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4.高中数学复习-导数的概念及计算


文科数学复习

导数的概念及计算
一.导数的概念 1.平均变化率:已知函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有改变量 Δx,那么函数 y 相应地有改变量 Δy= Δy ________________,比值 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率. Δx 2.函数在 x=x0 处导数: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量在 x=x0 的附近改变量为 Δx 时,函数值的改变量为______________,如果 Δx 趋近于 0 时,平均变化率趋近于_____________, 即 li m →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? =m,这个常数 m 叫做函数 f(x)在点 x0 处的________________.函数 f(x)在点 x0 Δx

处的瞬时变化率又称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作________,即______________________. 3.函数 f(x)的导函数:已知函数 y=f(x),如果对于任意自变量 x0,总存在相应的导数_________,这样就 建立了一个新函数,称为 f(x)的导函数,即 f′(x)= lim → 例 1、利用导数的定义求函数的导数: (1) y=x2; (2) f(x)= 1 . x+2
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? . Δx

小结:定义法求函数的导数的步骤:一差、二比、三极限。 练习:如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,则 lim → f?1+Δx?-f?1? =____________(用数字作答). Δx

Δx 0

二.导数的计算

1

1.几种常见函数(基本初等函数)的导数:c′=______(c 为常数);

(xm)′=__________(m∈N);

?1?′=________; ? x?

( x)′=______;

(sin x)′=________ ;

(cos x)′=________;

(logax)′=________; (ln x)′=__________; 2.导数四则运算法则.

(ax)′=________;

(ex)′=________.

(1)和、差的导数:[u(x)± v(x)]′=__________________

(口诀:和与差的导数等于导数的和与差);

(2)积的导数: [u(x)v(x)]′=____________________(口诀:前导后不导,后导前不导,中间是正号), 若 c 为常数,则(cu(x))′=______________________; u (3)商的导数:?v?′=_________________(v≠0)(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,

? ?

中间是负号). 例 2、求下列函数的导数. (1) y=x sin x;
2

ex+1 (2) y= x . e -1

(3) y=x· tan x;

(4) y=(x+1)(x+2)(x+3).

练习: 1.函数 y=xcos x-sin x 的导数为( A.xsin x B.-xsin x
2

) C.xcos x D.-xcos x

2.已知函数 f(x)=10-4x+3x ,且 f′(a)=2,则 a=____________. 三.导数的几何意义及应用 1、函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点_________处的_______________. 相应地,切线方程为___________________________
2

2、求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括前者. 例 3、已知函数 f(x)=x ? x ? 16 .
3

(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)若直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)若曲线 y=f(x)的某条切线与直线 x+4y-12=0 垂直,求该切线的方程及切点坐标;

练习.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,求该切线的方程.
2

巩固练习: 3 1、已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度为( t )

3

19 A. 4

17 B. 4 )

15 C. 4

D.

13 4

2、函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)

C.3(x2-a2) ) (C)y=x+1

D.3(x2+a2)

3、曲线 y=2x-ln x 在点(1,2)处的切线方程为( (A)y=-x-1 (B)y=-x+3

(D)y=x-1

2 4、已知函数 f(x)= x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0, 3 则 m 的值为( 1 A.- 3 ) 1 B.- 2 1 C. 3 D. 1 2 )

5、曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0,则点 P0 的坐标是( A.(0,1) B.(1,-1) C.(1,3) D.(1,0) ) D.-2

6、直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为( A.2 B.-1 C.1

7、曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为 ____________________ 8、若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 9、已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 2 10、已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同, x 求 a 的值.

4


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