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3.1.1倾斜角与斜率zj


2016/4/27

1.一条直线的位置由哪些条件确定呢? 答:两点确定一条直线。 2.一点能否确定一条直线 的位置吗?
y

l
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

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x

o


一、直线的倾斜角: 1、定义:
当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间 所成的角 ? 叫做直线的 倾斜角。

y

l

o

?
x

规定:1.当直线与x轴平行或重合时, ? ?0

0

? ? 90 2.当直线与x轴垂直时,

0
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按倾斜角分类,直线可分几类?
y o
y p

l x

o

?

p

l
x

y p o

l

y o p?

?

x

x

l

2、范围:

0 ? a ? 180
?

?

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练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对? 如果不对,违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?
x

o

? x

? o
(3)

?
x o (4) x

(1)

(2)

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日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量
升 高 量 前进量
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?

?
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结论:坡度越大,楼梯越陡.

二、直线的斜率:
设直线的倾斜程度为k
k AC ? CB AB
C 升

? tan ?

A

?
前进量

高 量

B

1、定义:

我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示,即: k ? tan ?
2016/4/27

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3 ? ? ?2?a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?
?

?3?a ? 60 ? k ? tan60 ? 3 ? ?4?a ? 120 ? ?5?a ? 150 ? k ? tan150 ? ?
?
?

? ? k ? tan120 ? ?? 3

3 3

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0 ? a ? 180 是否每条直线都有斜率?
?

?

1.如果倾斜角是直角? 2.如果倾斜角是锐角?

k不存在

k ? tan ? ? 0
且角越大k越大

3.如果倾斜角是钝角?

k ? tan ? ? 0
且角越大k越大
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由两点确定的直线的斜率:
倾斜角是锐角时 k ? tan ? 能不能构造 当α为锐角时, y
y2
P2 ( x2 , y2 )

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

一个直角三 角形去求?

Q( x2 , y1 )

? ? ?P2 PQ 1
在Rt?P2 P 1Q中

o

?

x1

x2

x

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

0

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倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 ) Q( x2 , y1 ) ?

当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? ,

tan? ? tan( 180 ? ? )
?

? ? tan?
在Rt?P2QP 中 1
P2Q

?

y ? y 2 1 tan? ? ? P 1Q x1 ? x2 y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

o

x2

x1

x

?0

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三、直线的斜率公式:
经过两点
P 1( x 1, y 1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )

的直线的斜率公式:

公式的特点:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2 P2 P1 P1 P2

(1) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900 (2) 直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示
(3) 与两点的顺序无关;
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例1:如图,已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是什么角?
1? 2 1 k AB ? ? 解: ?4?3 7 ?1 ?1 ?2 1 k BC ? ? ?? 0 ? (?4) 4 2 ?1 ? 2 ? 3 kCA ? ? ?1 0?3 ?3 ? k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为锐角

? kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

? kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角

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例题分析
例2、在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别 为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y

l3
A3 A1

l1

O A2 A4

x

l4

l2

练习:已知P 1 (1,2), P 2 ( x,3), P 3 (?3,?1)在一条

直线上, 求x的值.
解: ? P 1, P 2, P 3在一条直线上

?kP1P2 ? kP2 P3
3 ? 2 ?1 ? 3 即 ? x ?1 ? 3 ? x

7 x? . 3
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三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

作业:

P86 练习1、2题


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