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2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)指数与指数函数(含解析)


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第七节

指数与指数函数

[知识能否忆起] 一、根式 1.根式的概念 根式的概念 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这 两个数互为相反数 n 符号表示 备注 n>1 且 n∈N* 零的 n 次方根是零

a

n ± a(a>0)

负数没有偶次方根

2.两个重要公式

(1)

n

?a, ? a =? ?a?a≥0?, |a|=? ? ?-a?a<0?, ?
n

n为奇数, n为偶数;

n n (2)( a)n=a(注意 a 必须使 a有意义). 二、有理数指数幂 1.幂的有关概念 m n (1)正分数指数幂:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m 1 1 (2)负分数指数幂:a- = = (a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m n a am n (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 (1)aras=ar s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 三、指数函数的图象和性质


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函数 0<a<1 图象

y=ax(a>0,且 a≠1) a>1

图象特征 定义域 值域 性 质 函数值变化 规律 单调性 减函数

在 x 轴上方,过定点(0,1) R (0,+∞) 增函数 当 x>0 时,y>1 当 x<0 时, 当 x>0 时, y>1; 0<y<1 当 x<0 时,0<y<1; 当 x=0 时,y=1

[小题能否全取] 1 1.(教材习题改编)化简[(-2)6] -(-1)0 的结果为( 2 A.-9 C.-10 B.7 D.9 )

1 解析:选 B 原式=(26) -1=7. 2 2.(教材习题改编)函数 f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(-∞,+∞) )

解析:选 A ∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0. 3.已知函数 f(x)=4+ax A.(1,5) C.(0,4) 解析:选 A 当 x=1 时,f(x)=5. 4.若函数 y=(a2-3a+3)·x 是指数函数,则实数 a 的值为________. a 解析:∵a2-3a+3=1,∴a=2 或 a=1(舍). 答案:2 5.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2)
-1

的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( B.(1,4) D.(4,0)

)

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1.分数指数幂与根式的关系: 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算,从而简化计算过程. 2. 指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的, 因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论.

指数式的化简与求值

典题导入 [例 1] 化简下列各式(其中各字母均为正数). 2 - 1 1 1 ?a · 1?- · · b a- b 3 2 2 3 (1) ; 6 5 a· b 7 10 2 37 - (2)?29?0.5+0.1 2+?227?- -3π0+ . ? ? ? ? 3 48 1 1 1 1 a- b · b a- 3 2 2 3 [自主解答] (1)原式= 1 5 a b 6 6 1 1 1 1 1 5 1 =a- - - · + - = . b 3 2 6 2 3 6 a 25 1 64 2 1 37 5 9 37 (2)原式=? 9 ? + 2+?27?- -3+ = +100+ -3+ =100. ? ?2 0.1 ? ? 3 48 3 16 48 由题悟法 指数式的化简求值问题, 要注意与其他代数式的化简规则相结合, 遇到同底数幂相乘或 相除,可依据同底数幂的运算规则进行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数 指数幂.对于化简结果,形式力求统一. 以题试法 1.计算: 1 - 7 1 1 (1)(0.027)- -?-7? 2+?29? -( 2-1)0; ? ?2 3 ? ?
-1 3 ?1?-1· ? 4ab ? . (2)?4? 2 -2 3 -3 1

0.1 ?a b ? 2

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27 25 1 1 - 1 - 解:(1)原式=?1 000?- -(-1) 2?7? 2+? 9 ? -1 ? ? 3 ? ? ? ?2 = 10 5 -49+ -1=-45. 3 3

1 3 4 · 4 2 2 3 3 3 3 (2)原式= · · · · a a- b b- 100 2 2 2 2 = 4 0 0 4 a·= . b 25 25

指数函数的图象及应用

典题导入 [例 2] (2012· 四川高考)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( )

[自主解答] 法一:令 y=ax-a=0,得 x=1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的 只有选项 C. 法二:当 a>1 时,y=ax-a 是由 y=ax 向下平移 a 个单位,且过(1,0),排除选项 A、B; 当 0<a<1 时,y=ax-a 是由 y=ax 向下平移 a 个单位,因为 0<a<1,故排除选项 D. [答案] C

由题悟法 1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、 对称变换得到其图象. 2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 以题试法 1 2. (1)(2012· 北京模拟)在同一坐标系中, 函数 y=2x 与 y=?2?x 的图象之间的关系是( ? ? A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 )

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C.关于原点对称

D.关于直线 y=x 对称

(2)方程 2x=2-x 的解的个数是________. 1 - 解析:(1)∵y=?2?x=2 x,∴它与函数 y=2x 的图象关于 y 轴对称. ? ? (2)方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图象交点的横坐标,分 别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:(1)A (2)1

指数函数的性质及应用

典题导入 2 - [例 3] 已知函数 f(x)=?3?|x| a.则函数 f(x)的单调递增区间为________,单调递减区间为 ? ? ________. 2 [自主解答] 令 t=|x|-a,则 f(x)=?3?t, ? ? 不论 a 取何值,t 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 2 又 y=?3?t 是单调递减的, ? ? 因此 f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). [答案] (-∞,0] [0,+∞)

9 在本例条件下,若 f(x)的最大值等于 ,则 a=______. 4 9 9 2 - 解析:由于 f(x)的最大值是 ,且 =?3? 2, 4 4 ? ? 所以 g(x)=|x|-a 应该有最小值-2, 从而 a=2. 答案:2

由题悟法 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等 相关性质, 其次要明确复合函数的构成, 涉及值域、 单调区间、 最值等问题时, 都要借助“同 增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.

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以题试法 3.(1)(2012· 福州质检)已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.b>c>a


)

(2)(2012· 上海高考)已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, 则 a 的取值范围是________. 解析:(1)由 0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即 b>c;因为 a= 20.2>1,b=0.40.2<1,所以 a>b.综上,a>b>c. (2)结合函数图象求解.因为 y=eu 是 R 上的增函数,所以 f(x)在[1,+∞)上单调递增, 只需 u=|x-a|在[1,+∞)上单调递增,由函数图象可知 a≤1. 答案:(1)A (2)(-∞,1]

1 1 [典例] 函数 y=?4?x-?2?x+1 在 x∈[-3,2]上 ? ? ? ? 的值域是________.

1 x 1 1 1 1 1 3 [常规解法] y=?4?x-?2?x+1=??2?x?2-?2?x+1=??2? -2?2+ , ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 4 1 1 因为 x∈[-3,2],所以 ≤?2?x≤8. 4 ? ? 1 1 1 3 当?2?x= 时,ymin= ;当?2?x=8 时,ymax=57. ? ? 2 ? ? 4 3 所以函数 y 的值域为?4,57?. ? ? 3 [答案] ?4,57? ? ? ——————[高手支招]—————————————————————————— 1 1 1.解答本题可利用换元法,即令 t=?2?x,把函数化为 y=t2-t+1,其中 t∈?4,8?, ? ? ? ? 然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域. 2.对于含 ax、a2x 的表达式,通常可以令 t=ax 进行换元,但换元过程中一定要注意新 元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.

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————————————————————————————————————— — 1 1 1 3 [巧思妙解] 因为 x∈[-3,2],若令 t=?2?x,则 t∈?4,8?.则 y=t2-t+1=?t-2?2+ . ? ? ? ? ? ? 4 3 1 3 当 t= 时 ymin= ;当 t=8 时,ymax=57.答案为?4,57?. ? ? 2 4 ?针对训练 若 0<a<1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,则 a 的值为________. 解析:令 t=ax(0<a<1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1 因为 0<a<1,x∈[-1,1],所以 t=ax∈?a,a?, ? ? 1 此时 f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? 1 1 所以 f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ? 1 所以?a+1?2=16, ? ? 1 1 所以 a=- 或 a= . 5 3 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 答案: 3

1.下列函数中值域为正实数集的是( A.y=-5x C.y=

) 1 - B.y=?3?1 x ? ?

?1?x-1 ?2?

D.y= 1-2x

1 解析:选 B ∵1-x∈R,y=?3?x 的值域是正实数集, ? ? 1 - ∴y=?3?1 x 的值域是正实数集. ? ? 2.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于( A.5 C.9 B.7 D.11


)

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解析:选 B 由 f(a)=3 得 2a+2 a=3, 两边平方得 22a+2 即 22a+2
-2a -2a



+2=9,

=7,故 f(2a)=7.


3.函数 f(x)=2|x 1|的图象是(

)

?2 ,x≥1, ? 解析:选 B ∵f(x)=??1?x-1 ? ??2? ,x<1,
∴根据分段函数即可画出函数图象. 4.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域( A.[9,81] C.[1,9] B.[3,9] D.[1,+∞)
-2 -

x-1

)

解析:选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2,因 f(x)=3x 确. 5.(2012· 深圳诊断)设函数 f(x)=a A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 解析:选 A ∵f(2)=4,∴a
-|2| -|x|

在[2,4]上是增函数,可知 C 正

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则( B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

)

1 =4,∴a= , 2

1 - ∴f(x)=?2? |x|=2|x|,∴f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2x 是增函数,∴x<0 时,f(x)是 ? ? 减函数,∴f(-2)>f(-1). 1 1 6.若(2m+1) >(m2+m-1) ,则实数 m 的取值范围是( 2 2 A.?-∞, C.(-1,2) )

? ?

5-1? ? 2 ?

B.?

? 5-1 ? ? ? 2 ,+∞? ? 5-1 ? ,2? ? 2 ?

D.?

1 解析:选 D 因为函数 y=x 的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等 2

?2m+1≥0, ? 2 式等价于?m +m-1≥0, ?2m+1>m2+m-1, ?
1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2

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解 m2+m-1≥0, - 5-1 5-1 得 m≤ 或 m≥ ; 2 2 解 2m+1>m2+m-1,即 m2-m-2<0,得-1<m<2. 综上所述,m 的取值范围是 5-1 ≤m<2. 2

3 1 7 1 4 7.?2?- ×?-6?0+8 × 2- ? ? 3 ? ? 4

?-2?2=________. ? 3?3

2 1 3 1 2 1 解析:原式=?3? ×1+2 ×2 -?3? =2. ? ?3 4 4 ? ?3 答案:2 8.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、 n 的大小关系为________. 解析:∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=ax 在 R 上递增,由 f(m)>f(n),得 m>n. 答案:m>n 9.若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1)且 f(1)=9.则 f(x)的单调递减区间是________. 解析:由 f(1)=9 得 a2=9,∴a=3.因此 f(x)=3|2x
-4| -



又∵g(x)=|2x-4|的递减区间为(-∞,2],∴f(x)的单调递减区间是(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 10.求下列函数的定义域和值域. 1 (1)y=?2?2x-x2;(2)y= ? ? 解:(1)显然定义域为 R. ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 且 y=?2?x 为减函数. ? ? 1 1 1 ∴?2?2x-x2≥?2?1= . ? ? ? ? 2 1 1 故函数 y=?2?2x-x2 的值域为?2,+∞?. ? ? ? ? 1 1 - - - (2)由 32x 1- ≥0,得 32x 1≥ =3 2, 9 9 ∵y=3x 为增函数,∴2x-1≥-2, 1 即 x≥- , 2 1 此函数的定义域为?-2,+∞?, ? ? 1 - 32x 1- . 9

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1 - 由上可知 32x 1- ≥0,∴y≥0. 9 即函数的值域为[0,+∞). a 11.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 解:当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数,在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(2)=a2,f(x)最小=f(1)=a. a ∴a2-a= .即 a(2a-3)=0. 2 3 3 ∴a=0(舍)或 a= >1.∴a= . 2 2 当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数, 在 x∈[1,2]上,f(x)最大=f(1)=a,f(x)最小=f(2)=a2. a ∴a-a2= .∴a(2a-1)=0, 2 1 1 ∴a=0(舍)或 a= .∴a= . 2 2 1 3 综上可知,a= 或 a= . 2 2 12.函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,当 x∈M 时,求 f(x)=2x+2-3×4x 的最值. 解:由 3-4x+x2>0,得 x>3 或 x<1, ∴M={x|x>3,或 x<1}, 1 25 x f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3?2 -6?2+ . ? ? 12 ∵x>3 或 x<1,∴2x>8 或 0<2x<2, 1 1 ∴当 2x= ,即 x=log2 时,f(x)最大, 6 6 25 最大值为 ,f(x)没有最小值. 12

1.(2013· 绍兴一中模拟)函数 f(x)=a|x 1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1) 的关系是( ) B.f(-4)=f(1) D.不能确定



A.f(-4)>f(1) C.f(-4)<f(1)

解析:选 A 由题意知 a>1,又 f(-4)=a3,f(1)=a2,由单调性知 a3>a2,∴f(-4)>f(1). 2.(2012· 衡水模拟)已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一 定成立的是________. ①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0; ③2 a<2c;④2a+2c<2.


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解析:画出函数 f(x)=|2x-1|的图象(如图), 由图象可知,a<0,b 的符号不确定,c>0. 故①②错; ∵f(a)=|2a-1|,f(c)=|2c-1|, ∴|2a-1|>|2c-1|,即 1-2a>2c-1, 故 2a+2c<2,④成立; 又 2a+2c>2 2a c,∴2a c<1, ∴a+c<0,∴-a>c,∴2 a>2c,③不成立. 答案:④ 1 3.已知函数 f(x)=?3?ax2-4x+3. ? ? (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 1 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=?3?-x2-4x+3, ? ? 令 t=-x2-4x+3, 1 由于 t(x)在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=?3?t 在 R 上单调 ? ? 递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). 1 (2)令 h(x)=ax2-4x+3,f(x)=?3?h(x),由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1, ? ? 因此必有
- + +

?a>0, ? 解得 a=1. ?12a-16 ? 4a =-1, ?
即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.

1 1 1.已知实数 a,b 满足等式?2?a=?3?b,下列五个关系式: ? ? ? ? ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b 其中不可能成立的关系式有( A.1 个 C.3 个 )

B.2 个 D.4 个

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1 1 解析:选 B 函数 y1=?2?x 与 y2=?3?x 的图象如图, ? ? ? ? 1 1 由?2?a=?3?b 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. ? ? ? ? 2.求函数 y=a2x-2ax-1(a>0,a≠1)的单调区间和值域. 解:y=(ax-1)2-2(a>0,a≠1),设 u=ax. ∵y=(u-1)2-2 在 u∈[1,+∞)时是关于 u 的增函数,在 u∈(-∞,1)时是关于 u 的减 函数, ∴当 ax≥1 时,原函数的单调性与 u=ax 的单调性相同;当 ax<1 时,原函数的单调性与 u=ax 的单调性相反. 若 a>1,ax≥1?x≥0;ax<1?x<0, ∴在[0,+∞)上,函数 y=a2x-2ax-1 是增函数; 在(-∞,0)上,函数 y=a2x-2ax-1 是减函数. 若 0<a<1,ax≥1?x≤0;ax<1?x>0, ∴在(0,+∞)上,函数 y=a2x-2ax-1 是增函数; 在(-∞,0]上,函数 y=a2x-2ax-1 是减函数. ∵ax>0,∴函数值域是[-2,+∞).

第八节

对数与对数函数

[知识能否忆起] 1.对数的概念 (1)对数的定义: 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫 做对数的底数, 叫做真数. a=10 时叫常用对数. N 当 记作 x=lg_N, a=e 时叫自然对数, 当 记作 x=ln_N. (2)对数的常用关系式(a,b,c,d 均大于 0 且不等于 1): ①loga1=0. ②logaa=1. ③对数恒等式:alogaN=N.

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logcb ④换底公式:logab= . logca 1 推广 logab= ,logab· bc· cd=logad. log log logba (3)对数的运算法则: 如果 a>0,且 a≠1,M >0,N>0,那么: ①loga(M· N)=logaM+logaN; M ②loga =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM(n∈R); n ④log amMn= logaM. m 2.对数函数的概念 (1)把 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)函数 y=logax(a>0, a≠1)是指数函数 y=ax 的反函数, 函数 y=ax 与 y=logax(a>0, a≠1) 的图象关于 y=x 对称.

3.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 性质 过点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是减函数

[小题能否全取] 1 ? ? 1.(教材习题改编)设 A={y|y=log2x,x>1},B=?y|y=?2?x,0<x<1?,则 A∩B 为( ? ?
? ?

)

1 A.?0,2? ? ? 1 C.?2,1? ? ?

1 B.?2,+∞? ? ? D.(0,2)

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育 ? 1 ? 解析:选 C ∵A={y|y>0},B=?y|2<y<1?, ? ? ? 1 ? ∴A∩B=?y|2<y<1?. ? ?

2.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是( 2 A.?0,3? ? ? C.(1,0) 解析:选 C 当 x=1 时 y=0. 3.函数 y=lg |x|( ) 2 B.?3,0? ? ? D.(0,1)

)

A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 解析:选 B y=lg |x|是偶函数,由图象知在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调 递增. 4.(2012· 江苏高考)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________.

1 解析:由 1-2log6x≥0,解得 log6x≤ ?0<x≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. 2 答案:(0, 6 ] 5.(2012· 北京高考)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=________. 解析: f(ab)=1 得 ab=10, 由 于是 f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2lg 10=2. 答案:2

1.在运用性质 logaMn=nlogaM 时, 要特别注意条件, 在无 M>0 的条件下应为 logaMn =nloga|M|(n∈N*,且 n 为偶数). 2.对数值取正、负值的规律: 当 a>1 且 b>1,或 0<a<1 且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1,或 0<a<1 且 b>1 时,logab<0. 3.对数函数的定义域及单调性: 在对数式中,真数必须大于 0,所以对数函数 y=logax 的定义域应为{x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行 分类讨论.

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对数式的化简与求值

典题导入 [例 1] 求解下列各题. 1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245=________; 2 49 3 1 1 (2)若 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 1 32 4 [自主解答] (1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 (2)由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴ + =logm2+logm5=logm10. a b 1 1 ∵ + =2, a b ∴logm10=2,即 m2=10. 解得 m= 10(∵m>0). 1 [答案] (1) 2 (2) 10

由题悟法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简, 然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化 为同底对数真数的积、商、幂再运算. 以题试法 3 1.化简:(1)lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7

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(2)?

?lg 4-lg 60?3-45×2-11. ? ? lg 3+lg 5 ?

3 ×70 7 解:(1)原式=lg - lg23-2lg 3+1 3 =lg 10- ?lg 3-1?2 =1-|lg 3-1|=lg 3. (2)原式=?

?

lg 4-?lg 4+lg 15??3 10 -11 lg 15 ? -2 ×2

=?

-lg 15?3 -1 ? lg 15 ? -2

3 =- . 2

对数函数的图象及应用

典题导入 [例 2] (1)(2012· 烟台调研)函数 y=ln(1-x)的图象大致为( )

1 (2)(2012· 新课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

[自主解答] (1)由 1-x>0,知 x<1,排除选项 A、B;设 t=1-x(x<1),因为 t=1-x 为 减函数,而 y=ln t 为增函数,所以 y=ln(1-x)为减函数,可排除 D 选 C. (2)法一:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件, 1 1 1 当 0<a<1 时,画出两个函数在?0,2?上的图象,可知,f?2?<g?2?,即 ? ? ? ? ? ? 1 2 2 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 2 ?2 ? 1 1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x 2 2 1 1 11 = ,则有 4 =2,log =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 2 2 22 [答案] (1)C (2)B

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若本例(2)变为:若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成立,实数 a 的取值范围为 ________. 解析:设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图, 要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的图象下方,只 需 f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2, 又即 loga2≥1. 所以 1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]

由题悟法 1.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区 间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合求解. 2.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合 法求解. 以题试法

?3 ,x≤1, ? 2.已知函数 f(x)=? 1 则 y=f(1-x)的大致图象是( ?log3x,x>1, ?

x

)

?3 ,x≥0, ? 解析:选 C 由题意可得 f(1-x)=? 1 因此当 x≥0 时,y=f(1-x)为 ? ?log3?1-x?,x<0,
减函数,且 y>0;当 x<0 时,y=f(1-x)为增函数,且 y<0.

1-x

对数函数的性质及应用

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).

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(1)若 f(x)定义域为 R,求 a 的取值范围; (2)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (3)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. [自主解答] (1)因为 f(x)的定义域为 R, 所以 ax2+2x+3>0 对任意 x∈R 恒成立. 显然 a=0 时不合题意,
?a>0, ?a>0, ? ? 1 从而必有? 即? 解得 a> . 3 ?Δ<0, ?4-12a<0, ? ?

1 即 a 的取值范围是?3,+∞?. ? ? (2)因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

?a>0, ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? ? a =1,
1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 由题悟法 研究复合函数 y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,分析复合的特点,结 合函数 u=f(x)及 y=logau 的单调性(最值)情况确定函数 y=logaf(x)的单调性(最值)(其中 a>0, 且 a≠1). 以题试法 3.已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性. 解:(1)由 ax-1>0 得 ax>1,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. ∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞);

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当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<ax1<ax2, 故 0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1). ∴f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函 数.

1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( A.(0,8] C.(-2,8] B.(2,8]

)

D.[8,+∞)

? ?x+2≤10, 解析:选 C 由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得 lg(x+2)≤lg 10,则? 解 ?x+2>0, ?

得-2<x≤8,故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(-2,8]. 2.(2012· 安徽高考)(log29)· 34)=( (log 1 A. 4 C.2 解析:选 D 1 B. 2 D.4 lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 (log29)· 34)= (log × = × =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3 ) )

3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A.log2x 1 C.log x 2 解析:选 A ∴f(x)=log2x. 4.(2011· 天津高考)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( A.a>b>c C.b>a>c 解析:选 B B.a>c>b D.c>a>b a=log23.6=log43.62=log412.96, ) 1 B. x 2 D.2x
-2

f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.

y=log4x(x>0)是单调增函数,而 3.2<3.6<12.96,

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∴a>c>b. log2|x| 5.(2013· 安徽名校模拟)函数 y= 的大致图象是( x )

log2|-x| log2|x| log2|x| 解析:选 C 由于 =- ,所以函数 y= 是奇函数,其图象关于原点对 x x -x 称.当 x>0 时,对函数求导可知函数图象先增后减,结合选项可知选 C. 1 6.已知函数 f(x)=log |x-1|,则下列结论正确的是( 2 1 A.f?-2?<f(0)<f(3) ? ? 1 B.f(0)<f?-2?<f(3) ? ? 1 C.f(3)<f?-2?<f(0) ? ? 1 D.f(3)<f(0)<f?-2? ? ? 1 1 1 1 13 1 解析:选 C 依题意得 f(3)=log 2=-1<0,log 2<f?-2?=log <log 1,即-1<f?-2? ? ? 2 2 ? ? 22 2 1 1 <0,又 f(0)=log 1=0,因此有 f(3)<f?-2?<f(0). ? ? 2 )

?b-1,a<b, a 7. (2012· 长安一中质检)对任意的非零实数 a, 若 a?b=? b, a+1 ? b ,a≥b,
1 - ??2? 2=________. ? ? 1 - 解析:∵lg 10 000=lg 104=4,?2? 2=4, ? ? 1 - 4+1 5 ∴lg 10 000??2? 2= = . ? ? 4 4 5 答案: 4 1 8.函数 y=log (x2-6x+17)的值域是________. 2

则 lg 10 000

1 1 1 解析:令 t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,y=log t 为减函数,所以有 log t≤log 8=- 2 2 2 3. 答案:(-∞,-3]

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1 9.函数 f(x)=logax(a>1)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a 等于________. 2 解析:∵a>1, ∴f(x)=logax 在[a,2a]上为增函数. 1 ∴loga2a-logaa= ,解得 a=4. 2 答案:4 10.计算下列各式. (1)lg 25+lg 2· 50+(lg 2)2; lg (2) ?lg 3?2-lg 9+1· 27+lg 8-lg 1 000? ?lg . lg 0.3· 1.2 lg

解: (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2. 3 ?3 ?lg 3?2-2lg 3+1·2lg 3+3lg 2-2? ? ? ?lg 3-1?· 3+2lg 2-1? ?lg

(2)原式=

3 ?1-lg 3?·?lg 3+2lg 2-1? 2 3 = =- . 2 ?lg 3-1?· 3+2lg 2-1? ?lg 11. 说明函数 y=log2|x+1|的图象, 可由函数 y=log2x 的图象经过怎样的变换而得到. 并 由图象指出函数的单调区间. 解:作出函数 y=log2x 的图象,再作其关于 y 轴对称的图形得到函 数 y=log2|x|的图象,再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示). 由图知, 函数 y=log2|x+1|的递减区间为(-∞, -1), 递增区间为(- 1,+∞). 12.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). 解:(1)∵f(x)=x2-x+b, ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b. 由已知得(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1,即 a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4.∴b=4-a2+a=2.故 f(x)=x2-x+2. 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2

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1 7 =?log2x-2?2+ . ? ? 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4
??log2x?2-log2x+2>2, ? (2)由题意? 2 ? ?log2?x -x+2?<2 ? ?x>2或0<x<1, ?? ?0<x<1. ?-1<x<2 ?

? ?log2?8-x?,x≤0, 1.(2012· 山西四校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,

f(3)的值为( A.1 C.-2

) B.2 D.-3

解析:选 D 依题意得 f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=-log28=-3. 6 3 5 2. 已知 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0<x<1 时, 当 f(x)=lg x. a=f?5?, ?2?, ?2?, 设 ? ? b=f? ? c=f? ? 则( ) A.a<b<c C.c<b<a B.b<a<c D.c<a<b

6 4 解析: D 已知 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0<x<1 时, 选 当 f(x)=lg x, a=f?5?=f?-5? 则 ? ? ? ? 4 4 =-f?5?=-lg >0, ? ? 5 3 1 1 1 b=f?2?=f?-2?=-f?2?=-lg >0, ? ? ? ? ? ? 2 5 1 1 c=f?2?=f?2?=lg <0. ? ? ? ? 2 4 1 又因为 lg >lg , 5 2 4 1 所以 0<-lg <-lg . 5 2 所以 c<a<b. a 3. 若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1), 满足对任意的 x1, 2, x1<x2≤ 时, 1) x 当 f(x 2 -f(x2)>0,求实数 a 的取值范围. a 解:因为对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤ 时,f(x1)-f(x2)>0, 2

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a 所以函数 f(x)在?-∞,2?上单调递减. ? ? a a 令 t=x2-ax+3,则二次函数 t=x2-ax+3 的对称轴为 x= ,其在?-∞,2?上单调递 ? ? 2 减. 由复合函数的单调性,可知 y=logax 为单调增函数,故 a>1. a 由对数函数的定义域,可知在区间?-∞,2?上,t>0 恒成立,即 x2-ax+3>0 在区间 ? ?

?-∞,a?上恒成立. 2? ?
a a a a2 a2 而函数 t=x2-ax+3 在区间?-∞,2?上的最小值为?2?2-a× +3=3- .故 3- >0, ? ? ? ? 2 4 4 解得|a|<2 3. 综上可得 a 的取值范围是(1,2 3).

?log1x,x>0, ? 1.设函数 f(x)=? 2 若 f(m)<f(-m),则实数 m 的取值范围是( ? ?log2?-x?,x<0,
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 1 解析:选 C 当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log m<log2m?m>1; 2

)

1 当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log (-m)?-1<m<0.所以,m 的取值范围是(-1,0) 2 ∪(1,+∞). 2.已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 2a+b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) 解析:选 B B.[2 2,+∞) D.[3,+∞) 由于函数 f(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,当 )

0<a<b,且 f(a)=f(b)时,只能 0<a<1,b>1,故 f(a)=|lg a|=-lg a,f(b)=|lg b|=lg b.由 f(a) =f(b),得-lg a=log b,即 lg(ab)=0,故 ab=1.则 2a+b≥2 2ab=2 2,当且仅当 2a=b, 即 a= 2 ,b= 2时取等号. 2 4 3.化简:log3 27 1 2 · 5[4 log210-(3 3) -7log72]. log 3 2 3

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3 3 4 32 解:原式=log3 · 5[2log210-(3 ) -7log72] log 3 23 3 =?4log33-log33?· 5(10-3-2) ? ? log 3 1 =?4-1?· 55=- . ? ? log 4 4.(2012· 上海徐汇二模)已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 f(x2)· x)>k· f( g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 解:(1)h(x)=(4-2log2x)· 2x=-2(log2x-1)2+2, log 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2]. 故函数 h(x)的值域为[0,2]. (2)由 f(x2)· x)>k· f( g(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)>k· 2x, log 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k·对一切 t∈[0,2]恒成立, t ①当 t=0 时,k∈R; ?3-4t??3-t? 9 ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ -15 恒成立, t t 9 9 3 因为 4t+ ≥12,当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号, t t 2 9 所以 4t+ -15 的最小值为-3,即 k∈(-∞,-3). t

文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


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