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北京市海淀区高三年级2012-2013学年第二学期期中练习文科数学试卷(一模)


北京市海淀区高三年级 2012-2013 学年第二学期期中练习文科数学试卷(一模)
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答 案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.

/>2 1. 集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x ? N | x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {1,2}

B. {3,4,5}

C. {4,5,6} D. {3,4,5,6}

2.等差数列 {an } 中, a2 ? 3, a3 ? a4 ? 9, 则 a1a6 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.27

3. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为 A.

1 2

B.

1

C.

2

D. ?1

[来源:学。科。网]

4. 已知 a ? 0 ,下列函数中,在区间 (0, a ) 上一定是减函数的是 A. f ( x ) ? ax ? b
x C. f ( x ) ? a 2 B. f ( x) ? x ? 2ax ? 1

D. f ( x ) ? log a x

? x ? 1, ? 5. 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
[来源:学科网 ZXXK]

6. 命题 p : ? ? ? R , sin(π ? ? ) ? cos ? ; 命题 q : ?m ? 0, 双曲线 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题 7.已知曲线 f ( x ) ? ln x 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 (0, ?1) ,则 x0 的值为 A.

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2 . m2 m2

1 e

B. 1

C. e

D. 10

2 8. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当

?FPM 为等边三角形时,其面积为

A. 2 3

B. 4

C. 6

D. 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在复平面上,若复数 1+bi ( b ? R )对应的点恰好在实轴上,则 b =_______. 10.若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______.
2

11.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______. 12.在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ?
x

4 2 2 侧视图 4 俯视图

1 ,则 c ? ______. 4

4 主视图 2

?2 ? a, x ? 0, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 有三个不同的零点,则实数 a 的取 ? x ? ax ? a, x ? 0 ?
值范围是_____. 14.已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ? R ,定义集合:

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P(t , f (t )) ,Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} . 设 M t , mt 分别表示集合 At
中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______; (2)若函数 f ( x) ? sin x ,则 h (t ) 的最小正周期为______.
[来源:学科网]

π 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.
[来源:学科网]

π 3

π π 6 3

16. (本小题满分 13 分)

在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五 个等级. 某考场考生的两科 考试 成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅 读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均 为 A 的概率.

17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?CAD ? 30? , PA ? AB ? 4 ,点 N 在线段 PB 上,

PN 1 ? . NB 3 (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行,请 说明理由.


18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ?

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分)

已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 的圆心,离心率为

x2 y2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M a b 3

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , ,且 AG ? BH ,求 k 的值. H 两点(其中点 G 在线段 AB 上)

20. (本小题满分 13 分)

? 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 , 其 中 x A , y A , xB , yB Z . 令
?x ? xB ? x A , ?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关
点”,记作: B ? ? ( A) . (Ⅰ)请问:点 (0,0) 的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆 的方程;若不在,说明理由; (Ⅱ)已知点 H (9,3), L(5,3) ,若点 M 满足 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) ,求点 M 的坐标; ( Ⅲ ) 已 知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 ? Z, y0 ? Z) 为 一 个 定 点 , 点 列 {Pi } 满 足 : Pi ? ? ( Pi ?1 ) , 其 中

i ? 1, 2 , 3, . . . , n ,求 P0 Pn 的最小值.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的 小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

2π 2π π ? ? π ??????9 = 2sin(2 x ? ) ??????8 分所以 f ( x ) 的周期为 T ? |? | 2 6


(II)当 x ? [ ? 所以当 x ? ?

?
6

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 3 3 6 6 6

时,函数取得最小值 f ( ?

?

得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分

?

6

) ? ?1 ??????11 分当 x ?

?
6

时,函数取

6

所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ??????1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ??????2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ??????4 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ??????5 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 ??????6 分 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CAD ? 30? ,所以, DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1??????8 分 3

当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点??????9 分 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? k 或 x2 ? ? k ?????10 分 所以 g '( x), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x) g ( x)

(??, ? k )

? k
0 极大值

(? k , k )
?
?

k
0 极小值

( k , ??)

?
?

?
?

则 GH ? 2

7 2k 2 ??????11 分 ? 3 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾,

变换回到 P (x0 ,y0 +1) ,故 | P P | 的最小值为 1 n 0 n 综上,当 n =1 时, | P P | 的最小值为 5 0 n 当 n ? 2k , k ? N 时, | P P | 的最小值为 0 0 n
*

当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, | P P | 的最小值为 1 0 n
*

??????13 分


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