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二项式拓展之:解排列组合问题的五大原则


二项式拓展之:解排列组合问题的五大原则 排列、组合是高中数学的重要内容,新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的 重要性. 高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理 为出发点, 侧重检测解题思想和解题技巧, 因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时 训练的核心.下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“五大原则”. 一、 分类讨论原则

: 例 1.(2012 德州二模)2012 年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五 名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从 事前三项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 二、 特殊优先原则 该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置. 例 2.(2012 烟台二模)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中 至少有 1 门相同的选法种数为(用数字作答)___ 答案:30 解析:可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C 4 C 4 =36,再求出两人所选两门都都不同 的种数均为 C4 C2 =6,故只至少有 1 门相同的选法有 36-6=30 种。 评注: 特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则, 对有限制的元素和有限制的 位置一定要优先考虑. 三、先取后排原则 m m m · Am ? An 该原则充分体现了 Cn 的精神实质,先组合后排列,从而避免了不必要的重复 2 2 2 2 与遗漏. 例 3.(2009 重庆卷理)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有 答案:36 解析分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有 2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ;第二 2 A2 种(用数字作答). school.chinaedu.com 步 将 分 好 的 三 组 分 配 到 3 个 乡 镇 , 其 分 法 有 A3 所 以 满 足 条 件 得 分 配 的 方 案 有 2 1 1 C4 ?C 2 ?C 1 3 ? A3 ? 36 2 A2 3 评注:先取后排原则也是解排列组合问题的总原则,尤其是排列与组合的综合问题.若 3 本例简单分步:先从 4 名教师中取 3 名教师分给 3 所学校有 A4 种方法,再将剩下的 1 名教 3 师分给 3 所学校有 3 种选择,则共有 A4 · 3 ? 72 种分配方案,则有明显重复(如:甲、乙、 丙、丁和甲、乙、丁、丙).因此,处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则. 四、正难则反原则 若从正面直接解决问题有困难时, 则考虑事件的对立事件, 从不合题意要求的情况入手, 再整体排除. 例 4.【2012 高考真题四川理 11】方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 2 2 a, b, c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、60 条 答案:B B、62 条 C、71 条 ) D、80 条 解析:本题可用排除法, a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,6 选 3 全排列为 120,这些方程所表示 的曲线要是抛物线,则 a ? 0 且 b ? 0 ,,要减去 2 A5 ? 40 ,又 b ? ?2或2 和 b ? ?3或3 时, 2 方程出现重复,用分步计数原理可

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