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数学(北师大)选修2-3【课件】1.2排列与排列数公式(第1课时)


理解教材 新知 第 1 部 分

知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三

第 一 章

§2

第 一 课 时

把握热点 考向

应用创新 演练

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问题1:若甲、乙、丙三人站成一排照相,有哪些站法? 请列举出来.

提示:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,
丙乙甲. 问题2:甲乙丙与甲丙乙是同一种站法吗? 提示:不是.它们的顺序不同.
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问题3:若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一

项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下
午的活动.请列出来. 提示:甲上乙下,甲上丙下,乙上甲下,乙上丙下, 丙上甲下,丙上乙下. 问题4:问题1和问题3有何特点? 提示:都与顺序有关.

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排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的

顺序 排成一列, 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.

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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1:从1,2,3,4,5,6中选出两个数字,能构成多少个

没有重复数字的两位数?
提示:有6×5=30个. 问题2:从1,2,3,4,5,6中选出三个数字,能构成多少个 没有重复数字的三位数? 提示:有6×5×4=120个.
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问题3:从1,2,3,4,5,6中选出四个数字,能构成多少个 没有重复数字的四位数?

提示:有6×5×4×3=360种.
问题4:上述几个问题是如何解决的? 提示:都利用了分步乘法计数原理. 问题5:若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成 一列,有多少种不同的排法?

提示:有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种.

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排列数
排列数定 义及表示 排列 数公 式 乘积 式 阶乘 式 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的 所有排列的个数, 叫作从 n 个不同元素中
m A 取出 m 个元素的排列数,用符号 n 表示

n(n-1)(n-2)…(n-m+1) Am n=
n! ?n-m?! (n,m∈N ,m≤n) Am = + n
0 1 ;0!=1 n ! An = ; A n n=

排列数 的性质

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1.判断一个具体问题是不是排列问题,就是看从n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素后是否考虑顺序,与

顺序有关的是排列 ,否则就不是排列.
2.排列与排列数是两个不同的概念.排列是一个 具体的排法,不是数;排列数是所有排列的个数,它是 一个具体的数.

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[例1]

下列哪些问题是排列问题:

(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法?

(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积?
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦? (4)10个车站,站与站间的车票种数有多少? [思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在

被安排时,是否与顺序有关.

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[精解详析] 问题.

(1)选2名同学开会没有顺序,不是排列

(2)两个数相乘,与这两个数的顺序无关,不是排列问 题.

(3)弦的端点没有先后顺序,不是排列问题.
(4)车票使用时,有起点和终点之分,故车票的使用是 有顺序的,是排列问题.

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[一点通]

判定是不是排列问题,要抓住排列的本质

特征,第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列.元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关

键.

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1.下列命题,

①abc和bac是两个不同的排列;②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排,所有的站法有6种;③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A.①② C.②③ 答案:A
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( B.①③ D.①②③

)

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2.判断下列问题是不是排列,若是,写出所有排列.
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞 赛有几种不同选法? (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数 学竞赛有几种不同选法?

(3)从a,b,c,d,e中取出两个字母有几种取法?

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解:(1)不是排列问题,因为选出两人参加数学竞赛与顺序
无关. (2)是排列问题,因为选出甲、乙两人参加竞赛,甲参加物 理,乙参加数学,与甲参加数学,乙参加物理是不同的结 果,即与顺序有关. 不同排列为张红 张红;李明 李明;李明 张红;张红 赵华;赵华

赵华;赵华

李明.

(3)不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关.

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[例2]

从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个不同数字

排成一个三位数,写出所得到的所有三位数. [思路点拨] 可按顺序分步解决,然后利用树形图列

出所有的排列.

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[精解详析]

画出下列树形图,如下图.

由上面的树形图知,所有的三位数为: 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312, 314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数.
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[一点通]

在“树形图”操作中,先将元素按一定顺序

排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,

在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位
并按顺序分类,依次一直进行到完成一个排列,这样就能 不重不漏地依照“树形图”写出所有排列.

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3.由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位 数. 解析:三位数有123,132,213,231,312,321共6个. 答案:6

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4.A,B,C,D四名同学排成一行照相,要求自左向右,

A不排第一,B不排第四,试写出所有排列方法.
解:因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可以B,C, D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树形图 如图.

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所以符合题意的所有排列是:
BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD, CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA.

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[例 3]

(12 分)计算下列各题:

5 4 m-1 n-m A + A A An-m 9 9 n-1 · 3 (1)A10;(2) 6 ;(3) . n-1 A10-A5 A 10 n-1

[思路点拨] 对(1)(2),直接用排列数的连乘形式公式计 算;对(3),可利用排列数阶乘形式的公式证明.

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[精解详析]

(1)A3 10=10×9×8=720.?

(4 分)

4 A5 9×8×7×6×5+9×8×7×6 9+A9 (2) 6 = A10-A5 10×9×8×7×6×5-10×9×8×7×6 10

9×8×7×6×?5+1? 6 3 = = = .? (8 分) 10×9×8×7×6×?5-1? 10×4 20
-1 n-m Am · A ?n-1?! - n 1 n-m (3) = · (n-m)!· -1 An [ n - 1 - ? m - 1 ? ] ! n-1

1 =1.? ?n-1?!

(12 分)

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[一点通]

m (1)排列数的第一个公式 An =n(n-1)…(n-

m+1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式.在运用该公式时要注意它的特点:从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可. (2)排列数的第二个公式 Am n= n! 适用于与排列数 ?n-m?!

有关的证明、解方程、解不等式等.

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5.已知A 2 n =132,则n等于
A.11 C.13 B.12 D.14

(

)

2 解析:A 2 n =n(n-1)=132,即n -n-132=0.因

为n∈N+,所以n=12.
答案:B

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m 6.已知 A10 =10×9×…×5,那以 m=________.

解析:由排列数公式,得m=6.
答案:6

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6 2A5 + 3A 9 9 7.计算: 6 =________. 9!-A10 解析:法一:

2×9×8×7×6×5+3×9×8×7×6×5×4 原式= 9×8×7×…×1-10×9×…×5 2+12 14 = = =1. 4×3×2-10 14 9! 9! 2 3 2 +3 + 4! 3! 4! 3! 2+3×4 法二:原式= = = =1. 10 10! 4!-10 1- 9!- 4! 4!

答案:1

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-1 x 8.(1)解方程 3A8 =4Ax 9 ;

x 2 (2)解不等式:A6 <6Ax 6 .


? ?1≤x≤8, 解:(1)由? ? ?1≤x-1≤9,

得 2≤x≤8.

x-1 又 3Ax = 4A 8 9 , 3×8×7×…×(8-x+1)=4×9×8×7×…×(9-x+2),

3×8×7×…×(9-x)=4×9×8×7×…×(11-x), 3×(10-x)(9-x)=4×9, (10-x)(9-x)=12, x2-19x+78=0, x1=6,x2=13(舍), 综上可知,原方程的解为x=6.
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? ?1≤x≤6, (2)由? ? ?1≤x-2≤6,
x 又 Ax 6<6A6
-2

得 3≤x≤6,且 x∈N+.

6! 6! ? <6· ?6-x?! ?6-x+2?! ?(8-x)(7-x)<6 ?x2-15x+50<0 ?(x-10)(x-5)<0 ?5<x<10. 综上可知 x=6,不等式解集为{6}.
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排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关,而且与元素的排列顺序也有关.在判断一个问

题是否是排列问题时,可按下列方法进行:

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