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浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则(?UA)∩B= () A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{3

} 2. (3 分)已知函数 f(x)= A.(﹣∞,0)上单调递增 C. (﹣∞,0)上单调递减
a

,则 f(x)在() B. (0,+∞)上单调递增 D.(0,+∞)上单调递减

3. (3 分)若 3 >1,则实数 a 的取值范围为() A.a<0 B.0<a<1 C.a>0
2

D.a>2

4. (3 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=() A.2 B. 1 C. 0 D.﹣2

5. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)函数 f(x)= A.(3,4) B.[3,4)

的定义域是() C.(3,4] D.[3,4]

7. (3 分)已知 a=

1.5,则 a,b,c 的大小关系()

A.c<a<b

B.c<b<a

C.a<b<c

D.b<a<c

8. (3 分)已知 f(x)= A.2 B. 3

,则 f(2)为() C. 4 D.5

9. (3 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .则() A.f(3)<f(﹣2)<f(1) f(1)<f(3) D. 10. (3 分)已知函数 f(x)=| 围是() A.(﹣∞,﹣1) B.f(1)<f(﹣2)<f(3) f(3)<f(1)<f(﹣2) C. f(﹣2)<

(x+2)|在[m,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范

B.(﹣2,﹣1]

C.(﹣1,+∞)

D.[﹣1,+∞)

11. (3 分)设 f(x)=lg( A.(﹣1,0)

+a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是() C.(﹣∞,0) D.(﹣∞, 0) ∪ (1, +∞)

B.(0,1)

12. (3 分)设函数

,对于给定的正数 K,定义函数 若对于函数 定义域内的任意 x,恒

有 fK(x)=f(x) ,则() A.K 的最大值为 C. K 的最大值为 1

B. K 的最小值为 D.K 的最小值为 1

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分. 将每题的正确结果填在相应的横线上. ) 13. (4 分) =.

14. (4 分)若 f(2x+1)=x,则 f(3)=. 15. (4 分)已知函数 f(x)=log3(x ﹣5x+6) ,则函数 f(x)的递增区间是.
2

16. (4 分)设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=5,则 a=.

17. (4 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为 ;

②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是偶函数; ④函数 y=f(x)在 其中正确的命题的序号是. 上是增函数.

三、解答题(本大题共 44 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 2 18. (8 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B; A∪(?UB) (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围.

19. (8 分)已知函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1) ,4) ,求 a 的值;

(1)若函数 y=f(x)的图象经过点 P( (2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (3)比较 f(

)与 f(﹣2,1)的大小,并写出必要的理由.

20. (10 分)已知函数 f(x)=mx+

+ (m,n 是常数) ,且 f(1)=2,f(2)=



(1)求 m,n 的值; (2)当 x∈[1,+∞)时,判断 f(x)的单调性并证明; (3)若不等式 f(1+2x )>f(x ﹣2x+4)成立,求实数 x 的取值范围.
2 2

21. (8 分)已知函数

,且 f(2)<f(3)

(1)求 k 的值; (2)试判断是否存在正数 p,使函数 g(x)=1﹣p?f(x)+(2p﹣1)x 在区间[﹣1,2]上的值 域为 .若存在,求出这个 p 的值;若不存在,说明理由.
2

22. (10 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=a|x﹣1|. (1)若关于 x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[﹣2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演 算步骤) .

2014-2015 学年浙江省绍兴市诸暨中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则(?UA)∩B= () A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,由集合 A 与全集 U,可得?UA,由集合 B 集合交集的意义,可得答案. 解答: 解:根据题意,全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5}, 则?UA={2,4}, 又由集合 B={3,4},则(CUA)∩B={4}, 故选 A. 点评: 本题考查集合的混合运算,关键是理解集合的补集、交集、并集的含义. 2. (3 分)已知函数 f(x)= A.(﹣∞,0)上单调递增 C. (﹣∞,0)上单调递减 ,则 f(x)在() B. (0,+∞)上单调递增 D.(0,+∞)上单调递减

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据单调函数的定义,利用定义直接证明,或利用导数判断也可以. 解答: 解:∵f(x)= = ∴x∈[0,+∞) ,x>0 时,f′(x)= >0,∴f(x)在[0,

+∞0 上是递增函数. 故选:B 点评: 本题考查函数的单调区间,属于基础题. 3. (3 分)若 3 >1,则实数 a 的取值范围为() A.a<0 B.0<a<1 C.a>0 考点: 专题: 分析: 解答: 指、对数不等式的解法. 函数的性质及应用. 根据指数函数的单调性即可得到结论. a 解:∵3 >1
a

D.a>2

∴3 >3 , ∵3>1, ∴a>0 故选 C. 点评: 本题主要考查指数不等式的解法,根据指数函数的单调性是解决本题的关键,比较 基础.
2

a

0

4. (3 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=() A.2 B. 1 C. 0 D.﹣2

考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,运算求得结果. 解答: 解:∵已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=﹣f(1) =﹣(1+1)=﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题. 5. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()
2

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题. 分析: 根据函数图象的对称变换,可以将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 并将其关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象. 解答: 解:函数 y=f(|x|)= ,是偶函数,

因此将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变,

利用函数 y=f(|x|)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的对称变换,其本质是去绝对值符号,属基础题.

6. (3 分)函数 f(x)= A.(3,4) B.[3,4)

的定义域是() C.(3,4] D.[3,4]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析: 要使函数有意义,则需

,解出即得定义域.

解答: 解:要使函数有意义,则需





则 3<x<4, 则定义域为(3,4) . 故选 A. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,分式分母不为 0,对数 的真数大于 0,考查运算能力,属于基础题.

7. (3 分)已知 a= A.c<a<b B.c<b<a

1.5,则 a,b,c 的大小关系() C.a<b<c D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵ > >1,c=log2.51.5<1,

∴c<b<a. 故选:B. 点评: 本题考查了幂数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

8. (3 分)已知 f(x)= A.2 B. 3

,则 f(2)为() C. 4 D.5

考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数,逐步求解即可. 解答: 解:f(x)= ,

则 f(2)=f(2+3)=f(5+3)=8﹣4=4. 故选:C. 点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,基本知识的考查. 9. (3 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .则() A.f(3)<f(﹣2)<f(1) f(1)<f(3) D. B.f(1)<f(﹣2)<f(3) f(3)<f(1)<f(﹣2) C. f(﹣2)<

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .可得出函数在[0,

+∞)上是减函数,再由偶函数的性质得出函数在(﹣∞,0]是增函数,由此可得出此函数函 数值的变化规律,由此规律选出正确选项 解答: 解:任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 ∴f(x)在(0,+∞]上单调递减, 又 f(x)是偶函数,故 f(x)在(﹣∞,0]单调递增. 且满足 n∈N 时,f(﹣2)=f(2) ,3>2>1>0, 由此知,此函数具有性质:自变量的绝对值越小,函数值越大 ∴f(3)<f(﹣2)<f(1) , 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用.属基础题. 10. (3 分)已知函数 f(x)=| 围是() A.(﹣∞,﹣1) (x+2)|在[m,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范
*



B.(﹣2,﹣1]

C.(﹣1,+∞)

D.[﹣1,+∞)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数 f(x)的递增区间,从而得到 m 的范围.

解答: 解:由题意得:x+2≥1,解得:x≥﹣1, 故 m≥﹣1, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查了对数函数的性质,是一道基础题. 11. (3 分)设 f(x)=lg( A.(﹣1,0) +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是() C.(﹣∞,0) D.(﹣∞, 0) ∪ (1, +∞)

B.(0,1)

考点: 奇函数;对数函数的单调性与特殊点. 分析: 首先由奇函数定义,得到 f(x)的解析式的关系式(本题可利用特殊值 f(0)=0) , 求出 a, 然后由对数函数的单调性解之. 解答: 解:由 f(﹣x)=﹣f(x) , ,即
2 2 2 2

, = ,

1﹣x =(2+a) ﹣a x 2 2 此式恒成立,可得 a =1 且(a+2) =1,所以 a=﹣1 则



解得﹣1<x<0 故选 A 点评: 本题主要考查奇函数的定义,同时考查对数函数的单调性.

12. (3 分)设函数

,对于给定的正数 K,定义函数 若对于函数 定义域内的任意 x,恒

有 fK(x)=f(x) ,则() A.K 的最大值为 C. K 的最大值为 1 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数

B. K 的最小值为 D.K 的最小值为 1

,对于给定的正数 K,定义函数 若对于函数 定义域内的任意 x,恒

有 fK(x)=f(x) ,则 f(x)的最大值小于等于 M,求出函数的值域,即可确定满足条件的 M 的范围,进而得到答案. 解答: 解:∵函数 由已知中函数 的值域为(0,2 , ]

结合对于函数

定义域内的任意 x,恒有 fK(x)=f(x) ,

故 M≥2 即 K 的最小值为 故选 B 点评: 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,其中根据指数函数的性质,二次函 数的图象和性质,确定出函数 的值域是解答本题的关键.

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分. 将每题的正确结果填在相应的横线上. ) 13. (4 分) = .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用指数幂和对数的运算性质即可得出. 解答: 解:原式= 故答案为 . = = .

点评: 熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键. 14. (4 分)若 f(2x+1)=x,则 f(3)=1. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的性质得 f(3)=f(2×1+1)=1. 解答: 解:∵f(2x+1)=x, ∴f(3)=f(2×1+1)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 15. (4 分)已知函数 f(x)=log3(x ﹣5x+6) ,则函数 f(x)的递增区间是(3,+∞) . 考点: 复合函数的单调性.
2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=x ﹣5x+6>0,求得函数的定义域,且 f(x)=log3t,本题即求函数 t 在定义域内 的增区间.再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间. 2 解答: 解:令 t=x ﹣5x+6>0,求得 x<2,或 x>3,可得函数的定义域为{x|x<2,或 x> 3},且 f(x)=log3t, 故本题即求函数 t 在定义域内的增区间. 再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为(3,+∞) , 故答案为: (3,+∞) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题.
2

16. (4 分)设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=5,则 a=



考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 t=f(a) ,则当 t≤0 时,t +2t+2=5,即可得到 t,当 t>0 时,﹣t =5,t∈?,再讨论 a,即可得到所求值. 解答: 解:由于函数 f(x)=
2 2 2



则令 t=f(a) ,则当 t≤0 时,t +2t+2=5,解得,t=﹣3 或 1,则 t=﹣3; 2 当 t>0 时,﹣t =5,t∈?, 则有 f(t)=5 的解为 t=﹣3 即有 f(a)=﹣3, 当 a≤0 时,a +2a+2=﹣3,解得,a∈?, 2 当 a>0 时,﹣a =﹣3,解得 a=± ,则 a= . 故答案为: 点评: 本题考查分段函数的运用,考查分段函数值,必须注意各段的自变量的范围,考查 运算能力,属于基础题.
2

17. (4 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为 ;

②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是偶函数; ④函数 y=f(x)在 上是增函数.

其中正确的命题的序号是①②③. 考点: 命题的真假判断与应用.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题为新定义问题,因为 m 为整数,故可取 m 为几个特殊的整数进行研究,进而得 到函数的图象的草图,结合图象分析得到答案. 解答: 解:由题意 x﹣{x}=x﹣m,f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣m|, m=0 时,﹣ <x≤ ,f(x)=|x|, m=1 时,1﹣ <x≤1+ ,f(x)=|x﹣1|, m=2 时,2﹣ <x≤2+ ,f(x)=|x﹣2|, … 画出函数的图象如图所示,由图象可知正确命题为①②③, 故答案为:①②③

点评: 本题是新定义问题,考查函数的性质,可结合图象进行研究,体现数形结合思想. 三、解答题(本大题共 44 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (8 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B; A∪(?UB) (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)首先将集合 B 化简,然后与集合 A 相交,取 B 的补集,与集合 A 相并; (2)由 C∪A=A 得到 C?A,得到集合端点的关系解之. 解答: (1)B={x|1≤x≤7}∴A∩B={x|3≤x≤7}A∪(CUB)={x|x<1 或 x≥3}, (2)∵C∪A=A,∴C?A∴a﹣1≥3,∴a≥4. 点评: 本题考查了集合的运算以及由集合的关系求次数范围,属于基础题.
2

19. (8 分)已知函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1) ,4) ,求 a 的值;

(1)若函数 y=f(x)的图象经过点 P( (2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性;

(3)比较 f(

)与 f(﹣2,1)的大小,并写出必要的理由.

考点: 函数奇偶性的判断;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)运用代入法,解方程,即可得到 a; (2)f(x)为偶函数.再由奇偶性的定义,先求定义域,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较, 即可得到奇偶性; (3)对 a 讨论:a>1,0<a<1,判断函数在 x<0 上的单调性,即可得到大小关系. 解答: 解: (1)∵ (2)f(x)为偶函数. 理由如下:∵f(x)的定义域为 R,且 ∴f(x)为偶函数. (3)∵ , , ,∴a=2

①当 a>1 时,f(x)在(﹣∞,0)上单调递减, ∵﹣2>﹣2.1,∴ <f(﹣2.1) ;

②当 0<a<1 时,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, ∵﹣2>﹣2.1,∴ >f(﹣2.1) .

点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,考查函数的单调性及运用:比较大小,考查运算能 力,以及分类讨论思想方法,属于中档题.

20. (10 分)已知函数 f(x)=mx+

+ (m,n 是常数) ,且 f(1)=2,f(2)=



(1)求 m,n 的值; (2)当 x∈[1,+∞)时,判断 f(x)的单调性并证明; (3)若不等式 f(1+2x )>f(x ﹣2x+4)成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 本题(1)根据条件得到参数的两个方程,解方程组得到本题结论; (2)利用函数单 调定义加以证明,得到本题结论; (3)利用函数的单调性,得到相应的自变量的大小关系,解 不等式得到本题结论. 解答: 解: (1)∵ ∴ . ,
2 2

(2)结论:f(x)在[1,+∞)上单调递增.下面证明. 证明:设 1≤x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)= =

=



∵1≤x1<x2, ∴x1﹣x2<0,x1x2>1, ∴2x1x2>1, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, 即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增. 2 2 2 (3)∵1+2x ≥1,x ﹣2x+4=(x﹣1) +3≥3, 2 2 ∴只须 1+2x >x ﹣2x+4, 2 ∴x +2x﹣3>0, ∴x<﹣3 或 x>1. ∴实数 x 的取值范围是:x<﹣3 或 x>1. 点评: 本题考查了函数的解析式、函数的单调性定义和应用,本题难度不大,属于基础题.

21. (8 分)已知函数

,且 f(2)<f(3)

(1)求 k 的值; (2)试判断是否存在正数 p,使函数 g(x)=1﹣p?f(x)+(2p﹣1)x 在区间[﹣1,2]上的值 域为 .若存在,求出这个 p 的值;若不存在,说明理由.

考点: 二次函数的性质. 专题: 综合题;压轴题;数形结合;分类讨论;分类法. 分析: (1)由函数形式知,此为一幂函数,又 f(2)<f(3) ,可知函数在[2,3]是增函数, 由分析知,函数 是一增函数,故指数为正,即﹣k +k+2>0,
2

再结合 k 为整数求解即可 2 (2)由(1)知函数解析式为 f(x)=x ,将其代入函数 g(x)知其也为一二次函数,下研究 g (x) 在区间[﹣1, 2]上的最值, 结合值域为 能求出,则说明存在,否则,不存在. 解答: 解: (1)已知函数 ∵f(2)<f(3) ,∴﹣k +k+2>0,即 k ﹣k﹣2<0, ∵k∈Z,∴k=0 或 1 (2)存在 p=2,使得结论成立,证明如下: 2 由(1)知函数解析式为 f(x)=x ,
2 2

建立关于参数 p 的方程求参数即可. 若



①当

,即

时,

②当

时,解得﹣ <p<0,

∵p>0,∴这样的 p 不存在. ③当 ,即 时,

,解之得,这样的 p 不存在. 综①②③得,p=2. 即当 p=2 时,结论成立. 点评: 本题考点是二次函数的性质,考查利用二次函数的性质判断出函数的最值,利用最 值建立方程求参数,本题是一存在性问题,考查思维的严密性综合性较强,分类时要做到不重 不漏,严谨做题. 22. (10 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=a|x﹣1|. (1)若关于 x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[﹣2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演 算步骤) . 考点: 函数的零点与方程根的关系;函数最值的应用. 专题: 压轴题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)关于 x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,可转化为|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0 只有一个解,进而转化为|x+1|=a,有且仅有一个等于 1 的解或无解,进行判断得出参数范围即 可. (2)根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可,此分类讨论是根据自变量进行 分类的,故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立. (3)将所给的函数写成分段函数的形式,在每一段上对函数的最值进行讨论,求出最大值, 再比较两段上的最值得到函数的最大值,由于参数的影响,函数的单调性不确定,故可以根据 需要分成三段进行讨论 解答: 解: (1)方程|f(x)|=g(x) ,即|x ﹣1|=a|x﹣1|,变形得|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0, 显然,x=1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a, 有且仅有一个等于 1 的解或无解, 由此得 a<0. 2 (2)不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 恒成立,即(x ﹣1)≥a|x﹣1|(*)对 x∈R 恒成立, ①当 x=1 时, (*)显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠1 时, (*)可变形为 ,令
2 2

因为当 x>1 时,φ(x)>2,当 x<1 时,φ(x)>﹣2, 所以 φ(x)>﹣2,故此时 a≤﹣2. 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a≤﹣2.
2

(3)因为 h(x)=|f(x)|+g(x)=|x ﹣1|+a|x﹣1|=

(10

分) 当 时,结合图形可知 h(x)在[﹣2,1]上递减,在[1,2]上递增,

且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时 h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 3a+3. 当 在 时,结合图形可知 h(x)在[﹣2,﹣1], ,[1,2]上递增,且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3, 上递减, ,

经比较,知此时 h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 3a+3. 当 在 时,结合图形可知 h(x)在[﹣2,﹣1], ,[1,2]上递增,且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3, 上递减, ,

经比较,知此时 h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 a+3. 当 递减, 在 , 上递增,且 h(﹣2)=3a+3<0,h(2)=a+3≥0, 时,结合图形可知 h(x)在 , 上

经比较,知此时 h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 a+3. 当 时,结合图形可知 h(x)在[﹣2,1]上递减,在[1,2]上递增,

故此时 h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 h(1)=0. 综上所述,当 a≥0 时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 3a+3; 当﹣3≤a<0 时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 a+3; 当 a<﹣3 时,h(x)在[﹣2,2]上的最大值为 0. (14 分) 点评: 本题考查函数的零点与方程的根的关系,解题的关键是根据所给的条件及相关知识 对问题进行正确转化,本题比较抽象,对问题的转化尤其显得重要,本题在求解问题时用到了 分类讨论的思想,转化化归的思想,数学综合题的求解过程中,常到到这两个思想.


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