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徐州市六县(区)2013-2014学年度第一学期期中考试高一数学试题


徐州市六县(区) 2013—2014 学年度第一学期期中考试

高一数学试题
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页, 包括填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) . 本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟,考试结束后,请将答题纸交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准

考证号用 0.5 毫米的签字笔填写在答题纸的规定位置. 3. 请在答题纸上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效. 作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔,请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题纸清洁,不要折叠、破损,一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 .

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位 ............. 置上 . .. 1. A ? {?1,0,1}, B ? {0,1,2,3}, 求 A ? B ? 2.函数 y ? lg(x ? 1) ? ▲ ▲ . .

2 ? x 的定义域为
▲ .

3.计算: lg20 ? log100 25 ? 4.函数 f ( x ) ?

3 ( x ? N * ) 的最大值为 3 x ? 11
x



.

5.若 x log2 3 ? 1, 则 3 的值为



.

6.已知 a ? ( ) 4 , b ? ( ) 4 , c ? log2

2 3

3

3 2

3

2 , 则 a, b, c 从小到大的排列为 3
▲ .



.

x 7.函数 y ? a ? b 的图象如图所示,则 ab ?

y
▲ .

8.幂函数的图象过点 ( 2, ) ,则该函数的单调递增区间是

1 4

O
?2

2

x

9.函数 y ? lg x 与 y ? kx ? 1 图象有公共点 A, 若 A 点纵坐标为 ? 1 , 则

k?



.

第 - 1 -页 共 7 页

10.已知 f ( x ) ? ?

? x ? 3, ( x ? 9) , 则 f (1) 的值为 ? f ( x ? 4)( x ? 9)



.

11.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 3 x, 则函数 f ( x ) 的解析式 f ( x ) ?



.

12. 已知函数 f ( x ) ? lg x ? x ? 3 在区间 ( a , b ) 上有一个零点 (a , b 为连续整数) ,则 a ? b ? ▲ . ▲ .

13.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 x ? 2 x ? a, 则 f ( ?1) ?

14.已知 f ( x) ? log2 x ,正实数 m, n 满足 m ? n, 且 f ( m ) ? f ( n), 若 f ( x ) 在区间 [m 2 , n] 上的
最大值为 2,则 m ? n ? ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ......... 证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分)求下列各式的值: (1) 2 log3 2 ? log3
? 1 3

32 ? log3 8 ? 52 log5 3 9

(2) 0.064

? (?

1

?

)0 ? [( ?2)3 ]

?

4 3

? 16

?

3 4

1

? 0.012

16. (本题满分 14 分) 已知:函数 f ( x ) ? 4 ? x ? lg(3 x ? 9) 的定义域为 A, 集合 B ? { x x ? a ? 0, a ? R}. (1)求集合 A; (2)求: A ? B .

第 - 2 -页 共 7 页

17. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的图象顶点为 A(1,16), 且图象在 x 轴上截得线段长为 8. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [0,2] 时,关于 x 的函数 g( x ) ? f ( x ) ? ( t ? x ) x ? 3 的图象始终在 x 轴上方,求实数的取 值范围.

18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

x2 ? 2x ? a , x ? [1,? ?). x

(1)当 a ? ?1 时,判断并证明函数的单调性并求 f ( x ) 的最小值; (2)若对任意 x ? [1,??) , f ( x ) ? 0 都成立,试求实数 a 的取值范围.

第 - 3 -页 共 7 页

19. (本题满分 16 分) 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元,根据经验,若每辆 自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每提高 1 元,租不出去的自行 车就增加 3 辆. 规定: 每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求出租所有自行 车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有 自行车的总收入减去管理费用后的所得).

20. (本题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1, x ? R. (1)若 f ( x ) 是偶函数,试求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求 f ( x ) 的最小值; (3)孙涛涛同学认为:无论 a 取何实数,函数 f ( x ) 都不可能是奇函数;你同意她的观点吗?请说明 理由.

第 - 4 -页 共 7 页

高一数学试题参考答案与评分标准
1. {0,1} 2. (1,2] 8. (-∞,0) 9.-20 15. (1)原式=-7 3.2 10.6 4.3 5.2 6.c<a<b 12.5 7.-3 3 13.-3 14.

2 11. x ? x ? 2 .

5 2

……… 7 分 ……… 14 分

(2)原式=
16.解: (1) ?

133 80

?4 ? x ? 0

?x ? 4 ? ? 2 ? x ? 4 ,定义域 A= ?2,4? ; ……… 6 分 ? x x 2 ?3 ? 9 ? 0 ?3 ? 3

(2)B= x x ? a ? 0, a ?R =(- ? ,a) ①当 a≤2 时,A∩B= ? ②当 2<a ≤4 时,A∩B=(2,a) ③当 a> 4 时,A∩B= ?2,4? 。

?

?

………

8分

…………… 10 分 ………………… 12 分 …………………14 分

17.解: (1)∵二次函数图象顶点为(1,16),在 x 轴上截得线段长为 8,所以抛物线与 x 轴 的交点坐标为(-3,0),(5,0), …………………2 分

又∵开口向下,设原函数为 f ( x) ? a( x ? 3)( x ? 5) (a ? 0) , …………………4 分 将 (1,16) 代入得 a ? ?1 , ∴所求函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 15 .
2

…………………6 分 …………………7 分 …………………9 分

(2) g ( x) ? (2 ? t ) x ? 12, x ?[0, 2]
第 - 5 -页 共 7 页

的图象在 x 轴上方,有 ?

? g (0) ? 0 , ? g (2) ? 0

…………………12 分 …………………14 分

解得 t ? 8 即为所求 t 的取值范围.

x 2 ? 2x ? 1 1 ? x? ? 2, 18.解: (1)当 a=-1 时 f(x)= x x
对任意 1 ? x1 ? x2 ,

………………… 2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x ? x2 ( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) 1 1 ? 2 ? x2 ? ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2
…………………4 分

∵ 1 ? x1 ? x2 , ∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1, ∴ x1 x2 ? 1 ? 0, ∴f(x)-f(x)<0,f(x)<f(x) 所以 f(x)在 ?1,??? 上单调递增 所以 x=1 时 f(x)取最小值,最小值为 2 (2)若对任意 x ? ?1,??? ,f(x)>0 恒成立,则 ………………… 6 分 ………………… 8 分

x 2 ? 2x ? a >0 x

对任意 x ? ?1,??? 恒成立,所以 x+2x+a>0 对任意 x ? ?1,??? 恒成立,………10 分 令 g(x)=x+2x+a, x ? ?1,??? 因为 g(x)= x+2x+a 在 ?1,??? 上单调递增, ………………… 12 分

所以 x=1 时 g(x)取最小值,最小值为 3+a, ………………… 14 分 ∵ 3+a>0,∴ a>-3. …………………… 16 分 19.解: (1)当 x ≤6 时, y ? 50 x ? 115 ,令 50 x ? 115 ? 0 ,解得 x ? 2.3 . ∵ x ?N,∴ x ≥3,∴ 3 ≤ x ≤6,且 x ?N. …………………… 3 分

当 6 ? x ≤20 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)] x ? 115 ? ?3x 2 ? 68x ? 115 . 且 y= ? ?3x 2 ? 68x ? 115 ,在 6<x≤20 上大于 0 ……………… 6 分

第 - 6 -页 共 7 页

综上可知

?50x ? 115, y?? 2 ?? 3x ? 68x ? 115,

(3 ? x ? 6, x ? N), (6 ? x ? 20, x ? N).

…………………… 8 分

(2)当 3 ≤ x ≤6,且 x ?N 时,∵ y ? 50 x ? 115 是增函数, ∴当 x ? 6 时, y max ? 185 元. 当 6 ? x ≤20, x ?N 时, y ? ?3x 2 ? 68x ? 115 ? ?3( x ? ∴当 ? 11时, ymax ? 270 元. …………………… 11 分

34 2 811 , ) ? 3 3
…………………… 15 分

综上所述, 当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元. 20.解: (1)∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) 在 R 上恒成立, 即 (? x)2 ? | ? x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1, 化简整理,得 ax ? 0 在 R 上恒成立, ∴a ? 0. (另解 :由 f ( x ) 是偶函数知, f (?1) ? f (1) 即 (?1)2 ? | ?1 ? a | ?1 ? 12 ? |1 ? a | ?1 整理得 | a ? 1|?| a ? 1| ,解得 a ? 0 再证明 f ( x) ? x2 ? | x | ?1是偶函数,所以 a ? 0 )
2 (2)由(1)知 a ? 0 ,∴ f ( x) ? x ? | x | ?1,
2 ∵ x ? 0 , | x |? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ,当且仅当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,

……… 16 分

……………3 分 ……………5 分

………8 分

∴当 x ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 1. (3)孙涛涛同学的观点是正确的. 若 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) 在 R 上恒成立, ∴ f (0) ? ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , 但无论 a 取何实数, f (0) ?| a | ?1 ? 0 , ∴ f ( x ) 不可能是奇函数.

…………10 分 …………11 分

…………14 分

…………16 分

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