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几个三角恒等式


第 8 课时:§3.3

几个三角恒等式

【三维目标】 : 一、知识与技能 1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单 的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). 揭示知识背景, 培养学生的应用意识与建模意识. 2.能够推导“和差化积”及“积化和差”公式,并对此有所了解. 3.能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系,进一步体会这些三 角恒等变形公式的意义和作用,体会如何综合利用这些公式解决问题. 4.梳理公式体系,通过本章知识结构图,进一步加强对各公式之间内在联系的理解。 5.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过 程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向 使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 二、过程与方法 1.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意 义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;同时让学生初步体会如何利 用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过总结知识结构图,发展学生推理能力和运算能力,进一步培养学生观察、类比、 推广、特殊化和化归思想方法。 3.通过解决问题,引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换;角的变换;不 同三角函数之间的变换。 4.通过恒等变换公式的简单应用,提升解决问题的基本能力。 5.提高三角变换的能力 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识;理 解并掌握三角函数各个公式的灵活变形,体会公式所蕴涵的和谐美,增强学生灵活运用数学 知识解决实际问题的能力. 2.让学生经历数学探索和发现的欲望和信心,体验成功的感觉. 3.通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点. 4.通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联 系,培养学生严谨,规范的数学思维品质,发展正向、逆向思维和发散思维能力。 5.通过和差化积公式和积化和差公式的推导,让学生经历数学探索和发现过程,激发数 学发现的欲望和信心 【教学重点与难点】 : 重点: 三角恒等变形(梳理三角恒等变换公式体系,渗透观察、类比、推广、特殊化、 化归等思想方法;熟练恒等变换公式,解决简单问题的应用) 。 难点:“和差化积”及“积化和差”公式的推导(公式推导,解决问题中观察、类比、推 广、特殊化、化归等思想方法的渗透) 。 【学法与教学用具】 : 1. 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和 差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生 学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.教学方法:观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

3. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 :1 课时 【教学思路】 : 一、创设情景,揭示课题 请回忆两角和与差的余弦公式、正弦公式;问你能否用 sin (? ? ? ) 与 sin (? ? ? ) 表 示 sin ? ·cos

? 和 cos ? ·sin ? ?类似地能否用 cos (? ? ? ) 与 cos (? ? ? ) 来表示

cos ? ·cos ? 和 sin ? ·sin ? ?

二、研探新知
1.和差化积与积化和差公式的推导
? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 2sin cos ? 3 3 3 ? ? ? ?

师:右边的两个角如何用左边的两个角表示? 引导学生观察等式两边角度之间的关系,右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。 师:通过类比,对任意两个角, sin x ? sin y 应该等于什么?运用已知的公式加以推导验证。

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
两式相加得:

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?
设 ? ? ? ? x , ? ? ? ? y ,则 ? ?

(1)

sin x ? sin y ? 2sin

x? y x? y cos 2 2

x? y x? y ,? ? ,公式(1)可以写成: 2 2

师:公式(1)实际上还可以变形成

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比,猜测任意两个 角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。 回忆两角和与差的三角函数公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
由公式(1)的推导过程,请学生进行类比,写出所有的积化和差的公式:

1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
师:这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式结构,不要求记忆。其特 点是化成和之后都是同名的三角函数,注意每个公式前面的系数。由积化和差公式,变形可 以得到:

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2cos ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ?
x? y x? y cos 2 2 x? y x? y sin x ? sin y ? 2 cos sin 2 2 x? y x? y cos x ? cos y ? 2 cos cos 2 2 x? y x? y cos x ? cos y ? ?2sin sin 2 2 sin x ? sin y ? 2sin

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos ? sin ? ,

再通过换元,请学生自行整理和差化积公式。

师:这组公式称为和差化积公式,其特点是同名的正(余)弦才能使用,它与积化和差 公式相辅相成,配合使用。利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式,我们可以把某 些三角函数的和差化成积的形式。 在投影仪上,将例 1 与练习 A 的第 1,3 题,打出来,让学生做,教师巡视检查完成情况, 并订正。 提醒学生注意,化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。 2.万能公式

sin ? ?

2 tan

?
2 ,

1 ? tan2

?

cos? ?

1 ? tan2 1 ? tan2

? ?
2, 2 tan? ?

2 tan

?
2

2 2 sin

1 ? tan2

?
2

sin ? 证明: (1) sin ? ? ? 1

? ? ? cos 2 tan 2 2 ? 2 ? ? ? sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2

cos? (2) cos? ? ? 1

? ? ? ? sin 2 1 ? tan2 2 2 ? 2 ? ? ? sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 (3) tan? ? ? ? ? ? cos? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 2 2 2 cos2

3.常用的恒等式 1.(1) sin 3? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) 分析:本题考查二倍角与和差角公式; 类似的恒等式还有: (2) cos3? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )

60? ? ? ) tan( 60? ? ? ) (3) tan3? ? 4 tan? tan(

三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例 1 已知

? 1 1 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? ,tan? = ? ,求 2? + ? 3 7 2
2 tan ? 3 ?? 2 4 1 ? tan ?


解: tan 2? ?

2? ? ?) ? ∴ tan(

tan2? ? tan? ? ?1 1 ? tan2? tan?

又∵tan2? < 0,tan? < 0 ∴ ? ? 2? ? ? ? 2? 例 3 已知 sin? ? cos? =

1 2
1 2

解:∵sin? ? cos? =

3? ? ? 2? ? 2 ? , ? ? ? ? 0 2 2 7? ∴2? + ? = 4 ? , ? ? ? ? 2? ,求 tan 和 tan?的值 2 ? ? 2 tan 1 ? tan2 2 ? 2 ?1 ∴ ? ? 2 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2
∴ tan

化简得: tan

2

? ? ? 4 tan ? 3 ? 0 2 2


? ? 4 ? 16 ? 12 ? ? ?2 ? 7 2 2
? ?0 2
即 tan

∵ ? ? ? ? 2?

? ? ? ?? 2 2

∴ tan

? ? ?2 ? 7 2

? 2 ? 2(?2 ? 7 ) ? ? 4 ? 2 7 ? 2 ? 7 ? 4 ? 7 tan? ? ? 1 ? (?2 ? 7 ) 2 ? 10 ? 4 7 5 ? 2 7 3 1 ? tan2 2 2 tan

1 1 ,sin? ? sin? = ? ,求 sin(? + ?)、tan(? + ?)的值 2 3 1 ??? ? ?? 1 sin ? 解:∵cos? ? cos ? = ,∴ ? 2 sin ① 2 2 2 2 1 ??? ? ?? 1 sin ?? sin? ? sin ? = ? ,∴ ? 2 cos ② 3 2 2 3 ? ?? ??? 3 ??? 3 ? 0 ∴ ? tan ?? ? ∵ sin ∴ tan 2 2 2 2 2 ??? 3 2 tan 2? 2 2 ? 12 ∴ sin(? ? ?) ? ? ??? 9 13 1 ? tan2 1? 2 4 ? ?? 3 2 tan 2? 2 2 ? ? 12 ∴ tan( ? ? ?) ? ? ? ?? 9 5 1 ? tan2 1? 2 4
例 4 已知 cos? ? cos ? = 例 5 求证:sin3?sin ? + cos3?cos ? = cos 2? 2 2 证明:左边 = (sin3?sin?)sin ? + (cos3?cos?)cos ?
3 3 3

1 1 2 2 (cos4? ? cos2?)sin ? + (cos4? + cos2?)cos ? 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 = ? cos4?sin ? + cos2?sin ? + cos4?cos ? + cos2?cos ? 2 2 2 2 1 1 1 = cos4?cos2? + cos2? = cos2?(cos4? + 1) 2 2 2 1 2 3 = cos2?2cos 2? = cos 2? = 右边 ∴原式得证 2
= ? 例 6 试以 cos? 表示 sin
2

?

2

, cos 2

?

2

, tan 2
2

?

解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 因为 cos ? ? 1 ? 2sin
2

?
2

2 2



? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ?

?
2

来做此题.

1 ? cos ? ; 2 2 2 ? 1 ? cos ? 2? ? 1 ,可以得到 cos 2 ? 因为 cos ? ? 2 cos . 2 2 2
,可以得到 sin 又因为 tan
2

?

?

?
2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换 的重要特点. 例 7 把下列各式化成积的形式:(1) cos3? ? cos ? (2) sin 54 ? sin 22
? ?

(3) sin 5 x ? sin 3 x

(4) cos 40 ? cos52
?

?

(5) cos 40 ? cos52
?

?

? 例 8 已知 A+B+C=180 ,求证: sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos 2 2 2

四、巩固深化,反馈矫正
1.化简① 1 ? sin 800 ;② 1 ? cos800 ;③ 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? (0 ? ? ?

?
4

)

2.要使半径为 R 的半圆形木料截成长方形(如图) ,应怎样截取才能使长方形的面积最大?

五、归纳整理,整体认识
(1)本节重点学习了两组公式,不要求记住这两组公式,但要学会运用这些公式进行三角函 数和差与积的互化,并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题。 (2)化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式。 (3)推导公式的过程中用了换元法,这是一种很常用的方法,要注意该方法在解题中的应用。
O

六、承上启下,留下悬念 七、板书设计(略) 八、课后记:


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