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等差数列的性质课件2


等差数列(二)

知识回顾
如果一个数列从第2项起,每一项与 ?定义 — AAAAAAAAAAAAA 它前一项的差 等于同一个常数 . ? . . . . . . ? ?递推公式(定义式) — an?1 ? an ? d 等差数列 ? ?通项公式 — an=a1+(n-1)d ? ? ?几何意义 — 等差数列各项对应的点都

同一条直线上.

【说明】

AAA①公式中 n ? N ? d ? R
②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式, 当d=0时,为常函数。

复习巩固:
一、判定题:下列数列是否是等差数列?
①. 9 ,7,5,3,……, -2n+11, ……; ②. -1,11,23,35,……,12n-13,……; ③. 1,2,1,2,………………;

√ √

×
× √

④. 1,2,4,6,8,10, ……;
⑤. a, a, a, a, ……, a,…… ;

二、填空题:
-4 (1)等差数列8,5,2,…,的第5项是 AA AAAAAAA an = -5+(n-1).(-4) (2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是A
(3)已知{an}为等差数列,a1=3,d= 2 ,an=21,则n = 10 【说明】

在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个,
可求出

另外一个

简言之————“知三求四”
这里包含函数思想和方程思想

性质一、任意两项的关系

在等差数列 ?an ?中,有

an ? am an ? am ? (n ? m)d 或d ? n?m

性质二、等差中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为 一个等差数列: (1)2 , 3 , 4 (2)-1, 2 ,5

(3)-12, -6 ,0

(4)0, 0 ,0

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。

a?b A? 2

a?c 1、若a, b, c成等差数列,那么b ? ;2b ? a ? c; 2 b ? a ? c ? b; a ? b ? b ? c都是等价的。
2、在等差数列{an }中是否有an ?1 an ? 2 ) ?
1 3、在数列{an } 中有an ?1 ? ( an ? an ? 2 ) 2 ( n为任意的正整数), 那么 {an }一定 是等差数列吗 ?

1 ? ( an ? 2

思考:
引入:等差数列的等差 中项,我们有 a3 ? a15 ? 2a9 , a1 ? a17 ? 2a9 等差数列?an ? 中,若m ? n ? p ? q, 那么

am ? an与ap ? aq间存在什么样的关系?

am ? an ? a p ? aq

性质三、多项关系

数列{an}是等差数列,m、n、p、 q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq。 推广: 若m+n=2p,则am+an=2ap。

判断对错:

(1)a3 ? a 5 ? a1 ? a 7 (2)a1 ? a 4 ? a 6 ? a 3 ? a 8 (3)a1 ? a 5 ? a 6 ? a 2 ? a 3 ? a 7 (4)a3 ? a 4 ? a 5 ? 3a4
可推广到三项,四项等

注意:等式两边作和的项数必须一样多

例题分析
1、已知:数列的通项公式为 an=6n-1 问这个数 列是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差 分别是多少?
分析:由等差数列定义只需判断an-an-1(n≥2,n∈N) 的结果是否为常数。 解:∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数) ∴{an}是等差数列,其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.

例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 解:由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20,可 得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8
解: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10, 3 ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15 2

(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.
解: a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② , 解 ①、 ② 得

a4= 17
a7= 11



a4= 11 a7= 17

∴d= _2或2, 从而a14= _3或31

课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2

提示1:

2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 提示: d=an+1—an= -4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101; d=2, (2) 若ap= q,aq= p ( p≠q ),求ap+q

a101=154

d= -1, ap+q =0

研究性问题
1. 若a12=23,a42=143, an=263,求n. a 3=27 d= 4 n=72

2.已知{an}为等差数列,若a10= 20 ,d= -1 ,求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d 3. 三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的 积为12,求此三数. 6,4,2或2,4,6
设这三个数分别为a-d a,a+d,则3a=12,a2-d2=12

小结:
1. {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? an+1=an+d ? an= a1+(n-1) d ? an= kn + b (k、b为常数)

2. a、b、c成等差数列 ? a?c ? ? b?
2

b为a、c 的等差中项AA

2b= a+c

an ? am 3.更一般的情形,an= am+(n - m) d ,d= n?m am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
注意:上面的命题的逆命题 是不一定成立 的;

5. 在等差数列{an}中a1+an

=

a2+ an-1 = a3+ an-2

=…


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