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【高考精品复习】第十二篇 概率、随机变量及其分布 第5讲 二项分布及其应用


第5讲 【高考会这样考】 二项分布及其应用 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.考查 n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题. 【复习指导】 复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来,会对随机事件进行分析,即 把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和, 再把其中的每个事件分拆成若干个 相互独立事件之积, 同时掌握好二项分布的实际意义及

其概率分布和数学期望的 计算方法. 基础梳理 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率 叫做条件概率,用符号 P(B|A)来表示,其公式为 P(B|A)= P?AB? . P?A? n?AB? . n?A? 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(B|A)= (2)条件概率具有的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ② 如果 B 和 C 是两互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.相互独立事件 (1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A、B 是相互独立事 件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B), P(AB)=P(B|A)· P(A)=P(A)· P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验, 在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次 试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 k,在每次试验中事件 A 发生的 概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k) k n -k =Ck (k=0,1,2,?,n),此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~ np (1-p) B(n,p),并称 p 为成功概率. 一种关系 可先定义条件概率 P(B|A)= P?AB? ,当 P(B|A)=P(B)即 P(AB)=P(A)P(B)时,事件 P?A? B 与事件 A 独立.但是要注意事件 A、B、C 两两独立,但事件 A、B、C 不一定 相互独立. 两种算法 计算条件概率有两种方法. (1)利用定义 P(B|A)= P?AB? ; P?A? (2)若 n(C)表示试验中事件 C 包含的基本事件的个数,则 P(B|A)= n?AB? . n?A? 双基自测 1.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获 冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠 军的概率为( 3 A.4 ). 2 B.3 3 C.5 1 D.2 1 解析 问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率 P1=2;第二类,需比赛 1 1 1 2 局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率 P2=2×2=4.故甲队获得冠军的概率为 3 P1+P2=4. 答案 A 1 2.小王通过英语听力测试的概率是3,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得 通过的概率是( 4 A.9 2 B.9 ). 4 C.27 2 D.27 1? 4 ?1?1 ? ?3? · ?1-3?3-1= . 解析 所求概率 P=C1 3·

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