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重庆市綦江南州中学2016届高三上学期摸底考试数学(文)试卷


重庆市綦江南州中学 2016 届高三上学期摸底考试 数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? ? x ?3 ? x ? 1? , ? ? ??3, ?2, ?1,0,1? ,则 ? ? ? ? ( A . ??2, ?1,0,1? D. ??2, ?1

,0? B . ??3, ?2, ?1,0? )

C . ??2, ?1,0,1?

? ? ? ? ? 2、 已知向量 a ? 1, 3 ,b ? ? 3, m ? ,若向量 a ,b 的夹角为 ,则实数 m ?( 6

?

?



A.2 3 3、复数
i A.

B. 3
4 ? 3i ?( 3 ? 4i

C.0

D.? 3


?i B.

12 ? 13i C.

12 ? 13i D.

4、从 5 , 6 , 7 , 8 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的 概率是(
1 A. 2


1 B. 3 1 C. 4 1 D. 6

5、已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F ? 3, 0? ,过点 F 的直线交椭 a 2 b2

圆 ? 于 ? , ? 两点,若 ?? 的中点坐标为 ?1, ?1? ,则 ? 的方程为(
x2 y 2 ?1 A. ? 45 36 x2 y 2 ?1 B. ? 36 27 x2 y 2 ?1 C. ? 27 18


x2 y 2 ?1 D. ? 18 9

6、 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存 最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也, 又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算 其体积 V 的近似公式 V ?
1 2 L h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似 36 7 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 264

取为 3 .那么近似公式 V ?
22 A. 7



25 B. 8

157 C. 50

355 D. 113

7、设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 ? (



A.?6

B.?4

C.?2

D.2

? ?? ? 8、 将函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度, 所得图象对应的函数 2 3? ?
( )
? ? 7? ? B.在区间 ? , ? 上单调递增 ?12 12 ? ? ? 7? ? A.在区间 ? , ? 上单调递减 ?12 12 ?

? ? 7? ? ? ? 7? ? C.在区间 ? ? , ? 上单调递减 D.在区间 ? ? , ? 上单调递增 ? 6 3 ? ? 6 3 ?

9、 某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是 A. a ? 4 C. a ? 6 10、已知 f ? x ? ? B. a ? 5 D. a ? 7

13 , 则 ( 7



1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ? abc ,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ? 0 , 3

现给出如下结论: ① f ? 0? f ?1? ? 0 ;② f ? 0? f ?1? ? 0 ;③ f ? 0? f ?3? ? 0 ; ④ f ? 0? f ?3? ? 0 ;⑤ f ?1? f ? 3? ? 0 ;⑥ f ?1? f ? 3? ? 0 .其中正 确结论的序号是( )

A.①③⑤ B.①④⑤ C.②③⑥ D.②④⑥ 11、某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的体积是 ( )
9? B.

27 A. ? 2

45 30? C. ? D. 2 ? ? g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? 12、设函数 g ? x ? ? x2 ? 2 ( x ? R ) , f ? x? ? ? ,则 f ? x ? 的值 ? ? g ? x ? ? x, x ? g ? x ?

域是(

) B .

? 9 ? A . ? ? , 0? ? ?1, ?? ? ? 4 ? ? 9 ? D. ?? ,0? ? ? 2, ?? ? ? 4 ?

?0, ???

? 9 ? C . ? ? , ?? ? ? 4 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、 已知等比数列 ?an ? 为递增数列, 若 a1 ? 0 , 且 2 ? an ? an?2 ? ? 5an?1 , 则数列 ?an ?

的公比 q ?

. .

14、曲线 y ? x ?3ln x ? 1? 在点 ?1,1? 处的切线方程为 15、已知抛物线 y 2 ? 8x 的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的一个焦点, a 2 b2

且双曲线的离心率为 2 ,则该双曲线的方程为

. .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 16、不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示平面区域 G ,那么 G 的面积为 ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分)在 ??? C 中,内角 ? , ? , C 所对的边分别是 a , b , 2 . c .已知 a ? 2 , c ? 2 , cos ? ? ? 4 ?1? 求 sin C 和 b 的值;

? 2 ? 求 cos ? ? 2? ?
?

??

? 的值. 3?

18、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中,底面 ?? CD 是正方形, ?? ? 平面 ?? CD , ?? ? ?D , ? 为 ? D 的中点. ?1? 证明: ?? ? 平面 ?CD ;

? 2 ? 设 ?? ? 2 ,求 ? 到平面 ?? C 的距离.

19、 (本小题满分 12 分)为调查甲、乙两校高中二年级学生某次联考数学成绩情 况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高二年级学生,以他们的数学成 绩(折算成百分制并取整数)作为样本,样本数据的茎叶图如下:
甲学校 5 3 1 5 3 1 1 4 3 0 0 4 2 7 2 0 0 2 0 4 5 6 7 8 9 5 3 0 0 1 0 3 0 0 1 8 0 2 5 乙学校

5 8

5 6

4 6

3 2

3 2 7

1 2 5

1 2 8

2 3

2 3

3 6

3 6

5 9

?1? 若乙校高二年级每位学生被抽取的概率为 0.025 ,求乙校高二年级学生总人
数,并估计乙校高中二年级这次联考数学成绩的及格率和及格的人数( 60 分及
60 分以上为及格) ;

乙两校高中二年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x ,y , 估计 x ? y ? 2 ? 设甲、 的值.

20、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 x?y 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴 的交点都在圆 C 上. ?1? 求圆 C 的方程;

? 2 ? 若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ?? ,求 a 的值.

21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ln x ?
x

m ,m?R . x ?1? 当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的极小值;

? 2 ? 讨论函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 3 零点的个数.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D ,? 分别为 ??? C 边 ?? ,? C 的中点,直线 D ? 交 ??? C 的外接圆于 F , G 两点,若 CF//?? . 证明: ?1? CD ? ?C ;

? 2 ? ??CD ? ?G?D .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? ? x ? 2 ? t cos ? 在直角坐标系 x?y 中,设倾斜角为 ? 的直线 l : ? ( t 为参数)与曲 ? ? y ? 3 ? t sin ? ? x ? 2cos ? 线C: ? ( ? 为参数)相交于不同两点 ? , ? . ? y ? sin ? ? ?1? 若 ? ? 3 ,求线段 ?? 中点 ? 的坐标; 2 ? 2 ? 若 ?? ? ?? ? ?? ,其中 ? 2, 3 ,求直线 l 的斜率.

?

?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? ax ? 1 ( a ? R ) ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x ?2 ? x ? 1? .

?1? 求 a 的值;
? 2? 若 f ? x? ? 2 f ? ?
x? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围. ?2?

重庆市綦江南州中学 2016 届高三上学期摸底考试 数学(文)试题参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 C 12 D

二、填空题
13. __2__; 14. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 15. x ?
2

y2 ? 1; 3

16. ___4____.

三、解答题
17. 解: (1)由 cos A= ?

2 14 可得 sin A= .?????2 分 4 4



a c 7 = 及 a=2,c= 2 ,可得 sin C = .?????4 分 sin A sin C 4

2 由 a2 =b2 +c2 ? 2bc cos A, 得 b +b ? 2=0 。因为 b >0 ,所以 b=1 .?????6 分

(2) cos A= ?

2 14 , sin A= , 4 4 3 7 . ,sin 2 A=2sin A cos A= ? 4 4

?????8 分

得 cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1= ?

?????10 分

所以 cos (2A+

?
3

)=cos2Acos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

=

?3+ 21 . 8

?????12 分

18. 解:(1) 因为 PA ? AD , E 为 PD 的中点, 所以 AE ? PD , ???2 分 又 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD ;????3 分 又 ABCD 是正方形,所以 CD ? AD ; 所以 CD ? 平面PAD ????4 分

AE ? 平面PAD ,故 AE ? CD , ????5 分 所以 AE ? 平面PCD . ????6 分 (2)因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC ,
又 AB ? BC ,所以 BC ? 平面PAB,所以 PB ? BC , 即 ?PBC 是直角三角形. 所以 S ?PBC ?

1 PB ? BC ? 2 2 2

?????8 分 ?????10 分

设 A 到平面 PBC 的距离为 h ,则有 VP? ABC ? VA?PBC

S PA 1 1 4 S ?ABC PA ? S ?PBC h , h ? ?ABC ? ? 2 ?????12 分 3 3 S ?PBC 2 2
19.解:(1)设乙校高中二年级学生总人数为 n 由题意知,

30 ? 0.025 ,即 n ? 1200 ??2 分 n

样本中乙校高中二年级学生数学成绩不及格人数为 4,据此估计乙校高中二年级此次联考 中,数学成绩及格率为 p ? 数学及格人数为 1200 ?

30 ? 4 13 ? , ?????4 分 30 15
?????6 分

13 ? 1040 . 15

(2)设甲校的样本为 x1 , x2, ? x30 、乙校的样本为 y1 , y2, ? y30 ;其平均成绩分别为 x, y , 根据样本茎叶图可知,

30x ? 30y ? 30( x ? y) = ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ? ? ( x30 ? y30 )
所以,由样本茎叶图可得:

?????8 分

x? y ?

1 30 [ ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ? ? ( x30 ? y30 ) ]

=[(7- 5)+(55+8-14)+(24-12- 65)+(26-24-79)+(22-20)+92] ? 30 =[2+49-53-77+2+92] ? 30 =0.5 ?????10 分 故 x ? y 的估计值为 0.5 分
2

?????12 分

20. 解 : ( 1 ) 曲 线 y ? x ? 6x ? 1 与 y 轴 的 交 点 为 ( 0 , 1 ) , 与 x 轴 的 交 点 为 ( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). ?????2 分

故可设 C 的圆心为(3, t ),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t =1.
2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3.

????? 4 分
2

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
2

?????6 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? ? x ? y ? a ? 0, ? 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
消去 y,得到方程 2x ? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0.
2 2

由已知可得,判别式 ? ? 56 ?16a ? 4a2 ? 0.

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4
a 2 ? 2a ? 1 . 2

, 从而

x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?

①?????9 分

由于 OA⊥OB,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以 2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 0.
2

②?????11 分

由①,②得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1. ?????12 分 21. 解:(1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? 易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

e x

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

?????2 分

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增;?????4 分

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 e

? f ( x) 的极小值为 2.
(2)? 函数 g ( x) ? f ?( x) ? 令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? 设 ? ( x) ? ?

?????6 分

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0) 3 x x2 3
?????7 分

1 3 x ? x( x ? 0) 3

1 3 x ? x( x ? 0) 3

???( x) ? ? x2 ? 1 ? ?( x ?1)( x ? 1)
当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以 x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 ? ( x) 的最大值点,

[来源:学科网]

1 2 ? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ? ? ? 1 ? . 3 3

?????9 分

又 ? (0) ? 0 ,结合 y = ? ( x) 的图像(如图)

可知:①当 m ? ②当 m ?

2 时,函数 g ( x) 无零点; 3

2 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点; 3
④ m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 综上所述,当 m ? ?????11 分

2 2 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一 3 3 2 个零点;当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点. ?????12 分 3
22.解: (1) CF / / AB ,

DF // BC ? CF ? BD ? AD ? CD ? AF
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD .
(2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD ,? ?GDB ? ?BGD ?????5 分 ?????8 分

? BC ? CD,? ?CBD ? ?CDB,
所以, △BCD ~△GBD ?????10 分

23.解:设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t 2 ,将曲线 C 的参数方 程化为普通方程

x2 ? y 2 ? 1. 4
(1)当 ? ?

?????2 分

π 时,设点 M 对应参数 t 0 . 3

1 ? x ? 2 ? t, ? 2 ? 直线 l 方程为 ? ( t 为参数). 3 t ?y ? 3 ? ? ? 2

?????4 分

代入曲线 C 的普通方程 则 t0 ?

x2 ? y 2 ? 1,得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 . 4

t1 ? t2 28 ?? . 2 13

所以,点 M 的坐标为 (

12 3 ,? ) . 13 13

?????5 分

(2)将 ?

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? , ? y 2 ? 1,得 代入曲线 C 的普通方程 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?

(cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3sin ? ? 4cos ? )t ?12 ? 0 ,
12 2 , OP ? 7 , 2 cos ? ? 4sin ? 12 5 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . 所以 2 2 cos ? ? 4sin ? 16
因为 PA ?PB ? t1t2 ?
2

?????7 分 ?????8 分

由于 ? ? 32cos ? (2 3sin ? ? cos ? ) ? 0 , 故 tan ? ?

5 5 .所以直线 l 的斜率为 . 4 4

?????10 分

24. 解: (1)由 ax+1 ? 3 得 -4 ? ax ? 2 , 又 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 , 所以当 a ? 0 时,不合题意. 当 a >0 时, -

?????2 分

?

?

?????3 分 ?????5 分

4 2 ? x ? ,得 a =2 . a a

? ?1,x ? -1 ? 1 ? ? x? (2)记 h ? x ? =f ? x ? -2 f ? ? ,则 h ? x ? = ?-4 x-3,-1<x <- ,?????8 分 2 ?2? ? 1 ? -1,x ? ? ? 2
所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k ? 1 . ?????10 分


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