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数列通项公式题型总结


数列通项公式题型总结 类型一、等差数列前 n 项和公式的推导
例 1 、 设 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则

a11 ? a12 ? a13 ? __________
例 2、已知数列 ?log2 (an ? 1)? , (n ? N

? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ??? ?1 a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

1、设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5, a10 ? -9 。 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使 S n 最大的序号 n 的值。

类型二、等比数列 例 3、 (1) 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, 首项 a1 =3, 前三项和为 21, 则 a3 ? a 4 ? a5 ? ( ) A、33 (2)在 等 差 数 B、72 列 C、84 D、189 若
?

?an ?





a10 ? 0











a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N ) 成立。类比上述性质,相应地:在 等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则有等式____________________________________成立。

例 4、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 =1, S n =4 a n ?1 +2. (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。

类型三、求数列通项公式的常用方法
一、观察法 根据数列给出的前几项的特点,通过归纳类比验证得出通项公式。 例 5、求通项公式 (1)1,3,3,5,5,7,7,9,9……

(2) 6,66,666,6666,66666……

二、公式法 运用等差数列或等比数列的通项公式

三、作差法 若一直数列 ?an ? 前 n 项和 S n ,则 an ? ?

n ?1 ? S1 , 。注意:要讨论 n=1 时,是否 ?S n ? S n?1 , n ? 2

符合所得的通项公式,不符合时要分段表达通项公式。

例 7、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 1, 求 ?an ? 的通项公式。

四、作商法 已知数列 ?an ? 前 n 项之积 Tn ?1 ,则 a n ? 通项公式,不符合时要分段表达通项公式。

Tn 。注意:要讨论 n=1 时,是否符合所得的 Tn?1

例 8 、 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 , 对 所 有 的 n≥2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则

a3 ? a5 ? __________
五、累加法 已知 an ? an?1 ? f (n)(n ? 2) ,且 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 的和比较好求,则可采用累 加法来求通项公式。 例 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2 n ?n

六、累乘法

an ? f (n)(n ? 2), 且 f(n)的前 n 项和比较好求,求 an 用累乘法。 a n ?1 例 10、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, (n ? 1)an?1 ? nan ,求 an 的表达式。
已知

七、构造辅助数列法 (1)取倒数法 一般地形如 a n ?

an?1 、an ? an?1 ? an?1 ? an 等形式的递推数列,可以用倒数法将 kan?1 ? b an?1 ,求 ?an ? 的通项公式。 3an?1 ? 1

其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例 11、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a n ?

(2)取对数法
p q 当数列 an 和 a n ?1 的递推关系涉及到高次时,形如: an q 为常数) ? man ?1 (其中 m、p、

等,我们一般采用对数法,等式两边分别取对数,进行降次,再重新构造数列运用累乘法进 行求解。 求数列 ?an ? 的通项公式。
2 例 12、已知 a1 ? 2 ,点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,其中 x ? 1,2,3,?。

(3) an?1 ? pan ? f (n) 型 ① 若 f ( n) 为常数,即 an?1 ? pan ? q(p、q 为常数,pq(p-1)≠0),对于这种类型我们 有两种方法:一是待定系数法,将原式变形为 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) 于是就构造出了一个以

q ) ,然后求出 an ;二是逐项相减法,由 p ?1 于 an ? pan?1 ? q, 所以 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ,再通过累加法即可求出 an 。
p 为公比的等比数列,先比较系数求出 ?(? ? 例 13、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2), 求数列 ?an ? 的通项公式。

② 若 f(n)为一次多项式,即数列的递推关系为 an?1 ? Aan ? Bn ? C, 对于这种类型, 我 们 同 样 有 两 种 方 法 : 一 是 用 待 定 系 数 法 , 将 原 式 变 形 为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式来求解;二是用逐项相减法,再通过换元法 和累加法求解。 例 14、设数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式。

③ 若 f(n)为指数幂,即 an?1 ? p ? an ? q n (其中 p、q 是常数) ,对于这种类型,我 们有三种方法:一是化为 an?1 ? ? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) 的形式,通过待定系数法求出 ? , 转化为等比数列求通项(注意:应用待定系数法时,要求 p≠q,否则待定系数法会失效) ;二

a n ?1 a a 1 q n 1 q ,则 bn ?1 ? bn ? ? ( ) , ? n ? ? ( ) n ,令 bn ? n n n ?1 n p p p p p p p a p a 1 n ?1 a ?1 再累加求出 bn ,然后求出 an 通项;三是两边同除以 q , n ? ? n ? ,令 bn ? n , n ?1 n q q q qn q p 1 则可化为 bn ?1 ? ? bn ? 。 然后按照 f(n)为常数的方法来求解。 q q 例 15、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , a1 ? 1, 求数列 ?an ? 的通项公式。
是两边同时除以 p
n ?1

,则

八、换元法 对于含根式的递推关系,我们经常采用换元法。 例 16、已知数列 ?an ? 满足 a n ?1 ?

1 (1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n ), a ? 1, 求数列 ?an ? 的通项公式。 16

九、特征根方程法 形如 a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan (p、q 是常数)的二阶递推数列都可用特征 根法求得通项 an ,其特征方程为 x 2 ? px ? q。 其两根为 α,β。 若 α≠β,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1 , c2 是待定常数) 。 若 α≠β,则可令 an ? 。 (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数) 例 17、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项

an 。

1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 2,4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N ? ) , 求数列 ?an ? 的通项 an 。

例 18、在数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ? )2 n (n ? N ? ) ,其中 ? ? 0 。求数列

十、数学归纳法

?an ?的通项公式。


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