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2014届数学8.5直线、平面垂直的判定与性质


河北饶阳中学 2014 一轮复习题

[ 来源:中教 网]

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥

m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 答案 B 解析 若 l⊥m,m?α,则 l 与 α 可能平行、相交或 l?α;若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α;若 l∥α,m?α,则 l 与 m 可能平行或异面;若 l∥α,m∥α,则 l 与 m 可能平行、相交或 异面,故只有 B 选项正确. 2. 已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 答案 C 解析 如图,在平面 β 内的直线若与 α,β 的交线 a 平行,则有 m 与 之垂直.但却不一定在 β 内有与 m 平行的直线,只有当 α⊥β 时才 存在. 3. 已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是 ( )
[ 来源:中#教#网 z# z#s #tep]

(

)

(

)

A.l∥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α 答案 C

B.l⊥m,l⊥α D.l∥m,l∥α

解析 设 m 在平面 α 内的射影为 n,当 l⊥n 且与 α 无公共点时,l⊥m,l∥α. 4. 正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( A.A′C′ 答案 B 解析 连接 B′D′, B.BD C.A′D′ )

D.AA′

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE?平面 CC′E, ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在 的直线中:与 PC 垂直的直线有______________;与 AP 垂直的直 线有________. 答案 AB,BC,AC AB
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解析 ∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC; ∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥PC.与 AP 垂直的直线是 AB. 6. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又 AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确. 7. 已知平面 α,β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.当满足条件 ________时,有 m⊥β.(填所选条件的序号) 答案 ②④ 解析 若 m⊥α,α∥β,则 m⊥β. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图所示, 在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形,
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A1B1=A1C1,侧面 BB1C1C⊥底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. 证明 (1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC.

∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C, ∴AD⊥侧面 BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)如图,延长 B1A1 与 BM 的延长线交于点 N,连接 C1N. 1 ∵AM=MA1,∴MA1 綊 BB1, 2 ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴NC1⊥C1B1. ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C, ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C, 即截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. 9. (12 分)如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 CD、 A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定点 P 的位置,若不存在, 说明理由.
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(1)证明 连接 A1B,则 AB1⊥A1B, 又∵AB1⊥A1F,且 A1B∩A1F=A1,

∴AB1⊥平面 A1BF.又 BF?平面 A1BF,∴AB1⊥BF. (2)证明 取 AD 中点 G,连接 FG,BG,则 FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面 BFG. 又 BF?平面 BFG,∴AE⊥BF. (3)解 存在.取 CC1 中点 P,即为所求.连接 EP,AP,C1D,

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由(1)知 AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知 AE⊥BF,且 AE∩EP=E, ∴BF⊥平面 AEP. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m?β,则 l⊥α D.若 l⊥α,α∥β,m?β,则 l⊥m 答案 D 解析 ∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵m?β,∴l⊥m. 2. (2012· 浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直 线进行翻折,在翻折过程中 ( )
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A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 答案 B 解析 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.

对于选项 A,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F, 在图(1)中,由边 AB,BC 不相等可知点 E,F 不重合. 在图(2)中,连接 CE,若直线 AC 与直线 BD 垂直, 又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面 ACE, ∴BD⊥CE,与点 E,F 不重合相矛盾,故 A 错误. 对于选项 B,若 AB⊥CD, 又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,
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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

∴AB⊥面 ADC, ∴AB⊥AC, 由 AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形, 使得直线 AB 与直线 CD 垂直, 故 B 正确. 对于选项 C,若 AD⊥BC, 又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥面 ADC, ∴BC⊥AC.已知 BC= 2,AB=1,BC>AB, ∴不存在这样的直角三角形.∴C 错误. 由上可知 D 错误,故选 B. 3. 已知三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC, SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 ( A. 3 4 ) B. 5 4 C. 7 4 3 D. 4

答案 D 解析 如图所示,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 SD;作 AG⊥SD 于点 G,连接 GB. ∵SA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角形, ∴BC⊥SA,BC⊥AD. ∴BC⊥平面 SAD. 又 AG?平面 SAD,∴AG⊥BC. 又 AG⊥SD,∴AG⊥平面 SBC. ∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. ∵AB=2,SA=3,∴AD= 3,SD=2 3. SA· AD 3 在 Rt△SAD 中,AG= = , SD 2 3 AG 2 3 ∴sin∠ABG= = = . AB 2 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 答案 3 解析 如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P, ∴PA⊥平面 PBC.
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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

又∵BC?平面 PBC, ∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 5. 在正四棱锥 P—ABCD 中,PA= 3 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平 2

面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 答案 无数 解析 设正四棱锥的底面边长为 a,(如图)则侧棱长为 由 PM⊥BC, ∴PM= 3 a. 2

? 3a?2-?a?2= 2a. ? 2 ? ?2? 2
2 a,MN=AB=a, 2

连接 PG 并延长与 AD 相交于 N 点,则 PN= ∴PM2+PN2=MN2,∴PM⊥PN,

又 PM⊥AD,PN∩AD=N,∴PM⊥面 PAD, ∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直.
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6. 已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,l?α,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,可令平面 A1B1CD 为 α,平面 DCC1D1 为 β, 平面 A1B1C1D1 为 γ, 又平面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD, 平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1=C1D1, 则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表 示 a,b,因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行,即 α 与 γ 不平行,故①错误.②因为 a、b 相交,假设其确定的平面为 γ,根据 a∥α,b∥α, 可得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线 的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当 a∥b 时,l 垂直于平面 α 内两条不相交直线, 不可得出 l⊥α,④错误. 三、解答题 7. (13 分)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60° , A1A=AC=BC=1,A1B= 2.

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河北饶阳中学 2014 一轮复习题

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD. 证明 (1)因为∠A1AC=60° ,A1A=AC=1,

所以△A1AC 为等边三角形.所以 A1C=1. 因为 BC=1,A1B= 2,所以 A1C2+BC2=A1B2. 所以∠A1CB=90° ,即 A1C⊥BC. 因为 BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 BC?平面 A1BC,
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所以平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD. 因为 ACC1A1 为平行四边形, 所以 O 为 AC1 的中点. 因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD∥BC1. 因为 OD?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.

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