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集合练习题及答案有详解


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圆梦教育中心 集合例题详解
1.已知 A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1?A )

【解析】 集合 A 表示不等式 3-3x>0 的解集.显然 3,1 不满足不等式,而 0,-1 满足不等式,故选 C. 【答案】 C 2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( A.{y|y=2} B.{x=2} C.{2} D.{x|x2-4x+4=0} 【解析】 {x=2}表示的是由一个等式组成的集合.故选 B. 【答案】 B 3.下列关系中,正确的个数为________. 1 ①2∈R;② 2?Q;③|-3|?N*;④|- 3|∈Q. 1 【解析】 本题考查常用数集及元素与集合的关系.显然2∈R,①正确; 2?Q,②正确; |-3|=3∈N*,|- 3|= 3?Q,③、④不正确. 【答案】 2 4.已知集合 A={1,x,x2-x},B={1,2,x},若集合 A 与集合 B 相等,求 x 的值. 【解析】 因为集合 A 与集合 B 相等, 所以 x2-x=2.∴x=2 或 x=-1. 当 x=2 时,与集合元素的互异性矛盾. 当 x=-1 时,符合题意. ∴x=-1. )

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列命题中正确的( )

①0 与{0}表示同一个集合; ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程(x-1)2(x-2)=0 的所 有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示. A.只有①和④ B.只有②和③

C.只有② D.以上语句都不对 【解析】 {0}表示元素为 0 的集合,而 0 只表示一个元素,故①错误;②符合集合中元素的无序性,正 确;③不符合集合中元素的互异性,错误;④中元素有无穷多个,不能一一列举,故不能用列举法表示.故选
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C. 【答案】 C 2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( A.{1,1} B.{1} C.{x=1} D.{x2-2x+1=0} 【解析】 集合{x|x2-2x+1=0}实质是方程 x2-2x+1=0 的解集,此方程有两相等实根,为 1,故可表 示为{1}.故选 B. 【答案】 B 3.已知集合 A={x∈N*|- 5≤x≤ 5},则必有( A.-1∈A B.0∈A C. 3∈A D.1∈A 【解析】 ∵x∈N*,- 5≤x≤ 5, ∴x=1,2, 即 A={1,2},∴1∈A.故选 D. 【答案】 D 4.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之 和为( ) ) )

A.0 B.2 C.3 D.6 【解析】 依题意,A*B={0,2,4},其所有元素之和为 6,故选 D. 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知集合 A={1,a2},实数 a 不能取的值的集合是________. 【解析】 由互异性知 a2≠1,即 a≠± 1, 故实数 a 不能取的值的集合是{1,-1}. 【答案】 {1,-1} 6.已知 P={x|2<x<a,x∈N},已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a=________. 【解析】 用数轴分析可知 a=6 时,集合 P 中恰有 3 个元素 3,4,5. 【答案】 6 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.选择适当的方法表示下列集合集. (1)由方程 x(x2-2x-3)=0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 6 的有理数; (3)由直线 y=-x+4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
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【解析】 (1)方程的实数根为-1,0,3, 故可以用列举法表示为{-1,0,3}, 当然也可以用描述法表示为{x|x(x2 -2x-3)=0},有限集. (2)由于大于 2 且小于 6 的有理数有无数个,故不能用列举法表示该集合,但可以用描述法表示该集合为 {x∈Q|2<x<6},无限集. (3)用描述法表示该集合为 M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}或用列举法表示该集合为 {(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}. 8.设 A 表示集合{a2+2a-3,2,3},B 表示集合 {2,|a+3|},已知 5∈A 且 5?B,求 a 的值. 【解析】 因为 5∈A,所以 a2+2a-3=5, 解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去. 当 a=-4 时,|a+3|=1,符合题意,所以 a=-4. 9.(10 分)已知集合 A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}. (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)∵A 中有两个元素, ∴方程 ax2-3x-4=0 有两个不等的实数根,

?a≠0, 9 9 ∴? 即 a>-16.∴a>-16,且 a≠0. ?Δ=9+16a>0,
4 (2)当 a=0 时,A={-3}; 9 当 a≠0 时,若关于 x 的方程 ax2-3x-4=0 有两个相等的实数根,Δ=9+16a=0,即 a=-16; 若关于 x 的方程无实数根,则 Δ=9+16a<0, 9 即 a<-16; 9 故所求的 a 的取值范围是 a≤-16或 a=0.

1.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于(
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)

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A.{x|x≥3} C.{x|2≤x<3} D.{x|x≥4}

B.{x|x≥2}

【解析】 B={x|x≥3}.画数轴(如下图所示)可知选 B.

【答案】 B 2.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩B=( A.{3,5} B.{3,6} C.{3,7} D.{3,9} 【解析】 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},A 和 B 中有相同的元素 3,9,∴A∩B={3,9}.故选 D. 【答案】 D 3.50 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有 30 名,参加乙项的学生有 25 名,则仅参加了一项活动的学生人数为________. 【解析】 )

设两项都参加的有 x 人,则只参加甲项的有(30-x)人,只参加乙项的有(25-x)人.(30-x)+x+(25-x)=50,∴x=5. ∴只参加甲项的有 25 人,只参加乙项的有 20 人, ∴仅参加一项的有 45 人. 【答案】 45 4.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若 A∩B={9},求 a 的值. 【解析】 ∵A∩B={9}, ∴9∈A,∴2a-1=9 或 a2=9,∴a=5 或 a=± 3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}. 此时 A∩B={-4,9}≠{9}.故 a=5 舍去. 当 a=3 时,B={-2,-2,9},不符合要求,舍去. 经检验可知 a=-3 符合题意.

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4
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)

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【解析】 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又 A∪B={0,1,2,4,16}, ∴{a,a2}={4,16},∴a=4,故选 D. 【答案】 D 2.设 S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则 S∩T=( 1 A.? B.{x|x<- } 2 5 1 5 C.{x|x> } D.{x|- <x< } 3 2 3 1 5 1 5 【解析】 S={x|2x+1>0}={x|x>- },T={x|3x-5<0}={x|x< },则 S∩T={x|- <x< }.故选 D. 2 3 2 3 【答案】 D 3.已知集合 A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则 A∪B=( A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-1≤x≤2} 【解析】 集合 A、B 用数轴表示如图, A∪B={x|x≥-1}.故选 A. ) )

【答案】 A 4.满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 集合 M 必须含有元素 a1,a2,并且不能含有元素 a3,故 M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4}.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 A=(-∞,1],B=[a,+∞),要使 A∪B=R,只需 a≤1. 【答案】 a≤1 6.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数是________. 【解析】 由于{1,3}∪A={1,3,5},则 A?{1,3,5},且 A 中至少有一个元素为 5,从而 A 中其余元素可以是集 合{1,3}的子集的元素,而{1,3}有 4 个子集,因此满足条件的 A 的个数是 4.它们分别是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 【答案】 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B.
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)

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【解析】 由 A∪B={1,2,3,5},B={1,2,x2-1}得 x2-1=3 或 x2-1=5. 若 x2-1=3 则 x=± 2; 若 x2-1=5,则 x=± 6; 综上,x=± 2 或± 6.

当 x=± 2 时,B={1,2,3},此时 A∩B={1,3}; 当 x=± 6时,B={1,2,5},此时 A∩B={1,5}. 8.已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 【解析】 由 A∩B=?, (1)若 A=?, 有 2a>a+3,∴a>3. (2)若 A≠?, 如图:

∴ ,解得- ≤a≤2. 综上所述,a 的取值范围是{a|- ≤a≤2 或 a>3}.

9.(10 分)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、 物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有多少人? 【解析】 设单独参加数学的同学为 x 人,参加数学化学的为 y 人,单独参加化学的为 z 人. x+y+6=26, ? ? 依题意?y+4+z=13, ? ?x+y+z=21, x=12, ? ? 解得?y=8, ? ?z=1.

∴同时参加数学化学的同学有 8 人,

答:同时参加数学和化学小组的有 8 人.

1.集合{a,b}的子集有(
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)

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A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

【解析】 集合{a,b}的子集有 ?,{a},{b},{a,b}共 4 个,故选 D. 【答案】 D 2.下列各式中,正确的是( )

A.2 3∈{x|x≤3} B.2 3?{x|x≤3} C.2 3?{x|x≤3} D.{2 3}?{x|x≤3} 【解析】 2 3表示一个元素,{x|x≤3}表示一个集合,但 2 3不在集合中,故 2 3?{x|x≤3},A、C 不 正确,又集合{2 3}?{x|x≤3},故 D 不正确. 【答案】 B 3.集合 B={a,b,c},C={a,b,d},集合 A 满足 A?B,A?C.则集合 A 的个数是________. 【解析】 若 A=?,则满足 A?B,A?C;若 A≠?,由 A?B,A?C 知 A 是由属于 B 且属于 C 的元素 构成,此时集合 A 可能为{a},{b},{a,b}. 【答案】 4 4.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若 A?B,求实数 a 的取值集合. 【解析】

将数集 A 表示在数轴上(如图所示),要满足 A?B,表示数 a 的点必须在表示 4 的点处或在表示 4 的点的 右边,所以所求 a 的集合为{a|a≥4}.

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.集合 A={x|0≤x<3 且 x∈Z}的真子集的个数是( A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 由题意知 A={0,1,2},其真子集的个数为 23-1=7 个,故选 C. 【答案】 C 2.在下列各式中错误的个数是( ) )

①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2}; ④{0,1,2}={2,0,1} A.1 B.2
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C.3 D.4

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【解析】 ①正确;②错.因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系;③正确;④正确.两个集合的 元素完全一样.故选 A. 【答案】 A 3.已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则( A.A>B B.A?B C.B?A D.A?B 【解析】 如图所示, )

,由图可知,B?A.故选 C. 【答案】 C 4.下列说法: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若 ??A,则 A≠?. 其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解析】 ①空集是它自身的子集;②当集合为空集时说法错误;③空集不是它自身的真子集;④空集是 任何非空集合的真子集.因此,①②③错,④正确.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 ??{x|x2-x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 ∵??{x|x2-x+a=0}, ∴方程 x2-x+a=0 有实根, 1 ∴Δ=(-1)2-4a≥0,a≤4. 1 【答案】 a≤4 6.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2},若 B?A,则实数 m=________. 【解析】 ∵B?A, ∴m2=2m-1, 即(m-1)2=0∴m=1, 当 m=1 时, A={-1,3,1}, B={3,1}满足 B?A. 【答案】 1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.设集合 A={x,y},B={0,x2},若 A=B,求实数 x,y. 【解析】 从集合相等的概念入手,寻找元素的关系,必须注意集合中元素的互异性.因为 A=B,则 x =0 或 y=0.
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)

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(1)当 x=0 时,x2=0,则 B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当 y=0 时,x=x2,解得 x=0 或 x=1.由(1)知 x=0 应舍去. 综上知:x=1,y=0. 8.若集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},且 N?M,求实数 a 的值. 【解析】 由 x2+x-6=0,得 x=2 或 x=-3. 因此,M={2,-3}. 若 a=2,则 N={2},此时 N?M; 若 a=-3,则 N={2,-3},此时 N=M; 若 a≠2 且 a≠-3,则 N={2,a}, 此时 N 不是 M 的子集, 故所求实数 a 的值为 2 或-3. 1 n 1 p 1 9.(10 分)已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈Z},请探求 6 2 3 2 6 集合 M、N、P 之间的关系. 1 【解析】 M={x|x=m+6,m∈Z} ={x|x= 6m+1 6 ,m∈Z}.

n 1 N={x|x=2-3,n∈Z} =?x|x=
? ? ? 3n-2 ,n∈Z? 6 ?

p 1 P={x|x=2+6,p∈Z} 3p+1 ={x|x= 6 ,p∈Z}. ∵3n-2=3(n-1)+1,n∈Z. ∴3n-2,3p+1 都是 3 的整数倍加 1, 从而 N=P. 而 6m+1=3×2m+1 是 3 的偶数倍加 1, ∴M?N=P.

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