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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(18)(文科 统计与导数)


2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十八)

(文科 ? 统计与导数)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.函数 y=f(x)的图象在点 P (1, f(1)) 处的切线方程为 y=-2x+10,导函

数为 f ?( x) , 则 f(1)+ f ?(1) 的值为 A. -2 B.2 C .6 D. 8 2.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为 s ? t 4 ? t 3 ? 2t 2 ,那么速度 为零的时刻是 A.1 秒末 B.0 秒 C.4 秒末 D.0,1,4 秒末 3. f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f ′(x)=g′(x),则 A.f(x)=g(x) B.f(x)+g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)-g(x)为常 数函数 4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙两 人下成和棋的概率为 A.60% B.50% C.30% D.10% 5. 某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽取容 量为 45 人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A.15,10,20 B.10,5,30 C.15,15,15 D.15,5,25 6. 要从 10 名男生与 5 名女生中选出 6 名学生组成课外活动小组,如果按性别分 层抽样,试问组成此课外活动小组的概率为 A.
4 2 C10 C5 6 C15

1 4

5 3

B.

3 3 C10 C5 6 C15

C.

6 C15 6 A15

D.

4 2 A10 A5 6 C15

7. 已知 f ( x) ? x 2 ? 3xf ?(1),则f ?(2) = A.-1 B.0 C.2 D.4 8.若 f (x)= x3-ax2+1,则在点(0, 1)处曲线 f (x)的切线有 A、0 条 B、1 条 C、2 条 D、3 条 9.在样本的频率分布直方图中,共有 n 个小长方形,若中间一个小长方形的面 1 积等于另外 n-1 个小长方形面积和的 ,且样本容量为 160,则 4 y 中间一组的频数为 A.32 B.33 C.34 D.35 10.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 O x y=f ?(x)可能为 y y y y 图 1 x

O A

x

O B

x

O C

x

O D

11. 在抽查某产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组, [a,b]是其中一组,已 知该组的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则|a-b|等于 h m A. B. C.mh D.m+h m h 12.设 f(x)=ax3-6ax2+b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29, 且 a>b,则 A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-29 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线 上。 13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品。产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 。现 用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中A种型号产品有16件。那么 此样本的容量n= . 3 2 14 .若函数 y=x +ax +bx+27 在 x= - 1 时有极大值,在 x=3 时有极小值,则 a=___________,b=___________. 15.若曲线 y=h(x)在点 P(a, h(a))处的切线方程为 2x+y+1=0,则 h ' (a) = 16. 一个容量为 20 的样本,数据的分组与几个组的频数如下:[10,20],2;[20, 30],3;[30,40],4;[40,50],5;[50,60],4;[60,70],2. 则样本在区间[10, 50]上的频率为 . . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或推 演步骤。 17.已知 10 件产品中有 3 件是次品. (1)任意取出 3 件产品作检验,求其中至少有 1 件是次品的概率; (2)为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取几件产品 作检验? 18.盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池,现在无放回地每次 取一节电池检验为止,直到取到好电池,请回答下列问题。 (1)求抽取 3 次才能取到好电池的概率; (2)求抽取次数 x 至少为 2 的概率。 19 .已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx ? 2(a, b ? R)在区间 (??,0)及(4,??) 上都是增函 数,在区间(0,4)上是减函数. (1)求 a,b 的值; (2)求曲线 y ? f ( x)在x ? 1处的切线方程. 20. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? 1 处有极值, f ( x)在x ? 2 处的切线 l 不 过第四象限且倾斜角为 (1)求 a、b、c 的值;
3 (2)求函数 y ? f ( x)在区间[?1, ] 上的最大值和最小值. 2
2 0 0 7

? 2 ,坐标原点到切线 l 的距离为 . 4 2

0

4

1

0

21. 设曲线 y ? x 2 ? x ? 2 ? ln x 在 x = 1 处的切线为 1, 数列 {an } 的首项 a1 ? ?m , (其中常数 m 为正奇数)且对任意 n ? N ? ,点 (n ? 1, an?1 ? an ? a1 ) 均在直线上. (1)求出 {an } 的通项公式; (2) 令 bn ? nan , (n ? N ? ) ,当 an ? a5 恒成立时, 求出 n 的取值范围, 使得 bn?1 ? bn 成立. 22 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx点x0 处的取得极小值-4,使其导函数 f ' ( x) ? 0 的 x 的取值范围为(1,3) ,求: (1)f(x)的解析式; (2)f(x)的极大值; (3)x∈[2,3],求 g ( x) ? f ' ( x) ? 6(m ? 2) x 的最大值.

2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(十八)
一.1.C 11.C 2.D 12.D 14.-3 –9; 3.D 4.B

(文科·统计与导数)答案 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C

5.A

二.13. 80;

15.-2; 16. 0.7

3 C7 7 三.17. (1)任意取出 3 件产品作检验,全部是正品的概率为 3 ? C10 24 7 17 ? 至少有一件是次品的概率为 1 ? 24 24 C 3C n ?3 (2)设抽取 n 件产品作检验,则 3 件次品全部检验出的概率为 3 n7 . C10 n ?3 C7 7! 6 10! ? 0.6,即 ? ? , n C10 (n ? 3)!(10 ? n)! 10 n!(10 ? n)! n(n ? 1)(n ? 2) ? 9 ? 8 ? 6 , n ? N , n ? 10, ∴当 n=9 或 n=10 时上式成立.











17 ; 为了保证使 24 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取 9 件产品作检验. 2 1 3 1 18. (1) p(? ? 3) ? ? ? ? 5 4 3 10 3 2 (2) p(? ? 2) ? 1 ? p(? ? 1) ? 1 ? ? 5 5 2 19. (1)? f ?( x) ? 3ax ? 2x ? b , 又 f ( x) 在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4) 上是减函数, ? f ?(0) ? 0, b ? 0.

答:任意取出 3 件产品作检验,其中至少有 1 件是次品的概率为

1 又 f ?(4) ? 0, a ? . 6 1 3 1 (2)? f ( x) ? x ? x 2 ? 2, 得f ?( x) ? x 2 ? 2 x. 6 2 3 当 x=1 时, f ?(1) ? ? . 2 7 此时 y ? f (1) ? . 6 3 7 即切线的斜率为- ,切点坐标为(1, ), 所求切线方程为 9x+6y- 2 6 16=0. 20. (1)由 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 得f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. ① ? x ? 1时f ( x) 有极值,? f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0. ? ? ? f ( x)在x ? 2 处的切线 l 的倾斜角为 ,? f ?(2) ? 12 ? 4a ? b ? tan ? 1. ② 4 4 由①②可解得 a =-4,b = 5

设切线 l 的方程为 y = x + m,由坐标原点(0,0)到切线 l 的距离为

2 ,可 2

得 m =± 1, 又切线不过第四象限,所以 m =1,切线方程为 y = x + 1. ∴切点坐标为(2,3) ,? f (2) ? 8 ? 16 ? 10 ? c ? 3, 所以c ? 1. 故 a=-4,b = 5,c =1. (2)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 3 ? 4x 2 ? 5x ? 1, f ?( x) ? 3x 2 ? 8x ? 5 ? ( x ? 1)(3x ? 5). 3 ? 3? ? x ? [ ?1, ] ,∴函数 f ( x) 在区间[-1,1]上递增,在 ?1, ? 上递减, 2 ? 2? 3 23 又 f (?1) ? ?9, f (1) ? 3, f ( ) ? , 2 8 3 ∴ f ( x) 在区间 [ ?1, ] 上的最大值为 3,最小值为-9. 2 2 21. 解: (1) y ? x ? x ? 2 ? ln x ,知 x =1 时,y = 4, 1 又 y ? | x ?1 ? (2 x ? 1 ? ) | x ?1 ? 2 x ∴直线 l 的方程为 y-4 = 2 (x-1),即 y = 2x +2 又点(n-1,an+1-an-a1)在 l 上,? an?1 ? an ? m ? 2n. 即 an?1 ? an ? 2n ? m(n ? N ? ) ? a2 ? a1 ? 2 ? m a3 ? a2 ? 2 ? 2 ? m an ? an?1 ? 2 ? (n ? 1) ? m 各项迭加,得 an ? 2(1 ? 2 ? ? ? n ? 1) ? (n ? 1)m ? a1 ? n 2 ? n ? nm ? m ? m ? n 2 ? (m ? 1)n. ∴通式 an ? n 2 ? (m ? 1)n (n ? N ? )

(2)∵m 为奇数,?

m ?1 为整数, 2

由题意,知 a5 是数列{an}中的最小项,? ∴得 m = 9 令 f (n) ? bn ? n 3 ? (m ? 1)n 2 ? n 3 ? 10n 2 则 f ?(n) ? 3n 2 ? 20n ,由 f ?(n) ? 0 ,得 n ? 即为 n ?

m ?1 ?5 2

20 (n ? N ? ) 3

20 (n ? N ? ) 时, f (n) 单调递增,即 bn?1 ? bn 成立, 3 ∴n 的取值范围是 n≥7,且 n ? N ? .

22. 解: (1)由题意得: f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)(x ? 3)(a ? 0) ∴在(-∞,1)上, f ' ( x) <0; 在(1,3)上, f ' ( x) >0; 在 3,+∞)上, f ' ( x) <0; 因此,f(x)在 x0=1 处取得极小值-4 ∴a+b+c=-4 ①… ' ? f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ② ? ? ' ? ? f (3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③ ? a ? ?1 ? ①②③联立得: ?b ? 6 ?c ? ?9 ? ∴f(x)=-x3+6x2-9x (2)由(1)知 f(x)在 x=3 处取得极大值为:f(3)=0 (3) g ( x) ? ?3( x ? 1)9x ? 3) ? 6(m ? 2) x ? ?3( x 2 ? 2mx ? 3) ①当 2≤m≤3 时, g ( x) max ? g (m) ? ?3(m2 ? 2m2 ? 3) ? 3m2 ? 9; ②当 m<2 时,g(x)在[2,3]上单调递减, g ( x) max ? g (2) ? 12m ? 21 ③当 m>3 时,g(x)在[2,3]上单调递增, g ( x) max ? g (3) ? 18m ? 36


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