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河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


唐山市 2014-2015 学年度高三年级第一次模拟考试 文 科 数 学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , ? ? ?1, 2, 4? , ? ? ?2,5? ,则 ??U ?? ? ? ? ( A.?3,4,5? B.?2,3,5? ) B.4i C.? 4i ) D.y 2 ? ?2ax D.? 2i C.?5? ) D.?3?

? 2i ? 2、 ? ? ?( ? 1? i ?
A.2i

2

3、已知抛物线的焦点 F ? a,0 ? ( a ? 0 ) ,则抛物线的标准方程是( A.y 2 ? 4ax B.y 2 ? 2ax C.y 2 ? ?4ax

4 、命题 p : ?x ? ? , x3 ? x 2 ;命题 q : ?a ? ? 0,1? ? ?1, ??? ,函数

f ? x ? ? loga ? x ?1? 的图象过点 ? 2, 0 ? ,则(
A. p 假 q 假 C. p 假 q 真 B. p 真 q 假 D. p 真 q 真



5、执行右边的程序框图,则输出的 ? 是( A. C.
29 12 29 70



B. D.

70 29 169 70

?x ? y ? 2 ? 0 ? 6、设 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为( ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?



A.8

B.9

C. 28

D.29

?? //CD , ?? ? 2?C ? 2CD , o s D ? C? ? ???C ? 90? , 7、 在直角梯形 ?? CD 中, 则c

( A.


10 10 3 10 B. 10

C.

5 5

2 5 D. 5

第 -1- 页 共 8 页

8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( A. )
2? 3
2? 3

B.

4? 3
4? 3

C. 8 ?

D. 8 ?

9、已知 2sin 2? ? 1 ? cos 2? ,则 tan 2? ? (
4 A. 或 0 3 4 B.? 或 0 3

) C. )
? C.? ? 2, 5 ? ? D.? ?1, 5 ?
4 3

D.?

4 3

10、函数 f ? x ? ? sin x ? 2 cos x 的值域为( A.?1, 2?
? B.? ? 5,3?

x2 y 2 11、 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点,过点 F 向 C 的一条渐近 a b ???? ? F ?F? , 线引垂线, 垂足为 ? , 交另一条渐近线于点 ? . 若 2? 则 C 的离心率是 ( )

A.

2 3 3

B.

14 3

C. 2

D. 2

12、直线 y ? a 分别与曲线 y ? 2 ? x ? 1? , y ? x ? ln x 交于 ? , ? ,则 ?? 的最小值 为( A.3 ) B.2
3 C. 2

3 2 D. 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、函数 f ? x ? ? 2? x ? 2 的定义域是 . ? ? ? ? ? ? 14、已知 a ? ? ?1,3? , b ? ?1, t ? ,若 a ? 2b ? a ,则 b ?

?

?



15、一枚质地均匀的正方体玩具,四个面标有数字 1 ,其余两个面标有数字 2 ,抛 掷两次,所得向上数字相同的概率是 则平面 ? CD 被球所截得图形的面积为 . 16、在半径为 2 的球面上有不同的四点 ? , ? , C , D ,若 ?? ? ?C ? ?D ? 2 , .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )
第 -2- 页 共 8 页

17、 (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 ?1 ? q ? Sn ? qn ? 1 ,且

q ? q ?1? ? 0 .

? ? ? 求 ?an ? 的通项公式; ? ?? ? 若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求证: a2 , a8 , a5 成等差数列.

18、 (本小题满分 12 分)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况, 得如下实验数据: 3 4 5 6 7 天数 t (天) 2.5 4.5 3 4 6 繁殖个数 y (千 个) ? ? ? 求 y 关于 t 的线性回归方程;

? ?? ? 利用 ? ? ? 中的回归方程,预测 t ? 8 时,细菌繁殖个数.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
?? b

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? . ? ? y ? bt ,a

19、 (本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,侧面 ?CC1?1 与侧面

? ? ? 求证: ??1 ? CC1 ; ? ?? ? 若 ??1 ? 6 ,求四棱锥 ? ? ??1C1C 的体积.

C??1C1 都是菱形, ??CC1 ? ?CC1?1 ? 60? , ?C ? 2 .

第 -3- 页 共 8 页

20、 (本小题满分 12 分)已知圆 ? : x2 ? y 2 ? 4 ,点 ? 圆 ?1 内切于圆 ? ,记点 ? 的轨迹为 ? .

?

3,0 ,以线段 ?? 为直径的

?

? ? ? 求曲线 ? 的方程; ? ?? ? 当 ?? 与圆 ?1 相切时,求直线 ?? 的方程.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ln x ?

a ? 1 , g ? x ? ? ex ? 2ln x ? x ? . x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在定义域上是增函数,求 a 的取值范围;

? ?? ? 求 g ? x ? 的最大值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D , 过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线交于 点 ? , ?D 交 ? C 于点 F . ? ? ? 求证: ?C//D? ; ?C ? ? ?C ,求 ???C . ? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x2 y 2 ? x ? ?3 ? 3t ? ? 1 ,直线 l : ? 已知椭圆 C : ( t 为参数) . 4 3 y ? 2 3 ? t ? ? ? ? ? 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程;
第 -4- 页 共 8 页

? ?? ? 设 ? ?1,0? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求
点 ? 的坐标.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? x ?1 .

? ? ? 当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 3 ; ? ?? ? 若 f ? x ? 的最小值为 1 ,求 a 的值.

第 -5- 页 共 8 页

参考答案
一、选择题: 1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、D 7、B 8、C 9、A 10、D 11、A 12、C 二、填空题: 5 13、(-∞,-1] 14、 5 15、 9 16、3π 三、解答题: 17、解: (Ⅰ)当 n=1 时,由(1-q)S1+q=1, - - 当 n≥2 时,由(1-q)Sn+qn=1,得(1-q)Sn-1+qn 1=1,两式相减得(1-q)an+qn-qn 1=0, - 因为 q(q-1)≠0,得 an=qn 1,当 n=1 时,a1=1. - 综上 an=qn 1. …6 分 an (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 =q,所以{an}是以 1 为首项,q 为公比的等比数列. an-1 1-anq 1-a3q 1-a6q 2(1-a9q) 所以 Sn= ,又 S3+S6=2S9,得 + = , 1-q 1-q 1-q 1-q 化简得 a3+a6=2a9,两边同除以 q 得 a2+a5=2a8. 故 a2,a8,a5 成等差数列. …12 分 18、解: (Ⅰ)由表中数据计算得,t =5,y =4, ∑ (ti-t )(yi-y )=8.5, ∑ (ti-t )2=10, ? =i=1 b
n n n i=1 i=1

∑ (ti-t )(yi-y)
i=1

∑ (ti-t )2

n

?=0.85,a ? =y -b t =-0.25.

?=0.85t-0.25. 所以,回归方程为y …8 分 ? (Ⅱ)将 t=8 代入(Ⅰ)的回归方程中得y=0.85×8-0.25=6.55. 故预测 t=8 时,细菌繁殖个数为 6.55 千个. …12 分 19、解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则 △ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1. …6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3,又 AB1= 6, 所以 OA⊥OB1.又 OA⊥CC1,OB1∩CC1=O, 所以 OA⊥平面 BB1C1C. S□BB C C=BC×BB1 sin 60°=2 3, 1 故 VA-BB C C= 3 S□BB C C×OA=2.
1 1 1 1 1 1

A

A1

O C B B1 C1

…12 分

20、解: (Ⅰ)设切点为 P,连 OO1,O1P, 则|OO1|+|O1P|=|OP|=2,取 A 关于 y 轴的对称点 A ?,连 A ? B,故 |A ? B|+|AB|=2(|OO1|+|O1P|)=4. y 所以点 B 的轨迹是以 A ?, A 为焦点, 长轴长为 4 的椭圆. 其中,a=2,c= 3,b=1,则 x2 2 B 曲线 Γ 的方程为 4 +y =1. …5 分
第 -6- 页 共 8 页 A ? O

O1

P A x

(Ⅱ)因为 OB 与圆 O1 相切,所以→ OB ⊥→ AB . 2 设 B(x0,y0),则 x0(x0- 3)+y0=0. …7 分 2 x0 2 2 2 又 4 +y0=1,解得 x0= ,y0=± . 3 3 2 则 kOB=± 2 ,kAB= ? 2, …10 分 则直线 AB 的方程为 y=± 2(x- 3),即 x+y- 6=0 或 2x-y- 6=0. …12 分 2 a 21、解: (Ⅰ)由题意得 x>0,f ?( x)=1- x + x2 . …1 分

由函数 f (x)在定义域上是增函数得,f ?( x)≥0,即 a≥2x-x2=-(x-1)2+1(x>0) . 2 因为-(x-1) +1≤1(当 x=1 时,取等号) , 所以 a 的取值范围是 [1,+∞). …5 分 2 (Ⅱ)g ?( x)=ex x -1+2lnx-x , …7 分 2 由(Ⅰ)得 a=2 时,f (x)=x-2lnx- x +1 且 f (x)在定义域上是增函数得,又 f (1)=0, 所以,当 x∈(0,1)时,f (x)<0,当 x∈(1,+∞)时,f (x)>0. …10 分 所以,当 x∈(0,1)时,g ?( x)>0,当 x∈(1,+∞)时,g ?( x)<0. 故 x=1 时,g( x)取得最大值-e. …12 分

(

)

22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. …4 分 (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. A 设∠DAC=∠DAB=x, 因为⌒ AC =⌒ BC ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, π 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= 7 , 2π 所以∠BAC=2x= 7 . …10 分

E C D F B

?x=2cos θ, 23、解: (Ⅰ)C:? (θ 为为参数) ,l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ

…4 分

(Ⅱ)设 P(2cos θ, 3sin θ),则|AP|= (2cos θ-1)2+( 3sin θ)2=2-cos θ, |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin 2 θ +cos 2 θ=1,得 sin θ= 5 , cos θ=- 5 . 8 3 3 故 P -5, 5 .

(

)

…10 分

第 -7- 页 共 8 页

-3x, x≤-1; ? ?-x+2,-1≤x≤ 1 ; 2 24、解: (Ⅰ)因为 f (x)=|2x-1|+|x+1|=? 1 ? ?3x, x≥ 2 且 f (1)=f (-1)=3,所以,f (x)<3 的解集为{x|-1<x<1}; …4 分 a a a a (Ⅱ)|2x-a|+|x+1|= x- 2 +|x+1|+ x- 2 ≥ 1+ 2 +0= 1+ 2 a a 当且仅当(x+1) x- 2 ≤0 且 x- 2 =0 时,取等号. a 所以 1+ 2 =1,解得 a=-4 或 0.

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(

)

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…10 分

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