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1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(共25张PPT)


1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推 导过程.(难点) 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体 积.(重点) 3. 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系,培养转 化与化归的思想与空间想象能力. (难点)

在初中已经学过了正方体和长方

体的表面积, 以及它们的展开图,你知道正方体和长方体的展开 图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积

棱柱的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

特别提醒

正棱柱的侧面展开图

将空间图形问题转化为平面图形问题,是解立体 几何问题最基本、最常用的方法.

棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么?如何 计算它的表面积?

侧面展开

h′

正棱锥的侧面展开图

h′

棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h′

正棱台的侧面展开图

h′

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h′

h′

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面 积之和.

知识应用 例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积.
S

A B D C

圆柱的表面积

r O?
O

2? r

圆柱的侧面展开图是一个矩形,

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r(r ? l ).
2

圆锥的表面积

S

2? r

r

O

圆锥的侧面展开图是一个扇形,

S圆锥表面积 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r(r ? l ).

圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台 的侧面展开图是什么?

r'O′

2? r '

2? r

r

O

圆台的侧面展开图是一个扇环,

S圆台表面积 ? ?(r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ).

【提升总结】 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

rO ?
r′=r

r'O′
r′=0

上底扩大

O

r

O

上底缩小

r

O

S柱 ? 2?r(r ? l )

S台 ? ?(r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

S锥 ? ?r(r ? l )

柱体体积 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆 柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为

V ? S h(S为底面面积,h为高).

一般柱体的体积也是

V ? Sh ,

其中S为底面面积,h为柱体的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式是

1 它的体积是同底等高的圆柱的体积的 . 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高), 3

棱锥体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积



1 ,即棱锥的体积 3

1 (其中S为底面面积,h为高). V ? Sh 3

台体体积
P

根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截 成的,因此可以利用两个锥体的体 积差,得到圆台(棱台)的体积公式
A
A?

S?
B?

D?

C?

h
S

D

V = VP-ABCD - VP-A?B?C?D?
1 ? (S? ? S?S ? S)h 3
B

C

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? (S? ? S?S ? S)h, 3 其中 S , S? 分别为上、下底面面积,h为棱台
(圆台)的高.

【提升总结】

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小

公式有 它的统 一性.

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 V ? ( S ? ? S ?S ? S ) h 3
S?,S 分别为上、下底 面面积,h 为台体高

1 V ? Sh 3

S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, h为锥体高

知识应用 例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm3)

六角螺帽共重5.8 kg,已知底面是正六边形,边长为
12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽 大约有多少个(π 取3.14,可用计算器)?

【解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的 差,即
3 10 2 2 V= 创 12 6? 10 3.14创 ( ) 10 4 2 ? 2956(mm3 )

= 2.956(cm3 ).

所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个). 答:这堆螺帽大约有252个.

1.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为( A )

A.48+ 12 2 C.36+ 12 2

B.48+ 24 2 D.36+ 24 2

【解析】选A.由三视图得棱锥如图所示,

AO⊥底面BCD,O是BD的中点,BC=CD=6,
BC⊥CD,AO=4,AB=AD.
1 S△BCD= 2×6×6=18, 1 S△ABD= 2×6 2×4=12 2 .

取BC的中点E,连接AE,OE. 可得BC⊥AE,AE= AO 2 +O E 2 =5, 所以S△ABC=S△ACD=
1 ×6×5=15, 2

所以S全=18+12 2 +15+15=48+12 2 .

1 ?6?3 2

2.(2012·新课标全国卷)如图所示:

网格纸上小正方形的边长为1,
粗线画出的是某几何体的三视 图,则此几何体的体积为( B )

A.6
C.12

B.9
D.18

【解析】选B.由题意知,此几何体是三棱锥,
1 1 1 其高h=3,相应底面面积为S= ×6×3=9 , V = Sh = ×9× 3 = 9. 2 3 3

3. 已知一个圆柱底面直径和母线长均为 4,则该圆柱 的体积为 ( A.2 ? C. 8 ?

D )
B.4 ? D. 16 ?

4.( 2012·山东高考)如图 ,正方体 ABCD - A 1B1C1D 1 的棱长为 1,
1 ____________. 6

E,F 分别为线段 AA 1 ,B1C 上的点 ,则三棱锥 D1 - EDF 的体积为

【解析】 因为 E 点在线段 AA1 上,所以 S?DED1 ?

1 1 ? 1 ? 1 ? ,又因为 F 点在线段 B1C 2 2

上 , 所 以 点 F 到 平 面 DED1 的 距 离 为
1 1 1 1 VD1 ? EDF ? VF ? DED1 ? ? S?DED1 ? h ? ? ? 1 ? . 3 3 2 6

1, 即 h ? 1 , 所 以

答案:

1 6

5.(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积
3 为2?的半圆面,则该圆锥的体积为_________ 3

?

.

[解析] 如图, πl2 = 2π ?l=2,又 2?r=?l?r=1,
1 3 2 π. 所以 h= 3 ,故体积 V = πr h = 3 3
P l r P l h O 2?r

1 2

3 答案: π 3


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