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磁场


大学自主招生物理电学试题

这一次我们讲电学中的磁场和电磁感应部分的内容。同样地,我们重点分析高中 范围之外的典型知识。磁场部分我们分析两个问题。 一.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动和等距螺旋运动的分析与计算
当一个带电粒子 q 以速度 v 在磁感强度为 B 的磁场中运动时,受到的洛仑兹力大小为 f=qvBsinθ 式中θ为 v 与 B 的夹角。

当 q 沿着 B 运动时 f 为零,带电粒子将做匀速运动;当θ= 90o 时,带电粒子将做匀速圆周运动,其半径和周期分别为 , R=mv /(qB) T=2πm / ( qB ) 0 当 0 <θ< 90 时,带电粒子将做等距螺旋线运动,螺旋半径、周期和螺距分别为 R=mvsinθ/(qB), T=2πm / ( qB ),h=2πmvcosθ/(qB) 。

二.洛仑兹力的应用
洛仑兹力的应用包括速度选择器、回旋加速器、质谱仪、磁流体发电、霍尔效应等,下 面重点对磁流体发电机的原理进行分析。 如图是磁流体发电机.其原理是:等离子气体喷入磁场, 正、负离子在洛仑兹力作用下发生上下偏转而聚集到 A、B 板 上,产生电势差。设 A、B 平行金属板的面积为 S,相距为 d, 等离子气体的电阻率为ρ,喷入气体速度为 v,板间磁场的磁 感强度为 B,板外电阻为 R。当等离子气体匀速通过 A、B 板 间时,A、B 板上聚集的电荷最多,板间电势差最大,即为电 源电动势。当电场对离子作用力与洛仑兹力互相抵消时,离子受力平衡:Eq=Bqv。则 E= Bv。电源电动势 E’=Ed=Bdv。 ,电源内阻 ,所以通过 R 的电流

【例 1】 例 (同济 2009)磁流体发电机的工作原理如图所示。截面为矩形的管道长为 l, 宽为 a,高为 b,上、下两个侧面是绝缘体,相距为 a 的两个侧面是电阻可略的导体,这两 个侧面与负载电 RL 相连。整个管道处于匀强磁场区域,B 垂直于 上、 下侧且指向上方。 管道内沿长度方向有电阻率为 ρ 的电离气体, 气体流速处相同,所受摩擦阻力的大小与流速成正比。今在管的两 端维持恒定的压强差 p,设无磁场时气体的流速为 v。 。试求有磁场 存在时,此发电机的电动势 E。 解析:无磁场存在时,两端压力差为 △F=pab 摩擦力为 f0=kv 式中 a 为某一比例常量。压力差与摩擦力平衡,即 f0=△F 得

有磁场存在时,磁流体(即电离气体)在 a 的宽度上切割磁感线,产生感应电动势 E 和感 应电流 I。磁流体中宽度方向垂直于电流 I,因而会受到与运动速度 v 反向的安培力 F 安,此力与摩擦阻力 f 的合力将使 v 小于 v。 。平衡时,有 E = Bav , ,



其中



最后得

【例 2】 例 (北大 2006)如图所示,水平面上放有质量为 m,带电+q 的滑块,滑块和水平面间的动摩擦系数为 ?,水 平面所在位置有场强大小为 E、方向水平向右的匀强电场和 垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场。 若 , 物

B E

块由静止释放后经过时间 t 离开水平面,求这期间滑块经过 的路程 s. 解析:开始滑块向右加速,获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用,导致滑 块所受到的滑动摩擦力变小,做加速运动的加速度相应变大。 对滑块考察一微小时间 ?t,利用动量定理

qE?t ? ? ( mg ? Bqv ) ?t = m?v

对上式累计求和,可得

qEt ? ?mgt + ?Bqs = mvm
而物体离开水平面时满足

Bqvm = mg
联立解得:

s=

m 2 g + ?mgtBq ? q 2 BEt ?B 2 q 2

【例 3】 例 (同济 2008)回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度 B=1T,高频加速电压的频率 f=7.5×106Hz,带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 I=1mA,最后粒子束 从半径 R=1m 的轨道飞出,如果粒子束进入冷却“圈套”的水中并停止运动,问可使“圈套”中 的水温升高多少度?设“圈套”中水的消耗量 m=1kg/s,水的比热容 c=4200J/(kg·K) 解析:粒子在盒内运动有

Bqv = m
q 2πf = m B
I = Nq

v2 v ,f = R 2πR

得:

设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为 N,则

1 2 mv = πIBR 2 f 2 由热平衡条件得 P = cm?t πIBR 2 f = 5.6 K 升温 ?t = cm
粒子束功率 P = N ? 电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、 法拉第电磁感应定律、 交流电和变压器等方面 的规律,这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。

感生电动势与动生电动势 三. 感生电动势与动生电动势
电磁感应现象包括两类情况:感生电动势和动生电动势。 1.感生电动势 感生电动势 感生电动势是闭合回路中因磁通量变化产生了感生电场,感生电场产生“非静电力”推 动自由电荷定向移动,从而形成了电动势。其值为

2.动生电动势 动生电动势 导体棒切割磁感线产生动生电动势,其值为: E=Blv 式中 B、v 和导体棒所在的方向 l 要两两垂直,否则要进行分解或投影。 动生电动势来源于金属内运动着的自由电子所受的洛仑兹力做功,可是洛仑兹力不做 功, 这个矛盾如何解释?如图所示, 金属杆 ab 在匀强磁场中以恒定的速度向右做匀速运动, 在导体棒 ad 上就出现了动生电动势。由右手定则可知,在导体棒上电流的方向是由 d 流向 a 的。设导体棒上有一个自由正电荷 q(实际上则是自由电子导 电) ⊥是 q 沿导线移动方向的速度,v∥与 v⊥的矢量和是 v。q ,v 所受的洛仑兹力为 f,可将 f 分解为沿着导体棒的分力 f∥和垂直 于棒的分力 f⊥,其中 f∥属于与电动势相对应的非静电力,而 f⊥ 则属于安培力。当这个感应电动势出现并做正功时,安培力也随 之出现并做负功,该装置将机械能转化为电能,而且能量守恒。 3.如果一个问题中感生电动势和动生电动势同时存在,则回路中 总的感应电动势是二者合成的结果。 计算时要注意电动势的方向 (电动势的方向定义为从负 极经电源内部指向正极,电动势是标量) 。 【例 4】 例 (清华 2008)如图所示,半径为 R 的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场,磁 感应强度 B 随时间 t 均匀增加的变化率为 k ( k 为常数) ,t=0 时的磁感应强度为 B。 的方 ,B 向与圆形区域垂直如图,在图中垂直纸面向内。一长为 2R 的金 属直杆 ac 也处在圆形区域所在平面, 并以速度 v 扫过磁场区域。 设在 t 时刻杆位于图示位置,此时杆的 ab 段正好在磁场内,bc

段位于磁场之外,且 ab=bc=R,求此时杆中的感应电动势。 解析:感生电动势由 Eba、Ecb 两部分组成,则

所以

动生电动势为 所以总电动势为

注:本题中在计算 bc 两端的感应电动势时,也要连圆心 O 和 b、c 两点,同样在 Ob、 Oc 上不会有感应电动势。同时在求总的感应电动势时,要注意正、负。 【例 5】(上海交大 2009)如图所示,阻值为 R,质量为 m,边长为 l 的正方形金属框 例 位于光滑水平面上。 金属框的 ab 边与磁场边缘平行, 并以一 定的初速度进入矩形磁场区域,运动方向与磁场边缘垂直。 磁场方向垂直水平面向下,在金属框运动方向上的长度为 L ( L>l) 。已知金属框的 ab 边进入磁场后,框在进、出磁场阶 段中的运动速度与 ab 边在磁场中的位置坐标之间关系为 v = v0-cx( x<l) ,式中 c 为未知的正值常量。若金属框完全通过磁场后恰好静止,求: (1) 磁场的磁感应强度; (2) 从线框进入磁场区域到线框 ab 边刚出磁场区域的运动过程中安培力所做的功 解析: (1)设 x=l 时线框速度为 v1, 在线框进入磁场中,由动量定理,得

即 BlQ=mv0-mv1, 其中 Q 为通过线框的电量, 而 Q=

① 线框在磁场中匀速运动, 出磁场过程中,由动量定理,得



由① ,得 (2)按照对称性,线框进出磁场过程中速度的减小是相同的,即 ab 边刚出磁场时的速度 为 v0/2。故所求安培力的功为

【真题选练】
1. (清华 2011 样题)如图所示,空间存在一有理想边界的条形匀强 磁场区域,磁场方向与竖直平面(纸面)垂直。一个质量为 m、边长为 l 的刚性正方形导线框,在此平面内沿竖直方向运动。t = 0 时刻导线框 的上半部分恰好进入磁场,速度为 v0。经历一段时间后,当导线框上边 离开磁场距磁场边界距离为 l/2 时,速度刚好为零。此后,导线框下落,经过一段时间到达 初始位置。则() A.在上升过程中安培力做的功比下落过程中的少 B.在上升过程中重力冲量的大小比下落过程中的大 C.在上升过程中安培力冲量的大小与下落过程中的相等 D.在上升过程中导线框电阻消耗的电能比下落过程中的大 2.(同济大学 09)如图所示,金属架平面与水平面平行,质 量为 m、长度为 L 的硬金属线 ab 的两端用绝缘线吊着并与框接 触,处在匀强磁场中。当闭合开关 s 时,ab 通电随即摆起的高度 为 h,则在通电的瞬间,通过导体截面的电荷量 Q=________.

3.(清华 2011)如图,空间某区域内存在着匀强磁场,磁场的上下边界水平,方向与竖 直平面 (纸面) 垂直。 两个由完全相同的导线制成的刚性线框 a 和 b ,其形状分别是周长为 4l 的正方形和周长为 6l 的矩形。线框 a 和 b 在竖直面内从图示位置自由下落。 若从开始下落到线框完全 离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为 Ia、Ib,则 Ia: Ib 为() A .3 : 8 B . 1 : 2 C. 1:1 D .3 : 2 4.(东南大学 08)如图所示的空间,匀强电场的方向竖直向下,场强为 E,匀强磁场的 方向水平向外,磁感应强度为 B。有两个带电小球 A 和 B 都能在垂直于磁场方向的同一竖 直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略) ,运动轨迹如图。已知两个带电小球 A 和 B 的 质 量 关 系 为 m A = 3mB , 轨 道 半 径 为

R A = 3RB = 9 cm.
(1)试说明小球 A 和 B 带什么性质的电荷,它们所

带的电荷量之比 q A : q B 等于多少? (2)指出小球 A 和 B 的绕行方向和速度大小之比 (3)设带电小球 A 和 B 在图示位置 P 处相碰撞,且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带 电小球 B 恰好能沿大圆轨道运动,求带电小球 A 碰撞后所做圆周运动的轨道半径(设碰撞 时两个带电小球间电荷量不转移) 5、 (清华 2010)匀强磁场中有一长方形导线框,分别以相同的角速度绕图 a、b、c、d 所示的固定转轴旋,用 Ia、Ib、Ic、Id 表示四种情况下线框中电流的有效值,则()

A.Ia=IdB.Ia>Ib C.Ib>IcD.Ic=Id 6. (清华 2010)如图,圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场,P 为磁场边界上的一点。 有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同 样的速率通过 P 点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的 某一段弧上, 这段圆弧的弧长是圆周长的 1 / 3 。 将磁感应强度的大小 从原来的 B1 变为 B2 ,结果相应的弧长变为原来的一半,则 B2/B1 等 于() A . 2 B . 3 C. D.

7 . (交大外地 2009)如图所示,一磁感应强度为 B 的均匀磁场,分布在半径为 R 的长圆 柱形区域内,设 B = B0t ( B0> 0) 。现有一半径也为 R,电阻均匀分布且总 电阻为 r 的金属圆环,放在垂直于磁场的平面内,金属圆环中心在均匀磁 场的对称轴上。a 和 b 为金属圆环上相距为 R 的两点,则两点间的电势差 φa-φb=_______。 (设感应电流所产生的磁场可以忽略) 8.(同济 2009)如图所示,一矩形管长为 l,宽为 a,高为 b , 相距为 a 的两个侧面是导 体,上下平面是绝缘体。现将两个导体平面用导线短路,使磁感应 强度为 B 的匀强磁场垂直于上下平面,有电阻率为 ρ 的水银通过矩 形管,如果水银通过管子的速度 v 和加在管两端的压强差成正比。 如果无磁场时,在压强差为 p 时水银的速度为 v。当加在管上的压 强差为 p 且有磁场时,求水银的流速 v。 9.(东南 2009)如图所示,阻值为 R 的电阻串于光滑的等边三 角形水平导轨 OPQ 上,导轨在 O 点断开。磁感应强度为 B、方向竖直向下、宽度为 d 的条 形磁场区域与 PQ 平行, 质量为 m 的导体棒连接在劲度系数为 k 的弹簧的一端, 弹簧的另一 端固定。导体棒始终与 PQ 平行,且与导轨保持良好接触。 弹簧无伸长时,导体棒停于 M 处。现将导体棒拉至 N 处后 自由释放,若 M 至顶点 O,以及 M、N 到磁场边沿的距离 均为 d,导轨和导体棒的阻值忽略不计,求: (1) 计算导体棒释放后,第一次穿越条形磁场区域过程 中,电阻 R 中通过的电荷量 q。 (2) 整个过程中,电阻 R 中最多能产生的焦耳热 Q。

【参考答案】
1.CD 2.金属棒通电后由于安培力的冲量作用获得动量,根据动量定理

∑ BIl?t = BL∑ I?t = BLQ = mv
1 2 mv 0 2 mv0 m 故: Q = = 2 gh BL BL mgh =

0

?0

金属棒脱离金属架平面后摆起,根据机械能守恒

3. A 4.(1)因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动,故必有 qE=mg,由电场方向可 知,两小球都带负电荷,则 m A g = q A E , mB g = q B E 所以:

q A mA = =3 q B mB

(2)两小球都带负电荷,轨道在垂直磁场的同一平面内,用左手定则可以判断两带电 小球的绕行方向都相同。由:

qvB =
得: v =

mv 2 R

BqR m v 由题意, A = 3 vB
(3)由于两带电小球在 P 处相碰,切向合外力为零,故两电小球在 P 处的切向动量守 恒,则
' m A v A + mB v B = m A v 'A + mB v B

由于两带电小球在 P 处相碰后 B 球沿大圆轨道运动,而

m A mB = q A qB
' vB = 3v B 7 ' 解得: v A = v B 3

7 vB R v 3 =7 = = R A v A 3v B 9 7 ' 所以 R A = R A = 7 cm 9
' A ' A

5. AD 解析:由 Em=NBSω,Em= 6.D ,I=E/R,联立求解可得 ,故选 A、D 正确。

解析:设圆形区域磁场的半径为 r,磁感应强度的大小为 B1 时,从 P 点入射的粒子射 出磁场时与磁场边界的最远交点为 M,(见答图甲)由题意知∠POM= 120o,则该带电粒子 在磁场中的运动轨迹是以 PM 为直径的圆,由几 何关系得轨迹圆半径为 .磁感应强度的

大小为 B2 时, P 点入射的粒子射出磁场时与磁 从 场边界的最远交点为 N(见答图乙),由题意知∠ 。 PON= 60 ,由几何关系得轨迹圆半径为 R2=r , R = ,所以

7.圆环形回路 E=△Φ/△t=πBoR2。 大、小环对应的电动势和相应内阻分别为 5E / 6 、 5r / 6 和 E / 6 、r / 6 。回路中电流 I=E / r=πBoR2 / r, Uab=E / 6 -Ir / 6 =0 注:本题的物理模型相当于 n 节完全相同的电池串联,那么任意 m(m<n)节电池两端 电压都为零。因为每节电池都相同,所以每节电池的电动势都降在各自电池的内阻上。 8.水银以 v 流动时,E=Bav, 水银中电流 I=E / R,其中 R=ρa/( bl), 水银受到与 v 反向的安培力 F=BIa , 此力使加于管两端的压强差减小 P’=p-F/(ab)=p-B2lv/ρ。 , 而 v/v0=p’/p=1-B2lv/(pρ) 2 可得 U=pρU0/(pρ+ B lv0) 9.(1)导体棒从 N 处静正释放后在弹力作用下做变加速运动,过磁场区域时会产生感 应电动势.且与电阻 R 构成回路,相应有电流流过电阻 R,棒第一次穿越条形磁场区域过程 中,电阻 R 中通过的电荷量为 ,

式中

故 (2)最终棒会在无磁场的区域做简谐运动,且在磁场区域的右边界处速度为 0,故电 阻 R 中最多能产生的焦耳热 Q 为


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