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2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
(高二年级)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档

次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.)
1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1|? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 为
1 3



2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分配方案种数 150 . 2 3.若 ( x ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ? a6 x6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 4.已知顶角为 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 ,则 5.设 an ? 2n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1 , a2 ,

a3 ? b3 的值为 3 . ab2 , a2015} {b1 , b2 , , ba2015 } ,则集合 S 中的元素的个数



504



6. 已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内, ,?CAP 为锐角,| AP |? 2 ,AP ? AC ? 2 ,AP ? AB ? 1 . 当 7 . | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 2 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半径为 1 . 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x2 ? 1) 的值域为 [2 ? 2,8] .

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点 P 在线段 4 11 . AB 上,则 PF1 ? PF2 的最小值为 ? 5
9.已知 F1 , F2 是椭圆 10.使得

p2 ? 1 p ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 2 2



二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.)
11 . 设 平 面 点 集 A ? {( x, y) | ( y ? x) ? ( y ?
(x , y ? ) A

18 ) ? 0} , B ? {( x, y) | ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1} . 若 25x
y P

B 2 x ? y 的最小值. ,求 解 作出平面点集 A 、 B 所表示的平面区域, A B 表示如图 阴影部分 D . x z ? , 令 z ? 2x ? y , 则y?2 ?z 表示直线 y ? 2 x ? z 的纵截距. 易知:直线 y ? 2 x ? z 经过区域 D 中的点 P 时, z ? 2 x ? y 取 得最小值. ……………(5 分) 因 为 点 P 在 圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上 , 设 它 的 坐 标 为

(1 ? cos? ,1 ? sin ? ) ,结合图形可知 ? ? ( , ? ) . 2 18 18 又点 P 在曲线 y ? 上,所以有 (1 ? cos? )(1 ? sin ? ) ? , 25x 25 7 即 sin ? cos? ? sin ? ? cos? ? ………………………………………(10 分) ?0. 25

?

O

x

设 sin ? ? cos ? ? t , 则n i so s c?

(? ? ) 1

1 2 t ? 2

1 7 1 11 , 代入得 (t 2 ? 1) ? t ? 解得 t ? 或 t ? ? (舍) , ?0, 2 25 5 5

1 即 sin ? ? cos? ? . 5

………………………………………(15 分)

? 4 3 结合 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,并注意到 ? ? ( , ? ) ,解得 sin ? ? , cos? ? ? . 2 5 5 2 9 2 9 所以,点 P 的坐标为 ( , ) , z ? 2 x ? y 的最小值为 zmin ? 2 ? ? ? ?1. ………(20 分) 5 5 5 5
12.设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N*. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn ? T12 ? T22 ? 解 (1)易知 T1 ? a1 ?
an ?1

? Tn2 ,求证: an?1 ?

1 1 ? Sn ? an?1 ? . 2 3

1 , Tn ? 0, an ? 1 ,且由 Tn?1 ? 1 ? an ?1 , Tn ? 1 ? an ,得 2 T 1 ? an ?1 a 1 1 1 ? n ?1 ? ? ? 1 . ……………(5 分) ,即 n ?1 ? ,即 Tn 1 ? an 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? an ?1 1 ? an

1 1 1 ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? n ? 1 ,故 1 1 ? an 1 ? a1 1? 2 1 n . ………………………………………(10 分) an ? 1 ? ? n ?1 n ?1 1 (2)由(1)得 Tn ? a1a2 an ? . n ?1 1 1 1 一方面, Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 3 ( n ? 1) 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an ?1 ? ;……………(15 分) 2?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2 2

所以

另一方面, 1 1 1 1 1 1 2 1 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1 1 1 3 5 5 7 1 3 2 22 ? 32 ? (n ? 1)2 ? ? ? (n ? )(n ? ) 3 n ? 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? an ?1 ? . 又 ? 3 n? 2 3 n?2 n?2 3 3 3 1 1 所以 an?1 ? ? Sn ? an?1 ? . ………………………………………(20分) 2 3

13.过直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 上一动点 A ( A 不在 y 轴上)作抛物线 y 2 ? 8 x 的两条切线, M , N 为 切点,直线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C . (1)证明直线 MN 恒过一定点; (2)证明△ ABC 的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值. 证明 (1)设 A( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 抛物线 y 2 ? 8 x 的过点 M ( x1 , y1 ) 的切线方程为 AM : yy1 ? 4( x ? x1 ) .而

AM 过 A( x0 , y0 ) ,故 ① y0 y1 ? 4( x0 ? x1 ) ①式说明直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 M ( x1 , y1 ) . ………………………………………(5 分) 同理可证得直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 N ( x2 , y2 ) . 故 直 线 y0 y ? 4( x0 ? x) 过 M , N 两 点 , 则 直 线 MN 的 方 程 为 : y0 y ? 4( x0 ? x) . 又 x0 ? 2 y0 ? 13 ,代入 y0 y ? 4( x0 ? x) 中,得 y0 ( y ? 8) ? 4( x ? 13) . 所以直线 MN 恒过定点 (13,8) . ………………………………………(10 分)
(2)直线 AM : yy1 ? 4( x ? x1 ) 与 y 轴交于 B (0,
4 x1 ). y1

抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F (2,0) ,则 kBF

4 x1 ?0 8x 4 y1 2x ? ? ? 1 ,又 k BA ? ,则 k BA ? k BF ? ? 21 ? ?1 , y1 y1 0?2 y1

所以 BF ? BA . 同理可证 CF ? CA .所以 A, B, C , F 四点共圆,且 AF 为直径. 因此,△ ABC 的外接圆恒过定点 F (2,0) . ………………………………………(15 分) 在 AF 和直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 垂直时,圆的直径 AF 最小.此时,直线 AF : y ? 0 ? ?2( x ? 2) , 与
x ? 2 y ? 13 ? 0 联立,求得 A(?1, 6) ,则 | AF |? 3 5 .

所以,△ ABC 的外接圆的半径的最小值为

3 5 . 2

……………………………………(20 分)


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