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天津市河西区2013届高三总复习质量检测(一)数学理 Word版含答案


河西区 2 0 1 2 一 2 0 1 3 学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)







卷(理工类)

本试卷分第 1 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第 1 卷 l 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页

。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上,并在规定位置填写座位号。 答卷时,考试务必将答案写在答题纸上,答在试卷上的无效。考试结束后,将答题纸交 回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。答在试卷上的 无效。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,.共 40 分 参考公式: ·如果事件 A、B 互斥,那么 ·球的表面积公式 S ? 4? R 球的体积公式 V ?
2

P(A? B) ? P(A) ? P(B)
·如果事件 A、B 相互独立,那么

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

P(AB) ? P(A)?P(B)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (l)在复平面内,复数 z ? (A)(1,1)

?3 ? i 对应的点的坐标为 2?i
(C)(1,一 1) (D)(一 1,一 1)

(B)(一 1,1)

(2)与命题“若 p 则-q"等价的命题为 (A)若 p 则 q (B)若-p 则 q (C)若 q 则-p (D)若-q 则 p

(3)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万 元) 销售额 y(万元) 27 39 48 54 2 3 4 5

根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

(A)65.5 万元

(B)66.2 万元

(C)67.7 万元

(D)72.0 万元

(4)右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 (A)6 (B) 27 (C)56 (D)124 (5) 已知等比数列 ? an ? 中,各项都是正数,且 a1 , 等差数列,则

1 a3 , 2a2 成 2

a8 ? a9 等于 a6 ? a7
(B) 1 ? 2 (D) 3 ? 2 2

(A) 1 ? 2 (C) 3 ? 2 2

x2 (6)双曲线 ? y 2 ? 1 的焦点到它的渐近线的距离为 3
(A)1 (B)

2

(C)

3

(D)2

(7) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 点 E 是 AD 的 中 点 , BE 与 AC 相 交 于 点 F , 若

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? m EF? m AB ? nA ( D , m?n ),则 R 的值为 n
(A)2 (8)若 f ( x ) ? ? 范围是 (A) 1, 2 ? (B)-2 (C)3 (D)-3
2 ? ? ax ? 1, x ? 0 ( a ? ?1) ,在定义域 (??, ??) 上是单调函数,则 a 的取值 2 ax ( a ? 1) e , x ? 0 ? ?

?

? ? 2? ? ? 1, 2 ?

(B) ? ? 2, ? 1 ? ? 2, ??

?

?

?

?

(C)

? ??, ?

?

(D) ? 0, ? ? ? 2, ?? ?

? ?

2? 3?

?

河西区 2012-2013 学年度第二学期高三年级总复习质量检测 (一)







卷(理工类)

第 II 卷

注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? y ? 0, ? (9)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 则 z ? 2 x ? y 的最大 ? x ? y ? 3 ? 0, ?
值 为_____________。 (10)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为__________________. (11)已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? R | x ? 3 ? x ? 3 ? 3

?

?

? ? t 2 ? 4t ? 1 B ? ?x ? R | x ? , t ? ? 0, ?? ? ? t ? ?
则集合 B ? (CU A) ? __________________。 (1 2)在极坐标系中,曲线 ? ? 2 cos ? ? sin ? ? 0(0 ? ? ? ? ) 的交点的极坐标为__________________. (13)如图,已知 P 是 ? O 外一点, PD 为 ? O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O. 若 PF=12,PD= 4 3 ,则 ? O 的半径长为____________。

1 ? ? 2 (1 4)已知 ? x ? ? 的开式中的常数项为 T, f ( x) 是以和 T 为周期的偶函数,且当 5 x3 ? ?
x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? x ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则
实数 k 的取值范围是_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 已知 A,B 是直线 y=0 与函数 f ( x) ? 2cos 相邻交点,且 AB ? (I)求 ? 的值:
2

5

?x

?
2

? cos(? x ? ) ? 1(? ? 0) 图象的两个 2 3

?



(Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? ? 的面积为 3 3 ,求 a 的值.

3 ,c=3, ?ABC 2

(16)(本小题满分 13 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (I)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率。 (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的分布列与期望. (17)(本小题满分 1 3 分) 如图,在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 AB ? BC , AB ? BD ? CC1 ? 2 ,D 为 AC 的中点. (I)证明 AB//平面 BDC1 ; (Ⅱ)证明 A1C ? 平面 BDC1 ; (Ⅲ)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.

(18)(本小题满分 13 分) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? (I)求数列 ? an ? 的通项公式: (II) 设 bn ? log 3 (1 ? Sn ? 1)(n ? N ) ,求适合方程
?

1 an ? 1(n ? N *) . 2

1 1 1 25 ? ? ... ? ? 的正 b1b1 b2b3 bnbn ?1 51

整数 n 的值. (19)(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x ? 4 y 有一个相同的焦点鼻,直
2

线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (I)求直线 l 的方程;

( II)若椭圆 C1 经过宜线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标. (20)(本小题满分 1 4 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ln x, g ( x) ? f ( x) ? xf '(a) , 其中 f '(a ) 表示函数 f ( x) 在 x ? a 处的导数,a 为正常数. (I)求 g(x)的单调区间; ( II)对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 证明 ( x2 ? x1 ) f '( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f '( x1 ) (Ⅲ)对任意的 n ? N ,且 n ? 2 ,证明
?

1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? ? ... ? ? ln 2 ln 3 ln n ln 2 ? ln n

河西区 2 0 1 2 一 2 0 1 3 学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)

数学(理工类)参考答案
一、选择题:每题 5 分,共 40 分。 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C

二、填空题:每题 5 分,共 30 分。 9. 6 10. 16 ?

4? 3

11. ? ?2, ? 2

? ?

3? ?

12. ? 2,

? ?

3? ? ? 4 ?

13.4

14. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

三、解答题 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f (x) ? cos ? x ? 由函数的图像及 AB ?

1 3 ? cos ? x ? sin ? x ? ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

……3 分

?
2

,得到函数的周期 T ?

2?

?

? 2?

?
2

, 解得 ? ? 2 。

……6 分

(Ⅱ)解:因为 f (A) ? ? 3 sin(2 A ? 又因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 ? 即 2A ?

?

? 3 3 。 ) ? ? 所以 sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2
? 2A ?

?
3

?
3

?

?
3

?

?
3

, 解得 A ?

?
3

2? , 3
……8 分

故 S? ABC ?

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3, 解得 b ? 4 2 2 2
2 2 2 2 2

……10 分

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ?

1 ? 13 ,即 a ? 13 。 2
……13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:采取放回抽样方式,从中摸出两个球,两球恰好颜色不同,也就是说从 5 个秋 中摸出一球,若第一次摸到白球,则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到 白球。 因此它的概率 P 是: P ?
1 1 1 2 C3 C3 C2 C2 12 ? ? ? ? 。 1 1 1 1 C5 C5 C5 C5 25

……4 分

(Ⅱ)解:设摸得白球的个数为 ? ,则 ? ? 0,1, 2

P(? ? 0) ?

1 1 2 C32 3 C2 ? C3 C2 3 1 ? ; P ( ? ? 1) ? ? ; P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

……10 分

? 的分布列为: ?
P 0 1 2

3 10

3 5

1 10
……13 分

E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 10 5 10 5

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:连接 B1C 与 BC1 相交于 O ,连接 OD ,在 ?CAB1 中,

O, D 分别是 B1C , AC 的中点,所以 OD / / AB1
而 AB1 ? 平面 BDC1 , OD ? 平面 BDC1 所以 AB1 / / 平面 BDC1 。 (Ⅱ)证明:直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面ABC , ……4 分

BD ? 平面ABC, 所以 AA1 ? BD ,
因为 AB ? BC ? 2, D 为 AC 的中点,所以 BD ? AC 。 所以 BD ? 平面AAC 1 1C , 所以 BD ? AC 1 ① ……6 分

又 A1 B1 ? B1C1 , A1 B1 ? B1B, 所以 A1B1 ? 平面B1C1CB ,所以 A1 B1 ? BC1 在正方形 B1C1CB 中 BC1 ? B1C , 又 B1C , A1 B1 ? 平面A1 B1C

B1C ? A1B1 ? B1 ,所以 BC1 ? 平面A1B1C ,所以 BC1 ? A1C
由①②,又 BD ? BC1 ? B, BD, BC1 ? 平面BDC1 , 所以 A1C ? 平面BDC1

② ……8 分

……9 分

(Ⅲ)解:以 B1 为原点,以 B1C1 为 x 轴, B1 B 为 y 轴, B1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系, 易得 CB1 ? (?2, ?2, 0), BD ? (1, 0,1)

????

??? ?

设平面 BC1 D 的法向量 n1 ? (x, y, z), 由 n1 ? CB1 , n1 ? BD 得?

??

??

???? ??

??? ?

?? ? ?2 x ? 2 y ? 0 令 x ? 1 得 n1 ? (1,1, ?1) , ? x?z ?0 ?? ? ????

……11 分

又平面 BC1 A 的法向量 n2 ? B1C ? (2, 2, 0) ,设二面角 A ? BC1 ? D 的平面角为 ? 所以 cos ? ? cos n1 , n2 ? 18. (本小题满分 13 分)

?? ?? ?

6 2 ,所以 tan ? ? 3 2

……13 分

1 2 ……1 分 a1 ? 1, 得 a1 ? 2 3 1 1 当 n ? 2 时,因为 sn ? 1 ? an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ……2 分 2 2 1 1 所以 sn ? sn ?1 ? (an ?1 ? an ), 即 an ? (an ?1 ? an ) 2 2 1 所以 an ? an?1 (n≥2). ……3 分 3 2 1 即 ? an ? 是以 为首项, 为公比的等比数列。 ……4 分 3 3 2 1 n ?1 1 故 an ? ? ……6 分 ( ) ? 2? ( ) n (n ? N* ) 。 3 3 3 1 1 n 1 n?1 (Ⅱ)解: 1 ? sn ? an ? ( ) , bn ? log3 (1 ? s n ?1 ) ? log3 ( ) ? ?n ? 1 。……8 分 2 3 3
(Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? s1 , 由 s1 ? 由

1 1 1 1 ? ? ? , bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? 2) 1 1 1 ? ?? b1b2 b2b3 bnbn ?1

……10 分



? 1 1 ? 1 1 ?1 1? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 。 ?? ? ? 2 3? ?3 4? ? ( n ? 1) (n ? 2) ? 2 n ? 2
解方程

……12 分

1 1 25 ? ? , 得 n ? 100 。 2 n ? 2 51

……13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)方法一: 解:由 ?

? y ? 2x ? m 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 。 2 x ? 4 y ?

……1 分

因为直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,

所以 ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0, 解得 m ? ?4
2

……3 分 ……4 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 。 方法二: 解:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 (x 0 , y 0 ) ,由 y ? 所以直线 l 的斜率 k ? y ' 依题意得
x ? x0

1 2 1 x 得y? x 4 2
……1 分 ……2 分

?

1 x0 。 2

1 x0 ? 2, 解得 x0 ? 4 。 2

把 x0 ? 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 。 因为点 (x 0 , y 0 ) 在直线 l 上,所以 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m ? ?4 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 。 (Ⅱ)方法一: 解:因为抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0, ?1) , 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F 1 ? (x 0 , y 0 ) ,
'

……3 分 ……4 分

……5 分

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1 ? x0 ? 则? ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4 ? ? 2 2

……7 分

解得 ?

? x0 ? 4 ' ,即点 F1 ? (4, ?1) y ? ? 1 ? 0
'

……8 分

所以直线 l 与直线 F 1 F2 : y ? ?1 的交点为 P 0? 由椭圆的定义及平面几何知识得:

?3 ? , ?1 ? 。 ?2 ?

……9 分

椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F1 ? 4 ,
' '

其中当 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号,所以 a ? 2. 即 e ?

1 1 ? 。 a 2

故当 a ? 2 时, emax ? 此时椭圆 C1 的方程为 方法二:

1 2
y2 x2 ?3 ? + ? 1,点 P 的坐标为 ? , ?1? 4 3 ?2 ?

……12 分

……14 分

解:因为抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0, ?1) , 设椭圆 C1 的方程为 ……5 分

y2 x2 ? ? 1(a ? 1) , a2 a2 ?1

……6 分

? y ? 2 x ? 4, ? 由 ? y2 消去 y, x2 ? ? 1, ? 2 2 a ?1 ?a
得 (5a ? 4) x ? 16(a ? 1) x ? (a ? 1)(16 ? a ) ? 0.(*)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 由? ? ? ?16( a ? 1) ? ? ? 4(5a ? 4)( a ? 1)(16 ? a ) ? 0, 2

……7 分 ……8 分 ……10 分 ……11 分

得 5a ? 20a ? 0 ,解得 a ? 4. 所以 a ? 2
4 2 2

所以 e ?

1 1 ? 。 a 2
y2 x2 1 ,此时椭圆 C1 的方程为 + ? 1。 4 3 2

当 a ? 2 时, emax ?

……12 分

把 a ? 2 代入方程(*),解得 x ?

3 , y ? ?1 2

……13 分

所以点 P 的坐标为 ?

?3 ? , ?1 ? 。 ?2 ?

……14 分

20.(本题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ? ln x, g( x) ? x ? x ln x ? x ln a ,
'

g ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' (a) ? ? ln x ? lna ? ln
'

a 。 x

……2 分

所以, x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0, g( x) 单调递增;

x ? (a , + ? 时, ) g ' ( x) ? 0, g( x) 单调递减。
所以, g( x ) 的单调递增区间为 ? 0, a ? ,单调递减区间为 ? a , ?? ? 。 ……4 分

(Ⅱ)方法一: 证明:对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 取 a ? x1 , 则 x2 ? (x, ??) ,由(Ⅰ)得 g( x1 ) ? g( x2 ) 即 g( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,
' '

所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ( x1 )
'



……6 分

取 a ? x2 , 则 x1 ? (0, x2 ) ,由(Ⅰ)得 g( x1 ) ? g( x2 ) , 即 g( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ? g( x2 ) ,
' '

所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ( x2 ) ②
'

综合①②,得

(x 2 ? x1 ) f ' (x 2 ) ? f (x 2 ) ? f (x1 ) ? (x 2 ? x1 ) f ' (x1 )
方法二: 证明:因为 f (x) ? ? lnx,
'

……8 分

所以,当 x ? (0,1) 时, f (x) ? 0, 当 x ? (1, ??) 时, f (x) ? 0 。
' '

故 f (x) 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减。 所以,对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 有f?

? x1 ? ? ? f (1), ? x2 ?

?x ? f ? 2 ? ? f (1) 。 ? x1 ?

……6 分

由f?

? x1 ? x2 x2 x2 ? ? f (1) ,得 ? ln ? 1, 即 x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0, x1 x1 x1 ? x2 ?
'

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0, 故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ( x1 )
'



由f?

? x2 ? ' ? ? f (1) ,同理可证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ( x2 ) ② ? x1 ?
' '

综合①②,得 (x 2 ? x1 ) f (x 2 ) ? f (x 2 ) ? f (x1 ) ? (x 2 ? x1 ) f (x1 )

……8 分

(Ⅲ)对 k=1,2,…,n-2,令 ?k (x) ?

ln(x ? k) (x ? 1) , ln x

ln x ln( x ? k ) ? x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) ' x ? k x 则 ?k , ( x) ? ? 2 (ln x) x( x ? k )(ln x) 2
显然 1 ? x ? x ? k ,0 ? ln x ? ln( x ? k ) ,所以 x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) 所以 ?k ( x) ? 0, ? k ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递减。
' '

由 n ? k ? 2, 得 ?k (n ? k) ? ?k (2), 即

ln n ln(2 ? k) 。 ? ln(n ? k) ln 2
……10 分

所以 ln 2ln n ? ln(2 ? k) ln(n ? k), k ? 1, 2,?, n ? 2 所以 2 ?

? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ln n ? ? ln 2 ln n ? ? ln 3 ln( n ? 1) ? ? ln 2 ln 3 ? ln n ln 2 ?

?

ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 3ln(n ? 1) ln n ln 2

?

ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2ln n ln 2ln n ln 2ln n
……12 分

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 2? ? ln 2 ln n ? ?
'

又由(Ⅱ)知 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? ? ln n ,所以 ln n ? f (n) ? f (n ? 1) 。

ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? f (1) ? f (2) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? f (n ? 1) ? 1 ? f (n ? 1)
所以,

1 1 1 ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n 1 ? f ( n ? 1) 。……14 分 ? ? ... ? ? ? ln 2 ln 3 ln n ln 2ln n ln 2ln n


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