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2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案(word版)


2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ??? ? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是_____________. 3 2.设 ?ABC 的内角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? c , 5 tan A 则 的值是_____________. tan B 3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是
1.设 P 是函数 y ? x ? _____________. 4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的
2

两个动点,且满足 ?AFB ? 则

? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N , 3

| MN | 的最大值是_____________. | AB | 5.设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥

P ? ABC 的侧面与底面所成的角为 45? ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________. ? 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ?[a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒 成立,则实数 a 的取值范围是_____________. 1 ? 1 7.满足 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是_____________. 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C, D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等 可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.(用最简分数表示)
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 10.(本小题满分20分)已知数列 ? an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a13 ? a2 ? ? ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

点 C 的轨迹. 2012 年全国高中数学联赛加试试题 一、 (本题满分 40 分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC, M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN. 设 ?ABC 和 ?AMN 的外 心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。

1

二、 (本题满分 40 分)

试证明:集合 A ? 2, 2 ,? , 2 ,? 满足
2 n

?

?

(1)对每个 a ? A ,及 b ? N ,若 b ? 2a ?1 ,则 b(b ? 1) 一定不是 2a 的倍数; (2)对每个 a ? A (其中 A 表示 A 在N 中的补集) ,且 a ? 1 ,必存在 b ? N , b ? 2a ?1 ,使 b(b ? 1) 是 2a 的倍数. 三、 (本题满分 50 分) 设 P , P , P2 ,?, Pn 是平面上 n ? 1个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 0 1 求证: P P ? P P2 ?? P Pn ? ( ) n (n ? 1)! 0 1 0 0 四、 (本题满分 50 分) 设 Sn ? 1 ?
?

?

d 3

1 1 ? ? ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a, b ,数列 {Sn ? [ Sn ]} 中有无穷多项属于 2 n (a, b) .这里, [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ??? ? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 . 2 2 2 解:方法1:设 p ( x0 , x0 ? ), 则直线 PA 的方程为 y ? ( x0 ? ) ? ?( x ? x0 ), 即 y ? ? x ? 2 x0 ? . x0 x0 x0
1. 设 P 是函数 y ? x ?

?y ? x 1 1 ? 由? 2 ? A( x0 ? , x0 ? ). x0 x0 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ? ??? ? ? ??? ??? 1 ? ? 2 1 1 ??? ? (? x0 ) ? ?1. 又 B(0, x0 ? ), 所以 PA ? ( , ? ), PB ? (? x0 , 0). 故 PA ? PB ? x0 x0 x0 x0 3 2. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? c , 5 tan A 则 的值是 . tan B c 2 ? a 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 3 3 ?b? ? c ,即 a 2 ? b2 ? c 2 故 解:由题设及余弦定理得 a ? 2ca 2bc 5 5 2 2 2 a ?c ?b 8 2 a? c tan A sin A cos B c2 ? a 2 ? b2 5 2ac ? ? ? 2 2 ? ? 4. b2 ? c 2 ? a 2 b ? c ? a 2 2 c2 tan B sin B cos A b? 5 2bc 3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是
解:不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为 所以 M ?

.

y ? x ? z ? y ? z ? x.

y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y )] ? 2( z ? x).

2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ? 1) z ? x ? 2 ? 1. 1 当且仅当 y ? x ? z ? y, x ? 0, z ? 1, y ? 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ? 1. 2 2 4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的

2

两个动点,且满足 ?AFB ? 则

? .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N , 3
.

| MN | 的最大值是 | AB |

解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ?
2 2 2

AF ? BF 2

.

在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos

?
3
AF ? BF 2 )2 ? MN .
2

? ( AF ? BF ) 2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF ) 2 ? 3(
当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

AF ? BF 2

)2 ? (

MN AB

的最大值为1.
?

5. 设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球. 若正三棱锥 P ? ABC 的侧面与底面所成的角为 45 , 则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 . 解:如图.连结 PQ ,则 PQ ? 平面 ABC ,垂足 H 为正 ?ABC 的中心,且 PQ 过球心 O ,连结 CH 并延长交 AB 于点 M , 则 M 为 AB 的中点,且 CM ? AB ,易知 ?PMH , ?QMH 分别为正三棱锥

P ? ABC, Q ? ABC 的侧面与底面所成二角的平面角,则 ?PMH ? 45? 1 ? ,从而 PH ? MH ? AH ,因为 ?PAQ ? 90 , AH ? PQ, 2 1 2 2 所以 AP ? PH ? QH , 即 AH ? AH ? QH . 2 QH 所以 QH ? 2 AH ? 4MH . ,故 tan ?QMH ? ?4 MH ? 6. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 . x ?[a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是
? x 2 ( x ? 0) ? 解:由题设知 f ( x) ? ? 2 ,则 2 f ( x) ? f ( 2 x). 因此,原不等式等价于 f ( x ? a) ? f ( 2 x). ?? x ( x ? 0) ?
因为 f ( x) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ?

2 x, 即 a ? ( 2 ? 1) x. 又 x ?[a, a ? 2], 所以当 x ? a ? 2 时,

( 2 ? 1)x 取得最大值 ( 2 ? 1)(a ? 2). 因此, a ? ( 2 ? 1)(a ? 2), 解得 a ? 2. 故 a 的取值范围是 [ 2, ??). 1 ? 1 7.满足 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 . 4 n 3 ? 3 ? ? 1 ? 3 ? 1 解:由正弦函数的凸性,有当 x ? (0, ) 时, x ? sin x ? x, 由此得 sin ? ? ,sin ? ? ? , 6 ? 13 13 4 12 ? 12 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C, D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中
等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是 数表示) 解:用 Pk 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为 .(用最简分

3

1 1 1 1 3 1 1? ? 1 ? Pk .于是,有 Pk ?1 ? (1 ? Pk ), k ? N ? ,即 Pk ?1 ? ? ? ( Pk ? ) 由 P ? 1 知, ? Pk ? ? 是首项为 ,公比为 ? 的 1 4? 3 4 3 4 4 3 ? 1 3 1 3 1 1 61 等比数列。所以 Pk ? ? (? )k ?1 ,即 Pk ? (? ) k ?1 ? ,故 P7 ? 4 4 3 4 3 4 243
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; 解:(1) f ( x) ? sin 2 x ? a sin x ? a ?

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

3 3 . 令 t ? sin x(?1 ? t ? 1), 则 g (t ) ? t 2 ? at ? a ? ???? 4 分 a a 3 ? ? g (?1) ? 1 ? a ? 0 ? 对任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 ? ? a ? (0,1]??? 8 分 ? g (1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ? a ? a 3 (2)因为 a ? 2, 所以 ? ? ?1. 所以 g (t )min ? g (?1) ? 1 ? ????12 分 2 a 3 3 因此 f ( x) min ? 1 ? . 于是,存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 的充要条件是 1 ? ? 0 ? 0 ? a ? 3. a a 故 a 的取值范围是 [2,3].????16 分 10.(本小题满分20分)已知数列 ? an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a13 ? a2 ? ? ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1 ? 1 .当 n ? 2 时, (1 ? a2 ) ? 1 ? a2 ,由 a2 ? 0 得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1 ………5
2 3 2 3

分 当 n ? 3 时, (1 ? a2 ? a3 ) ? 1 ? a2 ? a3 . 若 a2 ? 2 得 a3 ? 3 或 a3 ? ?2 ;若 a2 ? ?1 得 a3 ? 1 ;
2 3 3

综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分 (2)令 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ) 从而 ( Sn ? an ?1 ) ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1.
2 3 3 3 2 3 3 3 3 ?

两式相减,结合 an ?1 ? 0 得 2Sn ? an ?1 ? an ?1 当 n ? 1 时,由(1)知 a1 ? 1 ;
2

当 n ? 2 时, 2an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? (an ?1 ? an ?1 ) ? (an ? an ), 即 (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? 1) ? 0,
2 2

所以 an ?1 ? ?an 或 an ?1 ? an ? 1 ……………………………………15分又 a1 ? 1, a2013 ? ?2012, 所以 an ? ?

?n(1 ? n ? 2012)
n ?2012 ? (?1) ( n ? 2013)

………………………………20分

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

4

点 C 的轨迹. 解:因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O, A, C 山的共线………………………………………5分 如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有 OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )

? OK ? AK ? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 (定值)…………10分
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)设 C ( x, y), A(2 ? 2cos ? , 2sin ? ), 其中 ? ? ?XMA(?
2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ?XOC ?

?
2

. …………15分

因为 OA ? (2 ? 2cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16cos 由(1)的结论得 OC cos

?
2

, 所以 OA ? 4 cos

?
2

?
2

? 5, 所以 x ? OC cos

?
2

? 5. 从而 y ? OC sin

?
2

? 5 tan

?

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A(5,5), B(5, ?5) ……………20分 2012 年全国高中数学联赛加试试题(

2

? [?5,5].

A 卷)

一、 (本题满分40分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC, M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN. 设 ?ABC 和 ?AMN 的外 A 心分别为 O , O ,求证: O , O , A 三点共线。
1 2 1 2

证明:如图.连接 AO1 , AO2 ,过 A 点作 AO1 的垂线 AP 交 BC 的延长线于点 P ,则 AP 是 ? O1 的切线.因此 ?B ? ?PAC ………10 分 因为 ?BAM ? ?CAN , 所以 ?AMP ? ?B ? ?BAM ? ?PAC ? ?CAN ? ?PAN …………20 分 因而 AP 是 ? AMN 的外接圆 O2 的切线…………………30 分 故 AP ? AO2 . 所以 O1 , O2 , A 三点共线。………………………………40 分 二、 (本题满分40分) 试证明:集合 A ? 2, 2 ,? , 2 ,? 满足
2 n

B

M N

C

?

?

(1)对每个 a ? A ,及 b ? N ,若 b ? 2a ?1 ,则 b(b ? 1) 一定不是 2a 的倍 数; (2)对每个 a ? A (其中 A 表示 A 在N 中的补集) ,且 a ? 1 ,必存在 b ? N ,b ? 2a ?1 ,使 b(b ?1) 是 2a 的倍数. 证 明 : 对 任 意 的 a ? A , 设 a ? 2 , k ? N , 则 2a ? 2
k ?

?

?

k ?1

, 如 果 b 是 任 意 一 个 小 于 2a ?1 的 正 整 数 , 则

b ? 1 ? 2a ?1 ………………………………………10 分 由于 b 与 b ? 1 中,一个为奇数,它不含素因子 2 ,另一个是偶数,它含素因子 2 的幂的次数最多为 k ,因此 b(b ? 1) 一定不 是 2a 的倍数;…………………20 分 k 若 a ? A ,且 a ? 1, 设 a ? 2 ? m, 其中 k 为非负整数, m 为大于 1 的奇数,

5

则 2a ? 2k ?1 ? m ……………………………………………………………30 分 下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令 b ? mx, b ? 1 ? 2 由于 (2
k ?1 k ?1

y, 消去 b 得 2k ?1 y ? mx ? 1.

? x ? x0 ? 2 k ?1 t ? 其中 t ? z, ( x0 , y0 ) 为方程的特解. , m) ? 1, 这方程必有整数解; ? ? y ? y0 ? mt ? ? ? ? ? k ?1 把最小的正整数解记为 ( x , y ), 则 x ? 2 ,故 b ? mx ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2a 的倍数.……40 分
证法二:由于 (2
k ?1

, m) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0(mod 2k ?1 ) k ?1 在区间 (0, 2 m) 上有解 x ? b, 即存在 b ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2a 的倍数.…………40 分 ? ? x ? m ? 1(mod m)
证法三:由于 (2, m) ? 1, 总存在 r (r ? N , r ? m ? 1), 使 2 ? 1(mod m) 取 t ? N , 使 tr ? k ? 1, 则 2 ? 1(mod m)
r tr ? ?

存在 b ? (2 ? 1) ? q ? (2
tr

k ?1

m) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2a ? 1,

此时 m b , 2

k ?1

m ? 1, 因而 b(b ? 1) 是 2a 的倍数.……………40 分

三、 (本题满分50分) P0 , P , P2 ,?, Pn 是平面上 n ? 1个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 设 1 求证: P P ? P P2 ?? P Pn ? ( ) 0 1 0 0

d 3

n

(n ? 1)! d k ?1 3

证法一:不妨设 P P ? P P2 ? ? ? P Pn . 先证明:对任意正整数 k ,都有 P Pk ? 0 1 0 0 0 显然, P0 Pk ? d ?

d k ? 1 对 k ? 1, 2,?,8 均成立,只有 k ? 8 时右边取等号……10 分 3 d 所以,只要证明当 k ? 9 时,有 P Pk ? k ? 1 即可. 0 3 d d 以 P (i ? 0,1, 2,?, k ) 为圆心, 为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;以 P0 圆心, P Pk ? 为半径画圆,这个圆 i 0 2 2 覆盖上述 k ? 1 个圆………………20 分 d 2 d 2 d 所以 ? ( P Pk ? ) ? (k ? 1)? ( ) ? P Pk ? ( k ? 1 ? 1) ……………………30 分 0 0 2 2 2 k ? 1 ?1 k ?1 ? 由 k ? 9 易知 …………………………………………40 分 2 3 d 所以 P Pk ? k ? 1 对 k ? 9 时也成立. 0 3 d 综上,对任意正整数 k 都有 P Pk ? k ?1 . 0 3 d n 因而 P P ? P P2 ?? P Pn ? ( ) (n ? 1)! ………………………………50 分 0 1 0 0 3 证法二: 不妨设 P P ? P P2 ? ? ? P Pn . 0 1 0 0
以 P (i ? 0,1, 2,?, k ) 为圆心, i

d 为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;…10 分 2
d 1 3 ? P0 Pk ? P0 Pk ? P0 Pk ……………………………20 分 2 2 2

设 Q 是是圆 Pi 上任意一点,由于

P0Q ? P0 Pi ? PQ ? P0 Pi ? i

6

3 P0 Pk 为半径的圆覆盖上述个圆…………………30 分 2 3 d d 故 ? ( P Pk ) 2 ? (k ? 1)? ( ) 2 ? P Pk ? k ? 1(k ? 1, 2,?, n) ……………………40 分 0 0 2 2 3 d 所以 P P ? P P2 ?? P Pn ? ( ) n (n ? 1)! ………………………………………50 分 0 1 0 0 3
因而,以 P0 为圆心, 四、 (本题满分50分) 设 Sn ? 1 ?

1 1 ? ? ? ,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a, b ,数列 {Sn ? [ Sn ]} 中有无穷多项属于 2 n (a, b) .这里, [ x] 表示不超过实数x的最大整数.
?

证法一:(1)对任意 n ? N ,有

1 1 1 1 1 1 1 1 S 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? ? ? n ) ? 1 ? ? ? ? ? ? n …………………………10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? N0 , ? b ? a, Sn0 ? m ? m ? n ………20 分 令 N0 ? [ ] ? 1, m ? [ Sn0 ] ? 1, 则 b?a N0 b?a
又令 N1 ? 2
t ( m ?1)
?

,则 S N1 ? S2t ( m?1) ? m ? 1 ? m ? b,

因此存在 n ? N , N 0 ? n ? N1 , 使得 m ? a ? Sn ? m ? b, 所以 Sn ? [ Sn ] ? (a, b) ……………..30 分 不然一定存在 N 0 ? k , 使得 Sk ?1 ? m ? a, Sk ? m ? b, 因此 Sk ? Sk ?1 ? b ? a, 这与 Sk ? Sk ?1 ?

1 1 ? ? b ? a 矛盾.所以一定存在 n ? N ? , 使得 Sn ? [ Sn ] ? ( a, b) ………40 分 k N0

(2)假设只有有限个正整数 n1 , n2 ,?, nk , 使得 Sn j ? [ Sn j ] ? (a , b ), (1? j ? k ) 令 c ? 不存在 n ? N , n ? N , 使得 Sn ? [ Sn ] ? (a, c), 这与(1)的结论矛盾.
? ?

min ?S
1? j ? k

nj

? [Sn j ] , 则 a ? c ? b, 则

?

所以数列 ?S n ? [ S n ]? 中有无穷多项属于 (a, b) .终上所述原命题成立…………………50 分

1 1 1 ? ??? n 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ??? ( n ??? n ) 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? n …………………10 分 2 2 2 2 1 1 因此,当 n 充分大时, S n 可以大于如何一个正数,令 N 0 ? [ ] ? 1, 则 N 0 ? , 当 k ? N0 时, b?a b?a 1 1 Sk ? Sk ?1 ? ? ? b ? a ……………………………………20 分 k N0 因此,对于如何大于 S N0 的正整数 m, 总存在 n ? N 0 , 使 Sn ? m ? (a, b),
证法二:(1) S2n ? 1 ? 即 m ? a ? Sn ? m ? b, 否则,一定存在 k ? N 0 , 使 Sk ?1 ? m ? a, 且 S k ? m ? b, 这样就有 Sk ? Sk ?1 ? b ? a,

1 1 ? ? b ? a, 矛盾.故一定存在 n ? N 0 , 使得 m ? a ? Sn ? m ? b, ………30 分 k N0 令 mi ? [ S N0 ] ? i (i ? 1, 2,3,?), 则 mi ? S N0 , 故一定存在 n1 ? N 0 ,
而 S k ? S k ?1 ?

7

使 mi ? a ? S ni ? mi ? b ,因此 a ? Sni ? mi ? Sni ? [ Sni ] ? b ………………..40 分

这样的 i 有无穷多个,所以数列 ?S n ? [ S n ]? 中有无穷多项属于 (a, b) ……………50 分

8


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