? k? ], (k ? Z ) 3 5? 6 ,

???7 分

?
(2)因为

?
6

?x?

?
3 ,得

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 所以有 2 ? ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
由 所以,函数
f ? x?

???8 分

?
6

)?2
,即

? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1 ? 1
???10 分 ???12 分

的最大值为 1.
-9(理科共 6 页)

?
此时,因为

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? 2x ? ? x? 6 ,所以, 6 2 ,即 6.

???14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)(1)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 由题意得 ???1 分

4c ? 2a , a ? 2
???4 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆 C 的方程为 4 .

???6 分 ???7 分

y ?0. (2)解:当 MN ? x 轴时,显然 0
当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 2 3 x ? 4 y 2 ? 12, y 由 ? 消去 整理得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0 .
???9 分 设

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x3 , y3 ) ,
x1 ? x2 ? 8k 2 3 ? 4k 2 .



???10 分

所以

x3 ?

?3k x1 ? x2 4k 2 y3 ? k ( x3 ? 1) ? ? 2 3 ? 4k 2 . 2 3 ? 4k ,

线段 MN 的垂直平分线方程为

y?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ) k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 .

y0 ?
在上述方程中令 x ? 0 ,得

k 1 ? 2 3 3 ? 4k ? 4k k .

???12 分

3 3 ? 4k ? ?4 3 ? 4k ? 4 3 当 k ? 0 时, k ;当 k ? 0 时, k .

3 3 ? y0 ? 0 0 ? y0 ? 12 . 所以 12 ,或 ?


???13

--10-(理科共 6 页)

综上,

y0 的取值范围是

[?

3 3 , ] 12 12 .

???14 分

x2 y 2 ? 2 ?1 ' 2 b (理)解: (1)设椭圆 T 的方程为 a ,由题意知:左焦点为 F (?2, 0)
' 所以 2a ?| EF | ? | EF | ?

2 ?3 2 ,

???4 分

解得 a ? 2 2 , b ? 2 .

x2 y 2 ? ?1 4 故椭圆 T 的方程为 8 .
分 (方法 2、待定系数法) (2)设 由:

???6

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 )



M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 )

, ???8

x12 ? 2 y12 ? 8 , x2 2 ? 2 y2 2 ? 8 ,

分 两式相减,得到

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

k1 ?
所以 分

y1 ? y2 t 1 x ?x 1s 1 ?? 1 2 ?? 1 ? ?2 1 x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 ,即 k1 s1 ,

???11

t t 1 1 ? ?2 2 ? ?2 3 k s2 , k3 s3 同理 2 t t t 1 1 1 ? ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) k k 2 k3 s1 s2 s3 ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, 所以 1 1 1 1 ? ? ?0 k1 k2 k3 所以
方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB :

???14 分

y ? t1 ? k1 ( x ? s1 )

,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0
x1 ? x2 ? ?4(t1 ? k1s1 )k1 1s k1 ? ? 1 2 ? 2s1 1 ? 2k1 2 t1 ,化简得
--11-(理科共 6 页)

(以下略) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,?

x ? 0 ,则

f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

???1 分

x?
当且仅当

2 x 时,即 x ? 2 等号成立,

? M ? 2 2, ??
所以,

?

?

???3 分

CU M ? ? ? , 2 2

?

?

???4 分

2? ? a ? ?? x ? ? x? ? (2)由题得 2? ? ? 1? 9 y ? ?? x ? ? x ? ? 0 , ? ? x ?在 2 ? 的最大值为 2 ? ? 函数
?a ? ?


???5 分

???9 分

9 2

???10

? 2 P? x 0 , x 0 ? ? x0 (3)设 ?

? ? 2 ? y ? ? x0 ? ? ? x0 ? ,则直线 PA 的方程为 ?

? ? ? ?? x ? x 0 ? ? ? ,

y ? ? x ? 2 x0 ?


2 x0 ,

???11 分

?y ? x ? 2 ? ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 由?


A( x0 ?


1 1 , x0 ? ) x0 x0

???13

? 2 B? 0, x 0 ? ? x0 又 ?

? ? ? ?,

???14 分

PA ? (
所以 分

1 1 1 ,? ) PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0 , PB ? (? x0 ,0) ,故

???16

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
--12-(理科共 6 页)

(文) (1)因为点

Pn , Pn?1 都在直线 y ? kx ? b 上,

S n?1 ? S n ?k (k ? 1) xn?1 ? kxn , xn?1 ? xn 所以 ,得
x1 ? 1 ?0 1? k .

???2 分

其中

???3 分

xn?1 k ? x k ? 1 为非零常数. 因为常数 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以 n
所以数列

?xn ? 是等比数列.
2

???4 分
yn

y n ? log 1 xn
(2)由

?1? xn ? ? ? ?2? ,得

? 8 n ?6
, ???7 分

k 8 ?8 k? 7. 所以 k ? 1 ,得


???8 分 ???9 分

Pn 在直线上,得 S n ? kxn ? b ,
b ? S1 ? 8 1 8 ?5 x1 ? ? x1 ? ? 7 7 7 .

*

令 n ? 1得 (3)由

???10 分

y n ? log 1 xn
2

xn ? 1 恒成立等价于 y n ? 0 .

n? 因为存在 t 、 s ?N , s ? t 使得点
由 分 易证

?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.
???12

y s ? 2t ? 1与 yt ? 2s ? 1 做差得: y s ? yt ? 2(t ? s) .

?yn ?是等差数列,设其公差为 d ,则有 ys ? yt

? (s ? t )d ,因为 s ? t ,

y ? yt ? 2(t ? s) ? 2 , 所以 d ? ?2 ? 0 ,又由 s


ys ? yt ? y1 ? (s ? 1)(?2) ? y1 ? (t ? 1)(?2) ? 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4

得 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4 ? 2(t ? s) ? 2 得 y1 ? 2( s ? t ) ? 1 ? 0 即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数 M , ???16 分

--13-(理科共 6 页)

? yM ? 0 ? y ?0 使, ? M ?1 ,

?2( s ? t ) ? 1 ? ( M ? 1)(?2) ? 0 1 1 ? s?t ? ? M ? s?t ? 2( s ? t ) ? 1 ? M (?2) ? 0 2 2 即? 解得

? 因为 M ? N ,所以 M ? s ? t ,

即存在自然数 M ,其最小值为 s ? t ,使得当 n ? M

时,

xn ? 1 恒成立. ???18 分

(理)解: (1)

a1 ?

2 ? 2 ?1

a2 ?


1 ? a1

1 ? 2 ?1

2 ? 1 ? 2 ?1
, ???2 分

ak ? 2 ? 1 ,则
所以 an ? 2 ?1 . (2)

a k ?1 ?

1 ? ak

2 ?1 ? 2 ?1

???4 分

a1 ? a ? a

1 1 ? a ?1 ?? ? 4 4 a ,所以 ,所以 ,

1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?1 ? a ? a ?1 ?? ? 2 2 a1 a a a ① 2 当 ,即 时, ,所以 a ? a ? 1 ? 0 ,

解得

a?

?1 ? 5 1 ?1 ? 5 a? ?( , 1) 2 2 2 ( ,舍去).

???6 分

1 1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?2? a ? a≤ 2≤ ? 3 2 a1 a a 3 2 ,即 a ② 当 时, ,所以 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
a?
1 1 ?2 ? 8 ? 2 ? 1 a ? ? 2 ? 1? ( , ] 3 2 ,舍去). 2 (

解得

???7 分

1 1 1 1 1 1 a2 ? ? ? ?3 ? a ? a≤ 3≤ ? 4 2 a1 a a 3 ,即 a ③当 4 时, ,所以 a ? 3a ? 1 ? 0 ,
a? ?3 ? 13 1 1 ?3 ? 13 a? ?( , ] 2 4 3 ,舍去). 2 (

解得

???9 分

a? 综上, ?

?1 ? 5 ?3 ? 13 a? 2 a ? 2 ? 1, 2 ,

?.

???10 分 ???11 分

(3)成立. (证明 1)

由 a 是有理数, 可知对一切正整数 n ,

an 为 0 或正有理数, 可设

an ?

pn q n ( p n 是非负整数,

--14-(理科共 6 页)

pn qn 是正整数,且 q n 既约).

???12 分

a1 ?
①由 ②若

p p ? 1 q q1 ,可得 0 ? p1 ? q ;

???13 分

pn ? 0 ,设 qn ? ?pn ? ? ( 0 ? ? ? pn , ? , ? 是非负整数)

qn p q ? 1 ?? ? an ? n ? n p qn 得 an pn p n ,而由 则 n
a n ?1 ? q 1 ? ? n ? an pn pn

,故

pn?1 ? ? , qn?1 ? pn ,可得 0 ? pn?1 ? pn

???14 分 ???15 分

若 若

pn ? 0 则 pn?1 ? 0 ,

a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq

均不为 0,则这 正整数互不相同且都小于 , ???17 分

q

q

但小于 q 的正整数共有 q ? 1 个,矛盾. 故

a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq

中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得

am ? 0 .

从而数列

?an ?中 am 以及它之后的项均为 0,所以对不大 q 于的自然数 n ,都有 an ? 0 .
???18 分

(证法 2,数学归纳法) (其它解法可参考给分)

--15-(理科共 6 页)


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