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极坐标系


(ρ,θ)

θ

为了刻画一个几何图形的位置,我们需要设立一个参照 系,即以参照系为标准确定它的相对位置,参照系不同,表示几 何图形的方式也不同.坐标系是一种参照系,它是实现几何图形 与代数形式互相转化的基础.如何创建坐标系呢?你学过什么坐 标系?还有没有其它坐标系呢? 直角坐标是最常用的坐标系,但它并不是用数来刻画点的位 置的唯一方法

,用哪种方法最方便,要对具体问题作具体分析.

如图所示:缉私观测站位于0处,看 到位于点A处的走私船正在逃跑.现停泊 于点O处的缉私船追击走私船,随时需 要观测站提供走私船所在的位置P.对 船舶来说,最方便的数据不是所在点的 直角坐标(x,y),而是它的方位角即夹角, 在日常生活中我们也经常用距离和角度 指示位置,这就是建立极坐标的基本思 想

Y 追击路线 逃跑路线

?
O X

问题情境

位方 置有 以一军 便群舰 将水巡 它雷逻 们 在 如 引 海 爆何面 确 ? 上 定 它发 们现 的前 ,

,

学生活动

在上述两个问题中,采用直角坐标系,可 行吗?简便吗? 为了简便地表示上述两个问题中点的位置, 应创建怎样的坐标系呢?

意义建构 请分析下面这句话,他告诉了人们什么?

从 这 向 东 北 走 2 0 0 0 米 !

出发点

方向

距离

在生活中,人们经常用方向和距离来表示一点 的位置.

意义建构

那么,根据这种用方向和距离表示平面 上一点的位置的思想,我们应创建怎样的坐 标系呢?.

数学理论 1.极坐标系的定义

在平面内取一个定点O,叫做极点.
引一条射线OX,叫做极轴. 再确定一个长度单位和计 算角度的正方向(通常取 逆时针方向). 这样就建立了一个极坐标系.

O

X

数学理论 2.极坐标的定义 对于平面上任意一点M,用?表示线段OM的长度, 用?表示以OX为始边,OM为终边所成的角,?叫做 点M的极径,?叫做点M的极角,

有序实数对(?,?)就叫做M的极坐标. M 显然, 这里?≥0. ?
?

O

X

特别规定:当M在极点时, 它的极坐标是,极径?=0, 极角?可以取任意值.

数学应用 例1:写出下图中各点的极坐标 ? 解:图中各点的 2 C 极坐标分别为 D

B
E

? A(4,0) B(2, 4 ) 12 ? 5?

?

O
F

1
G

A

x

6 4? E(3, ? ) F(5, ) 3 5? G (3, ) 3

C( 4,

2

) D(5,

)

数学应用

例2:在极坐标中,

5 ? (1)已知两点 P (5, ? ), Q(1, ) ,求线段PQ的长度; 4 4 ? (2)已知点M的极坐标为 ( ? , ? ) ,且 ? ? , ? ? R ,说 3 明满足上述条件的点M的位置.

Q

?= ?/4 O X

M

?= ?/3 O X

P

解: (1) PQ = 5+1= 6 ? (2) 点M在过极点且与极轴成 3 角的直线上.

思考

想一想?

①平面上一点的极坐标是否唯一? ②坐标不唯一是由什么引起的? ③点的极坐标有多少种表示方法?

是否可以写出统一表达式?

数学理论 3.点的极坐标表达式的探讨 ? 如图:OM的长度为4,? ?
4

?

M

请说出点M的极坐标的其他表达式. O
这些极坐标的特点:

?
X

极径相同,不同的是极角.这些极角的始边 与终边都相同,是属于终边相同的角.

本题点M的极坐标统一表达式: ( 4, 2k? ?
k ?Z

?
4

)

练习:说出下图中各点的极坐标统一表达式 ? ? A(4, 2k? )
2 4
C

5? 6

B( 2, 2k? ? C(3, 2k? ?

?
?
4

) )

?
4? 3

E

D O 1

B

A
X

F

G

5? 3

2 5? D(5, 2k? ? ) 6 E(3, 2k? ? ? ) 4? F(6, 2k? ? ) 3 5? G (5,2k? ? ) 3

k ?Z

数学理论

4.关于极径取负值 由极径的意义可知?≥0.但为了研究方便,极 径?允许取负值,极角θ也可以取任意的正角 或负角.
对于点M(?,?),极径取负值时的规定: 当?<0时,点M(?,?)位于极角终边的反向延长 线上,且OM = ???. P ? O M X

如:在极坐标系中画出点 M(-3,?/4)的位置 1.作射线OP,使?XOP= ?/4 P ?= ?/4

2.在OP的反向延长线上 取一点M,使?OM?= 3
M

O

X

练习:当极径取正值和负值时,写出B、C、G点的 ? 极坐标 ?
? 2
2

C

?
4

B( 2,

5 B(?2, ? ? 2k? ) 4
C( 4,

4

? 2k? )

?

B

O

1
G
5? 3

x

2 G (?3, ? ? 2k? ) 3 k ?Z

5? G (3, ? 2k? ) 3

3 C(?4, ? ? 2k? ) 2

2

? 2k? )

数学理论

一般地,若 ( ? , ? )是点 M 的极坐标,那么

( ? , ? ? 2k? )或(? ? , ? ? (2k ? 1)? )
都可以作为点 M 的极坐标. 小结:极径变为负,极角增加 ? .

(k ? Z )

特别强调:若不作特别说明,一般情况下认为? ≥ 0. 而且,通常情况下,只需写出点的一个极坐标就可以了.

数学理论

5. 点与它的极坐标的对应情况 极坐标平面内的点和它的极坐标一一对应吗? 1.给定(?,?),能确定唯一的一点M.

2.给定一点M,却有无数个极坐标与之对应.
原因在于:极径有正有负;极角也可以取任 意正角或负角. 如果限定ρ≥0,0≤θ<2π 那么平面上的点(除极点)就与极坐标一一对应了.

数学运用

例3:已知点 Q( ? ,? ) 分别按下列条件求出点P的极 坐标. (1)点P是点Q关于极点O的对称点; ? (2)点P是点Q关于直线 ? ? 的对称点.
Q (ρ,?) O X
2

P(ρ/,?/)

?= ?/2

Q(ρ,?)

O P X 解: (1)点P的极坐标为 (2)因为 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (?, ? ? (2k ? 1)? ) 所以,点P的极坐标为 ( ?( , 2k ? 1)? ? ? )或 或(? ? , ? ? 2k? )( k ? Z )
(? ? ,2k? ? ? )( k ? Z )

回顾小结

小结:
1.建立一个极坐标系需要哪些要素?
极点;极轴;长度单位;计算角度的正方向.

2.点(极点除外)的极坐标有多少种表示方法? 无数种.极径可正可负,极角也可以任意. 3.点(极点除外)的极坐标有否统一的表达式? (2k ? 1)? ) (k ? Z ) 有. ( ? , ? ? 2k? )或(?? , ? ?

作业:小册子


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