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1.8高三数学文科导学提纲420份


精英 SXST——高三数学一轮复习 得数学者得天下

高三数学文科组

命题人董金臣 1 月 8 日

抽象函数导学提纲
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二、 “穿脱”策略
加上函数符号即为“穿” ,去掉函数符号即为“脱” 。对于有些抽象函数,可根绝函数值 相等或者函数的单调性,实现对函数符号的“穿脱” ,以达到简化的目的。 【例 3】已知函数 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足对于任意的正实数 x 、 y ,都有

学习目标
1.新课标高考抽象函数的考查方式与求解策略. 2.培养学生解决抽象函数的能力.

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1.
(1)求 f (8) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 3.

重点难点
教学重点: 培养学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力 教学难点:学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识.

知识链接
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的 函数问题。抽象函数问题是高中数学函数部分的难点,也是高中与大学函数部分的衔接点。由 于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力, 又能综合考 查学生对数学符号语言的理解和接受能力, 以及对一般和特殊关系的认识, 因而备受高考命题 者的青睐。 然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性, 大多数学生在解决这类问题时, 感到束手无策。为使抽象函数问题解决有章可循,有法可依,本文主要介绍抽象函数问题的常 见方法。 【方法荟萃】

三、 “模型”策略
模型化策略, 就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型, 作出目标猜想, 利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择、填空题,可用模型函数解决;对于解答 题则可以起到启迪思路并起验证作用。 抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) 可抽象为

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 。 因此, 我们可得知如下结论: 抽象函数 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (1)
可由一个特殊函数正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) 抽象而成的; 抽象函数 t ( xy) ? t ( x)t ( y) 可 (2) 由一个特殊函数幂函数 t ( x) ? x? 抽象而成的; (3) 抽象函数 g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) 可由一个特 殊函数指数函数 g ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 抽象而成的; (4)抽象函数 h( xy) ? h( x) ? h( y) 可由
x

一、 “赋值” 策略
对于抽象函数,根据函数的概念和性质,通过观察与分析,将变量赋予特殊值,以简化函 数,从而达到转化为要解决的问题的目的。 【例 1】若奇函数 f ( x) ( x ? R) ,满足 f (2) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (1) 等于( ) A.0 B.1 C. ?

一个特殊函数对数函数 h( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 抽象而成的。 【例 4】 已知函数 f (x) 对于任意的正实数 x 、y , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , f (2) ? 0 , 若 则下列结论中不正确的是( A. f (1) ? 0 ) C. f (2) ? f ( ) ? 0

B. f (3) ? f (4)

1 2

D.

1 2

1 2

D. f (4) ? f ( ) ? 0

1 5

【例 5】设定义在 R 上的函数 f ( x ) 对于任意 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)成立,且

f (1) ? ?2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。
(1)判断 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-3≤ x ≤3 时, f (x) 是否有最值?如果 【例 2】 设对任意实数 x1 、 2 , x 函数 y ? f (x) ( x ? R, x ? 0) 满足 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x1 ? x2 ) 。 (1)求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; (2)求证: y ? f (x) 为偶函数。 有,求出最值;如果没有,说明理由。

用思考历练自己

用智慧塑造人生

精英 SXST——高三数学一轮复习 得数学者得天下 特别提示:这时需要强调的是,对于解答题,虽然我们知道题设条件中的相应的函数模型, 但此时我们像处理选择题或填空题那样,直接写出函数模型。例如,对于任意 x, y 都有 五、 “换元”策略

高三数学文科组

命题人董金臣 1 月 8 日

对于抽象函数,可以通过换元化抽象为具体,转化为具体函数可求解,同时要注意新元的 取值范围。 【例 7】 已知函数 f(x)的值域 [ , ] ,试求 y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域。

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,而直接设 f(x)=kx,这是没有任何理论依据的。当然在思考问题的
过程中,我们可联想正比例函数的有关性质,合理赋值。 四、 “数形”策略 一般地讲, 抽象函数的图象为示意图居多, 有的示意图可能只能根据题意作出 n 个孤立的 点,但通过示意图却使抽象变形象化,有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。 【例 6】若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+ ? )内是增函数,又 f(2)=0,则 的解集为( ) B. ? ,-2) ? (0,2) (D. (-2,0) ? (2,+ ? )

3 4 8 9

f ( x) ? f (? x) ?0 x

A. (-2,0) ? (0,2) C. ? ,-2) ? (2,+ ? ) (-

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