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高中数学必修五第二章数列测试题


高中数学必修 5 第二章数列测试题 一、选择题(每题 5 分,共 50 分)
1、{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A、667 B、668 C、669 D、670 ). ).

2、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( A、33

B、72 C、84 D、189 ) D、a1a8=a4a5

3、如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A、a1a8>a4a5 B、a1a8<a4a5 C、a1+a8<a4+a5

4、 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 A、1 B、
3 4

1 的等差数列, 则|m-n|等于( 4

)

C、

1 2

D、

3 8
). D、192

5、等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A、81 B、120 C、168

6、若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最 大自然数 n 是( A、4 005 ) B、4 006 C、4 007 D、4 008 ).

7、已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A、-4 B、-6 C、-8 D、-10 ).

8、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A、1 B、-1 C、2

a5 S 5 = ,则 9 =( a3 S5 9

D、

1 2
a2 ? a1 的值是( b2

9、已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 A、
1 2

).

B、-

1 2

C、-

1 1 或 2 2

D、

1 4

2 10、在等差数列{an}中,an≠0,an-1- a n +an+1=0(n≥2),若 S2n-1=38,则 n=(

).

A、38

B、20

C、10

D、9

二、填空题(每题 6 分,12 题 15 分,16 题 10 分,共 49 分) 11、 设 f(x)=
1 2 ? 2
x

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, 可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0) .

+…+f(5)+f(6)的值为

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1

12、已知等比数列{an}中, (1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= .

(2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=



(3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20=

.

8 27 13、在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2 3



14、在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为

.

15、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10=

.

16、 设平面内有 n 条直线(n≥3), 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若用 f(n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= ;当 n>4 时,f(n)= .

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 51 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17、(满分 12 分) (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知
1 1 1 b?c c?a a?b , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c a b c

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2

18、(满分 13 分) 设{an}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列.(1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并 说明理由.

19、满分 13 分 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 数列.
n?2 S Sn(n=1,2,3…).求证:数列{ n }是等比 n n

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3

20、满分 13 分 已知数列{an}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,a1,2a7,3a4 成等差数列,求 证:12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

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4

高中数学必修 5 第二章数列测试题参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、C 解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699. 2、C 解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21, 即 a1(1+q+q2)=21,又 a1=3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 3、B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. 4、C 解析: 解法 1:设 a1=
1 1 1 1 ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x2- 4 4 4 4

2x+n=0 中两根之和也为 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴
1 1 7 3 5 ,a1= ,a4= 是一个方程的两个根,a1= ,a3= 是另一个方程的两个根. 2 4 4 4 4

7 15 , 分别为 m 或 n, 16 16 1 ,故选 C. 2

∴|m-n|=

解法 2:设方程的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n. 由等差数列的性质:若?+s=p+q,则 a?+as=ap+aq,若设 x1 为第一项,x2 必为第四项,则 x2= 是可得等差数列为 ∴m=
1 3 5 7 , , , , 4 4 4 4 7 ,于 4

7 15 ,n= , 16 16 1 . 2

∴|m-n|= 5、B

解析:∵a2=9,a5=243,

a5 243 =q3= =27, a2 9
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∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4= 6、B 解析: 解法 1:由 a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1>0,则公差 为负数,否则各项总为正数,故 a2 003>a2 004,即 a2 003>0,a2 004<0. ∴S4 006= ∴S4 007=
4 006 (a1+a4 006 ) 2

3-35 240 = =120. 1-3 2



4 006 (a2 003+a2 004 ) 2

>0,

4 007 4 007 ·(a1+a4 007)= ·2a2 004<0, 2 2

故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B. 解法 2:由 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0, 同解法 1 的分析得 a2 003>0,a2 004<0, ∴S2 003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小, ∴
4 007 在对称轴的右侧. 2
(第 6 题)

根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧,4 007,4 008 都在其右侧,Sn>0 的最大自然数是 4 006. 7、B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 8、A
9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5 ( a ? a ) 5 ? a3 S5 5 9 1 5 2

9、A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = = . 2 b2 ?q 2
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10、C
2 2 解析:∵{an}为等差数列,∴ an =an-1+an+1,∴ an =2an,

又 an≠0,∴an=2,{an}为常数数列, 而 an=
S2 n ?1 38 ,即 2n-1= =19, 2 2n ? 1

∴n=10. 二、填空题(每题 6 分,12 题 15 分,16 题 10 分,共 49 分) 11、 3 2 . 解析:∵f(x)=
1 2 ? 2
x



1 x 2 1 2 2 ∴f(1-x)= 1? x = = , 2 ? 2 ? 2x 2 ? 2 2 ? 2x
x

1 1 1 ? 2x 1? ? 2x ( 2 ? 2x ) 1 2 2 2 2 ∴f(x)+f(1-x)= + = = = . x x x x 2 2 ?2 2?2 2 ?2 2 ?2

设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6 2 , ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2 . 12、 (1)32; (2)4; (3)32.
2 解析: (1)由 a3·a5= a4 ,得 a4=2,

5 ∴a2·a3·a4·a5·a6= a4 =32.

?a1 ? a2 ? 324 1 ? q2 ? , (2) ? 2 9 ?(a1 ? a2 )q ? 36

∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.
? ?S 4=a1+a2+a3+a4=2 ? q 4=2 , (3) ? 4 ? S = a + a + ? ? ? + a = S + S q 8 4 4 ? 8 1 2

∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32. 13、216.

8 27 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与 , 同号, 2 3
由等比中项的中间数为
27 8 8 27 =6,?插入的三个数之积为 × ×6=216. ? 3 2 2 3
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14、26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=
13 (a1+a13 ) 13 (a4+a10 ) 13? 4 = = =26. 2 2 2

15、-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10 = =
7(a4+a10 ) 2 7(a5-d+a5+5d ) 2

=7(a5+2d) =-49. 16、5,
1 (n+1)(n-2). 2

解析: 同一平面内两条直线若不平行则一定相交, 故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交, ∴f(k)=f(k-1)+(k-1). 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(5)=f(4)+4=2+3+4=9, …… f(n)=f(n-1)+(n-1), 相加得 f(n)=2+3+4+…+(n-1)=
1 (n+1)(n-2). 2

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 51 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17、分析:判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数. 证明: (1)n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ ∴
1 1 1 , , 成等差数列, a b c

2 1 1 = + 化简得 2ac=b(a+c). b a c
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bc+c 2+a 2+ab b(a+c) +a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 b+ c a+ b a+ c + = = = = =2· , b(a+c) ac ac ac a c b 2



b+ c c+a a+ b , , 也成等差数列. a b c

18、解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或-
1 . 2

n(n- 1) n 2+3n = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2

(2)若 q=1,则 Sn=2n+

-n 2+9n n(n- 1) 1 1 ,则 Sn=2n+ (- )= . 4 2 2 2 (n- 1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4

若 q=-

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 19、证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=
n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{
S n+1 2S = n . n+1 n

Sn }是以 2 为公比的等比数列. n

20、证明:由 a1,2a7,3a4 成等差数列,得 4a7=a1+3a4,即 4 a1q6=a1+3a1q3, 变形得(4q3+1)(q3-1)=0, ∴q3=-
1 或 q3=1(舍). 4

a1 (1 ? q 6 ) 1 ? q3 S 1 1? q 由 6 = = = ; 12a1 (1 ? q 3 ) 12S 3 12 16 1? q a1 (1 ? q12 ) S12 ? S 6 S 1 1? q = 12 -1= -1=1+q6-1= ; 6 a1 (1 ? q ) S6 S6 16 1? q S12 ? S 6 S6 得 = . S6 12S 3

∴12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

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