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高二数学2-2第二章单元测试


数学选修 数学选修 2-2 第二章单元测试题
班级________ 学号_______ 姓名____________ 班级 学号 姓名
一、选择题
1、已知三角形的三边分别为 a, b, c ,内切圆的半径为 r ,则三角形的面积为

s=

1 (a + b + c)r ;四面体的四个面的面积分别为 s1 , s 2 , s 3 , s 4 ,内切球的半径为 R 。类比 2
) (B) V =

三角形的面积可得四面体的体积为(

1 (A) V = ( s1 + s 2 + s 3 + s 4 ) R 2 1 (C) V = ( s1 + s 2 + s 3 + s 4 ) R 4
答案: (B) 2. 下面几种推理是合情推理的是 (1)由圆的性质类比出球的有关性质;

1 ( s1 + s 2 + s 3 + s 4 ) R 3

(D) V = ( s1 + s 2 + s 3 + s 4 ) R

(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内角 和都是 180° ; (3)某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; (4)三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多 边形内角和是 ( n ? 2 ) ? 180°
A . 1) 2) ( ( B . 1) 3) ( ( C . 1) 2) 4) ( ( ( D . 2) 4) ( (

3. 下列各命题中,不正确的是(
A.若 f ( x ) 是连续的奇函数,则 B.若 f ( x ) 是连续的偶函数,则



∫ ∫

a

?a a

f ( x)dx = 0 f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx
0 a

?a

C.若 f ( x ) 在 [ a,b] 上连续且恒正,则 D.若 f ( x ) 在 [ a,b] 上连续,且



b

a

f ( x)dx > 0



b

a

f ( x)dx > 0 ,则 f ( x) 在 [a,b] 上恒正


4. 曲线 y = x 3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为(
(A)

8 3

(B)

7 3

(C)

5 3

(D)

4 3

答案: A) ( ;

5. 、用数学归纳法证明不等式“

n = k 到 n = k + 1 时,不等式的左边(

1 1 1 13 + +?+ > (n > 2) ”时的过程中,由 n +1 n + 2 2n 24


1

(A)增加了一项

1 2(k + 1)

(B)增加了两项

1 1 + 2k + 1 2(k + 1)

(C)增加了两项

1 1 1 + ,又减少了 ; 2k + 1 2(k + 1) k +1
1 1 ,又减少了一项 ; 2(k + 1) k +1

(D)增加了一项 答案: (C) ;

6.有一段演绎推理是这样的: “因为对数函数 y = log a x 是增函数;已知 y = log 1 x 是对数
2

函数,所以 y = log 1 x 是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( )
2

(A)大前提错误

(B)小前提错误
b a

(C)推理形式错误

(D)非以上错误

∫ 7. .给出以下命题:⑴若

f ( x)dx > 0

∫ ,则 f(x)>0; ⑵

2π 0

sin x dx = 4

;
a +T T

∫ ⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则
其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 8. (D)0 ( (B) e + e
4 2

a 0

f ( x)dx = ∫

f ( x)dx





4

?2

e x dx 的值等于
(C) e + e ? 2
4 2


4 ?2

( A) e 4 ? e ?2
二、填空题

(D) e + e

?2

9.

∫ ∫

3

2

1 ? ( x ? 3) 2 dx =


e +1

∫ π (x
2 ? 2

π

3

cos x + sin 2 x) dx=__________

8

3

?1

xdx = ____

.



2

10. 函数 y = f ( x ) 的图象与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在

1 dx =_______. ∫ 4 e x dx =____________ ?2 x ?1
π
n ] 上的面积为

[a , b] 上 的 面 积 , 已 知 函 数 y = sin nx 在 [0 , y = sin 3 x 在 [0 ,

2π ] 上的面积为_____________ 3 11. 从 1 = 1,1 ? 4 = ? (1 + 2 ) ,1 ? 4 + 9 = 1 + 2 + 3,1 ? 4 + 9 ? 16 = ? (1 + 2 + 3 + 4 ) ?? 概 括
出第 n 个式子为___________.

2 (n ∈ N * ) , 则 函 数 n

12. 物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v = 2t ? 1 ( v 的单位是 m / s , t 的单位是 s) ,物体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v = 1 + 8t ,两个物体在相距为 405 m 的同 一直线上同时相向运动。则它们相遇时,A 物体的运动路程为:

2

答案: 72m ;提示,设运动 ts 时两物体相遇,那么 ( 2t ? 1) dt + (1 + 8t )dt = 405
0 0



t



t

三、解答题 13.用分析法证明: 已知 a > b > 0 ,求证 a ? b <

a?b

14. 已知 a, b, c 均为实数,且 a = x ? 2 y +
2

π
2

, b = y 2 ? 2z +

π
3

, c = z 2 ? 2x +

π
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

2 1 15.已知数列{a n }中,a1 = ? , 其前n项和s n 满足a n = s n + + 2(n ≥ 2), 计算 3 sn
s1 , s 2 , s3 , s 4 , 猜想s n的表达式,并用数学归纳法证明。

3

16.是否存在常数 a、b、c,使等式

1 ? 2 2 + 2 ? 32 + ? + n(n + 1) 2 =
结论

n(n + 1) (an 2 + bn + c) 对一切正整数 n 都成立?证明你的 12

17. ) 由 坐 标 原 点 O 向 曲 线 y = x3 ? 3ax 2 + bx(a ≠ 0) 引 切 线 , 切 于 点 O 以 外 的 点 P ( x1,y1 ) ,再由 P 引此曲线的切线,切于 P 以外的点 P2 ( x2,y2 ) .如此进行下去,得到 1 1 1
点列 { Pn ( xn,yn )} . (1)求 xn 与 xn ?1 ( n ≥ 2) 的关系式; (2)求数列 { xn } 的通项公式,并证明. 解: (1) f ′( x) = 3 x 2 ? 6ax + b . 在点 P ( x1,y1 ) 处的切线为 l1 : y ? y1 = f ′( x1 )( x ? x1 )( x1 ≠ 0) . 1

∵ l1 过原点,
∴?( x13 ? 3ax12 + bx1 ) = (? x1 )(3 x12 ? 6ax1 + b) ,
解得 x1 =

3 a. 2

则当 n ≥ 2 时,在点 Pn ( xn,yn ) 处的切线 ln : y ? yn = f ′( xn )( x ? xn ) ,

∵ ln 过点 Pn ?1 ( xn ?1,yn ?1 ) ,
∴ yn ?1 ? yn = f ′( xn )( xn ?1 ? xn ) ,
整理,得 [ xn ?1 + xn ?1 xn ? 2 xn ? 3a ( xn ?1 ? xn )]( xn ?1 ? xn ) = 0 ,
2 2

∴ ( xn ?1 ? xn ) 2 ( xn ?1 + 2 xn ? 3a ) = 0 .
由 xn ≠ xn ?1 ,得 xn ?1 + 2 xn ? 3a = 0 ,

1 3 ∴ xn = ? xn ?1 + a (n ≥ 2) ; 2 2

4

? ? 1 ?1 ? 3 ? 1? (2)由(1)知 x1 = a = ? 1 + ? a = ?1 ? ? ? ? ? a , 2 ? 2? ? ? 2? ? ? ?

1 ? ? 1 ?? 3 x2 = ? ?1 ? ? ? ? ? a + a 2 ? ? 2 ?? 2 ? ? 1 ?2 ? = ?1 ? ? ? ? ? a , ? ? 2? ? ? ? 1? ? 1? x3 = ? ?1 ? ? ? ? 2? ? 2? ?
2

? 3 ?a+ a 2 ? ?

? ? 1 ?3 ? = ?1 ? ? ? ? ? a . ? ? 2? ? ? ? ? ? 1 ?n ? 由此猜想出 xn = ?1 ? ? ? ? ? a . ? ? 2? ? ? ?
下面用数学归纳法证明: ①当 n = 1 时,已证:

? ? 1 ?k ? ②假设当 n = k (k ∈ N ) 时,猜想成立,即 xk = ?1 ? ? ? ? ? a , ? ? 2? ? ? ? 1 3 则当 n = k + 1 时, xk +1 = ? xk + a 2 2
*
k 1? ? 1? ? 3 = ? ?1 ? ? ? ? ? a + a 2? ? 2? ? 2 ? ?

1 ? 1? = ? a ??? ? 2 ? 2? ? 1? = a ??? ? ? 2?
k +1

k +1

3 a+ a 2

? ? 1 ?k +1 ? a = ?1 ? ? ? ? ? a . ? ? 2? ? ? ?

故当 n = k + 1 时,猜想也成立.

? ? 1 ?n ? 由①和②可知,数列 { xn } 的通项公式 xn = ?1 ? ? ? ? ? a . ? ? 2? ? ? ?

5


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